1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 7
Текст из файла (страница 7)
С>0, и]т=о=ио, 0<х<С, и*]в=о=из]-т=О, С>О,где а = Й/(ср), Н вЂ” полная высота конуса, у —.- половина угла раство- ра конуса, го — радиус большого основания, С вЂ” высота усеченного конуса. /со, 0<х<6, 1.42. ст — — Всее, 0 < х < Ст С > О, с(х, 0) = ~ О, 6<к<С. 143. ит=аг(и + ит~+ —, 0<т.<СС„С>0, и]его=/(г), 0< г 2 х чт ср' < С < Н, ]и(0, С)] < оо; граничные условия: а) и(/С,С) = 0; б) (и„+ Ни)],— л = О, Н = а/йт аг = Ст/(сР).
1.44. ит=а (и„„+ — ит), 0<с< йт С>0, и]т=о=О 0<т <Н; 2 граничные условия: а) ]и(0, С)] < со, и„(В, С) = тт/А, С > 0; б) ]и(О,С)] < со, (ив+ Ни)] =я = тр(С), С > О, Н = тт/Ст, аг = = Ь/(ср). р'2. Коогсирсикаиря рраакекий аосорого порядка 33 1.45. а) ис — — аги„, — сс < х < сс, с > О, и/с-о —— О, (йи, + д))*= — й = = О, ( — йих+д)) =й = 0; б) ос=а и + —, — Ь<х<6, 1>0, и~с=о=О, и/~хек=0, г Сх ас = й/(ср).
1.49. ис = а(т) ихх, х, ~ О, Ф > О, и(х,О) = с'(х), и( — О,с) = сс(+0,1), йси ( — О,М) = Йги,(+0,1), а(х) = ~ гс' ' аг = — ', с а~г, х, > О, ' сссч' с=1,2. 32. Классификация уравнений второго порядка Уравнение 2.1. Привести к каноническому виду уравнения: 1) их, + 2и,р — 2и„+2и„„+би„= 0; 2) 4и — 4и „вЂ” 2и„, + ир + и = 0; 3) ихр — ихх+ их +ар — и, = 0; 4) и +2и „вЂ” 2и +2ирр+2и„= 0; 5) сс, + 2ихр — 4и„— бир, — и„= 0; б) и х+ 2и р+ 2ирр+ 2ир, + 2ирс+ 2и„+ Зии = 0; 7) и „вЂ” и с+ и — 2и с+2ии = О' 8) ихр+ и„+ ихс+ им = О' 9) и„+ 2и,р — 2и„— 4ир, + 2ирс+ и„= 0; 10) ихх + 2и„— 2ихс + ирр + 2ир„+ 2ирс + 2ихх + 2исс — — 0; И о — с й=г й=с о к 12) и,,— 2 ~', ( — 1)йих,,х„=О; й=г 14) 2 и„,„+ 2,' Си„„= 0; ™*м с<я 13) 2 йих,~,+2~, '1и с „=0; й=с с<й г — сзяр ас (х)и, с +Ф(х,и,бгваи) = 0 с„с=с в каждой фиксированной точке хо можно привести к каноническому виду неособым линейным преобразованием С = Вг х, где  — такая матрица, что преобразование у = Всу приводит квадратичную форму а; -(хе) усуу си=с к каноническому виду.
(Любую квадратичную форму можно принести к каноническому виду, например, методом выделения полных квадратов.) 34 Гл. 1 Лоехлоновко краевых задок мотемохлнчеекой Физики Уравнение а(х,у) и + 26(х,у) и „+с(х,у) и„е — — Ф(х,,у,и,их,и„), где )а) + (Ь| + )с) ф О, принадлежит (в точке или области): гиперболическому типу, если Ьз — ас> 0; параболическому типу, если Ьз — ос=О; эллиптическому типу, если Ьз — ос<0. Лля уравнения (1) характеристическое уравнение а(х, у)(е1у)з — 26(х, у) е1х е(у + с(х,у)(е(х) = 0 распадается на два уравнения: а е1у — (Ь + х/Ьз — ас) е1х = О, (2) а е(у — (Ь вЂ” ~/Ьз — ас) е(х = О. (3) Уравнения гиперболического типа: Ьз — ас) О.
Общие интегралы ез(х, у) = сзо еб(х, у) = оз уравнений (2) и (3) действительны и различны. Они определяют два различных семейства действительных характеристик для уравнения (1). Заменой переменных с = Ч(х,у), Л = з)(х,у) уравнение (1) привсцится к каноническому виду исо — — Фх (с, и, и, их, ио). Уравнения параболического типа: Ьз — ас = О. Уравнения (2) и (3) совпадают. Общий интеграл д(х,у) = с уравнения (2) определяет семейство действительных характеристик для уравнения (1).
