1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 43
Текст из файла (страница 43)
и,[,-о — — О, и,[,-г = — /си[,-с, й = —,, где Е— Есг модуль Юнга, сг площвль поперечного сечения стержня, й — ко- эффициент, характеризующий жесткость закрепления; и[с-о = ио(х), из[с=о = из(х).. (зй+1) згх (во+1) згае — ) ВР1 «В Яп 21 сов 2С 20.4.
и(х, с) = 2 , '( — 1)" , гдеа— Еааз ь (2й+ 1)з площаль поперечного сечения стержня, à — модуль Юнга. рх Указание. и[,-о = О, и,[„-с =О, и[с=о = — — 1 =О- аа' д~ ~з=.о 262 Гл. И. Слвигаииая задача ггС ях . яаз 1 20.5. 1(х,1) = — г4гг1 — сов — згп —, а = —. г~( Е 21 21 ьгХС У к а з а н и е. Сила тока1(х,1) удовлетворяет уравнению ВС(м = = 1„, где  — самоиндукция, С вЂ” емкость, отнегвнная к единице длины провода.
Начальные условия имеют внд 1(г=о = О, (г)г=о = Еоя я.х = — — сов —, а граничные условия таковы: гэ) =о = О, 1( — г = О. 2Ю 21' 41эЬ со ( — 1) вгп — сов — 1 20.6. 1) Ьх(1 — х) + — ~, (Указах' ь1 Ьз н и е. Решение можно искать в виде и = о + го, где функция и = Ьх(1 — х) удовлетворяет неоднородному уравнению и нулевым граничным условиям, а функция иг удовлетворяет однородному уравнению, нулевым граничным и следуюшим начальным условиям: Цг=о = Ьх(х — 1), ог! г=о = О ); 2 .. ггг 4 2) — 1 з(п 1 з1п х + 2 ', (сов 1 — соз ЬЬ) в1п )гх. д ь.=в йв . (2Ь+1) яаз 4А (2я+1) оп вгп ~ (2ь+1) 20.7.
— 2 „... в1п, где (2Ь+ 1) яа ага = дя(21- -) 16О1э Р 2~ "" З 2а' я-за' ьх (2гг+ Цэ У к а з а и и е. Задача сводится к решению уравнения игг = аз и„+ д, где д — ускорение силы тяжести, при следующих услода! ди! виях: и( =о = — ) = О, и(г о = — ~ = О. Решение этой задачи дх ~ =г ' ' дв 'гг=о можно искать в виде и = и + иг, где и = Ахз + Вх + С (А, В, С выбрать так, чтобы функция удовлетворяла неоднородному уравнению и заданным граничньпя условиям).
хв ( — 1) 21 . Ьггх . Ья1 20.9. 1) — + ~ э з1п вш —; (Ь„)2 ) + +-(1'- +И+ О/Ж ь — г - Ьяаз . Ьяя гг~ ( — 1) вш — вгп— 20.10. А — а випЛ+ мз — (Ьяа/1)э а У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения им = ави„ при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и(,-о = О, и! =г = Азшюй Решение этой задачи искать в виде и = и + иг, где В ЯО. Метод разделения нерененнмх и = Х(х) вш огй Функциго и подобрать так, чтобы оиа удовлетворяла уравнению и заданным граничным условиям.
8Ф ~~ ( — 1) (2й+1) ! . (2й+1) Еа яеЕо в ! (2й+1)е 21 2! где Š— модуль упругости, гг — площадь поперечного сечения стержня. У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения иг! = азине при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и( о — — О, и (,=! = —. Положить и = и+ иг, где и = Ах (А выбрать так, чтобы (~ функция и удовлетворяла заданным граничным условиям). Ао вш — х в!пег! 20.12. и(х,в) = — + Еам (зй+1) г 2Аем е" (-1)н 21 вггг 2! х .