Заменой переменных С = д(х,у), и = 16(х,у), гле еб(х, у) — любая гладкая функция такая, что эта замена переменных взаимно однозначна в рассматриваемой области, уравнение (1) приводится к каноническому вину и„„= Фз ((, и, и, ис, ио). Уравнения эллиптического типа: бз — ас < О. Пусть ~р(х,у) + зф(х„у) = с — общий интеграл уравнения (2), где д(х, у) и Ф(х, у) — действительные функции "1. Тогда заменой переменных с = ~р(х, у), Л = 16(х, у) уравнение (1) приводится к каноническому виду иСС + и, = ФхЫ,еби ие ио) 2.2. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнения: 1) и — 2ихе — Зиез + ив — — 0; 2) ихх — би о+ 10и„„+и, — Зио — — О; ~Если о, Ь, с — аналитические функции, то существование общего интеграла уравнения (2) вытекает из теоремы Ковалевской.
Э" 2. Каасоц4инаяия цраанениа агаорого нарядна 35 3) 4и +4и ц+и„ц — 2и„=О; 5) и — уи„„= 0; 7) уи — хи„„= 0; 9) Уги +хгицц —— 0; 11) (1+хг)и +(1+уз)и +уи =О. 13) и,г — 2э1пхигц+(2 — соэгх)ицц — — 0; 14) уги, + 2уи „+и„„= О; 15) х и — 2хи „+ и„„= О. 4) и,„— хицц — — 0; 6) хи — уи„„= 0; 8) х ига+у и„„=О; г г 10) уги — тги„„= 0; 12) 4уги — гг*и„„= О; 2.3. Найти общее решение уравнений с постоянными коэффициен- тами: 1) и,„=О; 3) иаа — 2и „вЂ” Зи„„= 0; 5) Зи, — 5иац — 2и„„+Зи +и, =2; 7) и„— 2иг — Зиц+ би = 2еатц; 8) и +2аи „+а ицц+иг+аиц — — О.
г 2.4. Показать, что уравнение с постоянными коэффициентами иго+ аиа+Ьиц+ си = 0 заменой и(х, у) = и(х,у) е ц* а" приводится к виду и „+(с — аЬ) и = О. 2.5. Показать, что общее решение уравнения и,ц = и имеет вид и(х, у) = / П1) .7о (2г /у(х — г)) г)г+ о ц + / д(1) уо ~2г иух(у — Г)) й + (ДО) + д(0)) .Уо (21 /хуу), о где Хо(я) — функция Бессели, а У и д — произвольные функции клас- са С'. 2.6. Показать, что общее решение уравнения и,ц —— Г(х, у), где Р Е С((х — хо) < а, 1у — уо! < Ь), имеет вид и(х, у) = 1'(х) + д(у) + Я ~ Р(С, г1) гЬ1 г(С, *а цо где 1 и д — произвольные функции класса Сг.
2.7. Доказать„что общее решение уравнения и „+ А(х,у) и. = О, где А(х, у) е С'()х — хо) < а, (у — уо) < Ь), имеет вид 2) иго — а ицц — — 0; г 4) и,„+аи,=О; 6) игц+аиг+Ьи„+аЬи= 0; Пусть коэффициенты уравнения (1) непрерывны в некоторой области В. Функция и(х,у) называется решением уравнения (1), если она принадлежит классу Сг(11) и удовлетворяет уравнению (1) в области Ю. Множество всех решений уравнения (1) называется общим решением уравнения (1). 36 Го. Х. лоеиеаноеио краеамх задач моеоематоичееноя физини н,х)=де~:1 е(е) р -1 Ак, еех(ее, ха Ро где 1 и д — — произвольные функции классов С2 и С' соответственно. 2.8. )(оказать, что общее решение уравнения 1 1 и,„— — и, + — ие — — О х — р х — р у(х) + д(р) имеет вид и(х„у) =, где 1 и д — произвольные функции из х — р класса С2.
2.9. Локазать, что общее решение уравнения и„— — и+ ™ и„=О, х — р х — р где и и пз — натуральные числа, имеет вид до+ -' )У(х)+д(у) дх -'др"-' 1 х — р где у и д — произвольные функции из классов С'"+' и Со+2 соот- ветственно. 2.10. Доказать, что общее решение уравнения ихи + — их — ™ ие —— О, х — р х — р где и и го — неотрицательные целые числа, имеет вид и(х,у) = (х — у)"+~+ дх"др 1 х — р где у и д —. произвольные функции из классов С"+2 и С'"+2 соответ- ственно.
2.11. В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение уравнений: 1) рихх+ (х — у) ихи — хи„„= 0; 2) х и — у и„„= 0; 2 2 3) хзи +2хуи „вЂ” Зуз脄— 2хи =О; 4) хзи,+2хуи +узи„„=О; 5) ихи —.тих+и = 0; 6) ихе+ 2хуии — 2хи = О; 7) и „+и +ри„+(у — 1)и = О; 8) ихе+хих + 2уио+ 2хри = О.
Ответы к 22 1 1 2.1. 1) нес+и +иге — — 0; С=х, 21=у — х, ~=х — -У+ — х; 1 1 1 2) иес — и„+ иег ~- ио хх О; С = — х, 21 = — х + у, (' = — — х — у + х; 2 ' 2 ' 2 3) иее — и + 2ие — — О; С = х + р, е1 = у — х, Ь = у + х; З а. Кааееи4икацов рравкекий вагоуозо колодка 37 4) и»»+и,=О; »=х, г/=у — х, ~=2х — у+х; 3 5) и»» — 脄— и»»=0;»=х,т/=у — х,/= — х — — у4- — г; 6) и»»+ива+и»»+и, =0; 5=х, г/=р — х, /'=х — у+з, т = 2х — 2у + з + 1; 7) и»» — и „+и»»+и, = 0; » =х+у, г/=у — х, /, = з, т =у+г+1; 8) и»» — и„„+и»» — и„= 0; » = х-1-у, г/=х — у, ~ = — 2у+г+», т=г — »; 9) и»» -ив„+и»» = 0; ~ = х, з/ = р — х, ~ = 2х — р+г, т = х+з+»; 10) и»»+ива=О; »=х, У=Р, »= — х — У+г, т=х — У+1; а й 11) ~ и»е»„= О, »в = 2 хи 1= 1,2,...,п; 1=1 " 1=-1 д й 12) ~„"( — 1)з+ и»»„— — О, ~з = ~ хи /е = 1,2,...,п; в=1 [=1 13) ~и»»„=0,6=хз,~ =, —, Ь=2,3,..., а=г 2к 1 14) Я и»,»,=0, 4»= у/ (хз — — ~ х/), 1=1,2,...,д; з.=г з У+1 3 — к 2 15) и»,»,— д и»»„=О, ~г = хг+~ 2'хз, 1 4а = — хг — з/2 хе, /е = 2,3, ...,п.
1 2.2. 1) и»в — — (и» вЂ” иц) = О, » = х — у, г/ = Зх+ у; 16 2) и»»+и +и» вЂ” — О, » =х, г/=Зх+у; 3) ива+и» = О, ( = х — 2р, г/= х; 4) и» + (и»з и ) О е хз/г+у г/ хз/г у х>0. 6(4+ г/) и»»+ива+ — и» = О, 4 = — (-х) /, у =у, х < О; 1 5) и»„+ (и» вЂ” ив) = О, ~ = х + 2 /у, г/ = х — 2 /у, у > О; 2%-Ч) 1 и»»+ива — — и„=0, 4=х, г/=2з/:у, у<О; 1 1 6) и»» — иоц — — и» + — и„= О, » = З/Гх), г/ = 1/у) (х > О, 1 1 у > 0 или х < О, р < О); и»» + и — — и» вЂ” — и„= О, 4 = /Я, вч 5 ц г/ = з/Я (х > О, у < 0 или х < О, р > 0); 1 1 7) и»» — и + — и» вЂ” — и„= О, 4 = (х~з/г г/ )у)з/г ( > 0 1 1 у > 0 или х < О, у < О); и»» + и + — и» + — и„= О, /' = )х(з/г 34 зр г/ =- )у(~/~ (х > О, у < О или х < О, у > О); 38 Го.
5 Лоетакоека куаееых задач математаэчеекой физики 8) исе + ио„— ие — ив = О, С = 1п]х], з1 = 1п]У] (в каждом квадранте); 1 1 9) вез+и „+ — и4+ — иц — — О, (=уз, п=хг (вкаждомквадранте); 10) ис + (г1ие — (и ) = 0 С уг хг з1 уг+хг 1 21)1 сг) (в каждом квадранте); 11) иее+ и„о — 15~ос — — О, 4 = !п(х+ з71+ххгг), 41 = 1п(у+ /1+Уз); 12) ие — (ие — иа)+ (ие+и ) = О, С = уг+е', з1 = 1 1 =у' — е* (у>О у<О); 13) иес + и „+ сов ~ив ее О, С = х, )1 = у — соя х; 14) и„— 2ие =О, С т2х — уг, з)=у; 15) и — ~ие = О, 4 =хе", )у =у; 2.3. 1) 1"(х) + д(у); 2) Ду+ ах) +д(у — ах); 3) 1'(х — у) + д(Зх + у); 4) 1'(у) + д(х) е 5) х — у+1'(х — Зу)+д(2х+у)еаза У~; б) [Х(х)+д(у)]е 7) е'+" +[У(х)+д(у)]езе+го; 8) Ду — ах)+д(у — ох)е *.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