(2й + 1) я! Еег1 в о (2й-!-1) я мг — ((2й+ 1) яо!'(21)]з 21 У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения иг! = а"и „ при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и) — о = О, А и) --г= — вшнгй Решение этой задачи можно искать в виде и = и+ш„ Ео. где и = 1 (х) в1п шв; 1 (х) выбрать так, чтобы функшгя и удовлетворяла уравнению и заданным граничным условиям. 20.13. и(х 1) = е 1 (ав сов1гвХ+ 6в вш!гвФ) в1п, где — н! йях я=! а гг й ггв =, — оз, ! ! 2 Г ггйх гг 2 йях ав = — ! ио(х) в1п — Нх, Ьв = — ав + — ! иг(х) вгп — е(х.
ре 1гне о о У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения ни+2аи! —— = ази (о > О мало) при следующих условиях: и~ — о = и!е=! = О, и~!=о = ио(х), и!~!=о = иг(х) 1 2) — 2 !сов(2й+ 1) 1+ вш(2й+1) 1] в!в(2й+ 1) х; в=о (2й+ 1)' 2й+1 1 ( й 2 1 . 2й+1 2й+1 3) 8е е (2й+1)' (( 1) (2й+1)] вгп 2 !сов 2 ггг 1 4) 1(1 — х) + 2, 'е ггз — ~2совЛьг+ — в1пЛьв — 2] вшггйх, (йя)з ~ 1 Лв = (йя)з — —. Гж 'з1 Смеазанная задача 1 41 йя .
З . йях Изг 1г 5) (2 — х)1+ ~,' ~ — ',, — —. в1ПЛзг) взп —, Лз = ~ — ) — 1; 11ЯЛ~з Лз ) 2 ' 12) еа 20.15. 1) взп2х сов21+ 2 ( — 1)" —,(1 — совИ) язвах; 5з 2) — С сз ) — 1+ е '1г(соврз1+ — вш1ззй)] вш(21+ 1) ях, где в=о 2йз г г (25+ Цзяз' Указание. Искать РешЕние в виде РЯда и(х,г) = 2, 1'з(1) х х Бзп Йях.
Замечание к 2). Можно искать решение в виде суммы и = 1 = е + в, где функция е = — х(1 — х) удовлетворяет уравнению и заданным граничным условиям. Тогда и(х,1) = х(1 — х) 1 — ~ совззз1+ вш1звг) е з1 вш(2й+1)згх. 2 2пз 20.16. 1) 2хг+ (2ее — е з — Зге е) совх; 2) 3+ х(1+ гг) + (5гез — 8ез + 41+ 8) в1П х; 3) х(з+1) + (-езе1г — е'1г+ -1 сов — х; 15 5/ 2 4) хе+~ — — — е + — е )е вшЗх; 11 1я 1 ззЛ -з. Ьо 5 РЗ 5) х1+ (1 — е е — ге. е) совЗх; б) — (е + е ) — — — — сов 2х; ге -я 8 4 2 7) — взп х(с1з 31 — 1) + вш Зх(сЫ вЂ” 1); 1 8) хг+ (2е — егз) е япх. аяЯ .
ях, яу 20.17. Асов гяп — вш Р Р Р 20.18. 3 сов ьГ51ипх в1п20+ яп51 вшЗх взп45ч (за+1)ях . Я+1)яя з з ее з!п Р е4п ч 20.19. Р 2; „,, оса зга1зз з С, где В 2О. Метод роздееение переменных 2бб 2) 1+ — в1пЗХ ~1— 1 . Г Уо(3х)1 Уо(3) ~ 20.20. 1) Асов Рь Уо(~— "); 2) '! (лесов — "аХ+ бывш — "аХ1.7о~~ — 1, где Н й а„= ( тУ(т),Уо( — ") еХт, бн = .
~тЕ'(т),7„(~~*' ) ат о о (рн — положительные корни уравнения Уо(7г) = 0); Уо( д) 3) и(т, Х) = 8А ~~», сов ~'", (*) рфугЬ.) ' 71 ' н=г где Ххн (и = 1„2, ...) — положительные корни уравнения,Уо(7г) = О. ( 1 У к а з а и и е. Задача приводится к решению уравнения и„+- и„= 1 7 тг" — им при условиях и)„— и — О, )и!„=о! < оо, и)е=о — А 1 А = сопвХ, ие)е-о — — О.
При вычислении коэфФициентов ряда (е) воспользоваться спедуюшимн формулами: Х Е.Уо(Е) еХЕ = хУх(х), Х ~зуо(Е) ХХХе = о о = 2хгуо(х) + (хз — 4х) Ух(х).). 20.21. 1) и(х,Х) = 7(х ~(2 — Хев) совХехХ+Уе-гХг+р-~(7ег х— 2)1.7оЬьх) (Указание. Решение можно искать в виде и = о+го, где и = = (аХ + с) Уо(7хвх) — частное решение неоднородного уравнения, и— решение однорццного уравнения, го!, о = — е!, „, Хое!е о = — ие!е >.); 2) и(х, Х) = (Уг~ ~— Ц '(совХ+ вдпХ вЂ” сов7гвХ вЂ” Хг„гв1п7евХ) Уо(7евх) (Указание. Решение можно искать в виде и = е + го, где о = (а вХп Х+ Ь сов 1) .Уо(7гвх) — частное решение неоднородного уравнения, гв = (АсоврьХ+ Вв1пХезХ) Уо(7евх) — решение однородного уравнения, ш!е=о = и!е-о гое!е=о = — и,!е=о.)- 3) Х вЂ” 1+ Уо(7г,х) совр.,Х.
20.23. 1) 1 — — ~ совХ; .Уо(х)! Уо(1) ~ 3) — ~ — 1 сов2Х+ Уо(7ггх) сов7гдХ. 1 Г,Уо(2х) 2 ~ .7о(2) 20.24. сов 2Х + зш ЗХ. Уо (хз/3) Уо (2хз72) Уо (з/3) 3'о (2~72) Га Ъ7. Смешанная эадача где р — поверхностная плотность мембраны. У к аз ан и е. Задача сводится к решению уравнения 1 — им = ия„+ г 'и, + р ' вдпадФ, 0 < г < Я, а 1 1.=1<, 1,= =О, и1 = = 1,= =о. 20.26 1) Лд(рьх) соврь1+ Уд(р,„х) сои р. и; 2),Уд(рьх) соврь1+ р, д,Уд(р х) вш р и. 20.27. (1+рь) д(е' — соирьг — р, двдпрьг) Яд(рьх)„ 20.28. —,Уд(х) вшМ+ —.Уд(Зх) вш31. 1 1 2дд(1) 2Уд(З) 20.29.
1) (соврав+ р„' в1п рай) .Уз(рьх); У1 3 2) ~- ссн~ц,г+ — ри вт рьг) .Уз(рих). Ь 2 20.30. 1) (рд $ — удд вдп рдз),Уг(рдх); 2) (рд — 1) (сеид — соврди) ЫРдх). 20.31, 1) р ~Уз(рдх) вшрдФ; 2) (ооирдй+ рд вдпрдг) Уз(рдх). 20.32. 1) [рь(1+ риз)1 д(идирим — рь соврьФ+ рве ') .Уз(рьх); 2) р и (2р„з+1 — 1з — р„д вдпрдв — 2р„зсоврьг) Уз(рьх). 20.33. Уе (2рдьУх) соврдг. У к а з а н и е.
Полагая и = Х(х) Т(1), получить уравнения + — + — Х=О, х' л х х Т" + Л Т =О. Уравнение (*) подстановкой дд = 2лд/х свести к уравнению Бесселя ха(п)+ -'х'(о)+х(п) = о, дд имеющему общее решение Х(дУ) = а,Уе(п) + 61е(ц). "1"*У) 20.34. — '[" А„, сои — ", где А„= / ие(х) х уд(р-) здУ( ' е х Уе(ра У вЂ” 1 Их„Уда (и = 1,2,...) .- положительные корни уравне- Ч 1/ ния,Уе(р) = О. В 20. Мегпод разделения пере.менных У к а з а н и е.
Задача приводится к решению уравнения иге = = аз(хи,)„0 < х <1, а = lд, при условиях )и~ — о( < оо, и) — г = О, и~г = и ( ), иг~г= СЮ гх з 2035. ~ (АпсоваЛ 1+ ВнвшаЛнг),Уо(рг г/ — )„где п=г г ~" — ( — ), А„= ( (х) д (рпД) 1х, "о В„= ~и,(х) .го(рп~/-) дх, "о рн (п = 1,2, ...) -- положительные корни уравнения го(р) = О. У к а з а н и е. Задача приводится к решению уравнения иге —— = аз(хи ) + агзи, 0 < х < 1, а = чгд, при условиях )и( -о) < со, ~4 г = О, и~г=о = ио(х), иг1г=о = иг(х). 20.36. — 1о (аьз/х) ьдп — 1. 2 Рй ггз 20 3Т.
ц (4р„зФ вЂ” 8р, вгп — Ф),7о(ргз/х); 2) 4(рг" — 4) г (сАп1 — 2р ~вгп ~г ) ХоЬгч/х). 20.38. — в1п ~ Мз(рь~/х). рз 2 20.39. — вгп — 11з(ргч/х). 2 . рг *,ыг 2 3 ( йигазз 1 . нпх 2 г . ггпх 20.40. 1) ~ а„ехрр — ~1рв1п —, где а„=-~ио(х)в1п — дх„ п=1 о если ио(х) = А = сопев, то ." --~ — '-»Н""'""Й-""'"" ь — — о если ио(х) = Ах(х — 1), то 8А1з - 1 ( /(2а+Ц '1') . (гач Ц вЂ” „з 2 ° (2„4.Цз я=о 2) — ~„ а„ " , ехр ~ — ( †" ) Фз в!и †" , где а„ = (ио(х)х о х вш " г)х, дп (и = 1,2, ...) — положительные корни уравнения 13р = — —, гг = И > 0 (Указание. Граничные условия имекгт Р о вид и), о — — О, (и, + Ьи) ),=г = 0.); Га.
О. Смеигаииах задача о их . рх1 ные коРни УРавнениЯ с$8Р = — ~ — — — )г а = й( гдо(х) = и~г=о 1 21г (г1 2 да рг' (У к а з а н и е. Граничные условия имеют вил (и — йи)! — о = (и, + Ьи)~„-д = О.); 4) ио (Указание. Граничные условия имеют аид их)х=о = = и,),=г —— О.); ,г ) ио 2ио аз д 1 ( /(2й+1) ха1 ) (2й+ 1) хх 5) — + — 2 ( — 1) д — схр 1 — — 1 сев ) )' 1пп и(х,1) = —; г-газ ' 2 ' ио 4гдо ~~ 1 / 1'2(2й+1) ха1 ( 2(2й+1) ггх и(х 1) — ™о гг ' 2 20,41.
1) —, ~;, ехр( — ( х) 1)сов хх; 32 " ( — Ц" ( г2гг+1 дг ) 2п+1 =о (2гд.+1)з ( 1 2 ) 2 2) 4 ~- ', (2й+1)х 11 (2й+') * 8 1 3) — — ~ г ехр ( — (2й + 1) 1 в)п (2й + 1) х. х „. (2й+1)' 20.42. 1) ид+ ' х+ — ~ — ((ио — ид)(1 — ( — 1)а)+ гг„да (ихад 1 . лих г(-г) а,—..я...(-( (1) ) 1пп и(х,1) = иг + (иг — ид) †; Г-гса г 2) и,+ —, 8А1г 1 ( Дг(2й+1) ~а'д ) . (2й 1 1) хх ., ехр 1( — ~ ) 11 вдп— (2й+1)' ( ( 1 ) 1( — 4ид 2 ехр ~ — ( ( д(2й+1)хад ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
