1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 6
Текст из файла (страница 6)
о 1.58. Разлагая решение п(х, э) стационарной краевой задачи 1.57 в ряд по сферическим функциям от з, удерживая только члены с ну- левой и первыми гармониками, показать, что функция по(х) = — ~ п(х, э) сЬ 1 )еГ=1 есть решение краевой задачи (диффузное приближение) Э' В Вывод сСравненио и лвенсвнввни нрвевыз звссвч 29 — — сЕсв ( — кгас(бо) + (1 — Ь) Есо — — —, (по+ — ')! = О.
Ответы к э 1 1.1. Ти +/(х) = О, 0 < х, < Е, и) -о = ссре=с = О, где /(х) —- плотность нагрузки. 1.2. рии — — Тоивв, 0 < х < Е, х г. хо, С > О, и(в=о = и!в=с = О, и(хо+О,С) = и(хо — О,С), ив(хо+ О,С) — ив(хо — О,С) = ™~ ии(хо, С). Хв 1.3. рии —— Ти„— аи, 0 < х < Е, С > О, где а — коэффициент упругости среды. 1.4. Вес = агд, О < х < Е, 0 < С < оо, В(х, 0) = Х(х), Вс(х, 0) = = г'(х), 0 < х < Е, где В(х, С) — угол поворота сечения стержня с координатой х в момент времени С, а = СС.Е/Ф, где СС вЂ” модуль сдвига, .7 —. полярный момент инерции поперечного сечения относительно точки, в которой ось пересекает это поперечное сечение, Ф вЂ” осевой момент инерции единицы длины стержня.
Граничные условия: а) Вв(О,С) =В,(Е,С) = 0; б) В(0, С) = В(Е, С) = 0; в) (Вв — Есд)/в-о — — О, (В, + ЬВ)/ с = О, где Ь = Ес/(С.Е), й— жесткость упругого закрепления. 1.5. исс + аги„ = О, 0 < х < Е, С > О, и(х,О) = /(х), ис(х,О) = = В'(х), 0 < х < Е, и(О,С) = и (О С) = и„,(Е,С) = и...(Е, С) = О, где аг = Е,Е/(рд), .Š— геометрический момент инерции поперечного сечения относительно его сродней линии, перпендикулярной к плоскости колебаний. 1.б.
ии = аги , 0 < х < Е, С > О, аг = уро/ро — скорость звука, и(х,О) =О, и,(х,О) =и, 0<х<Е, и(О,С) =О, и (Е,С) =О, С >О. 1.7. ии — — аги„, аг = Еро/ро, 0 < х < Е, С > О, и(х, 0) = /(х), ис(х, О) = д'(х), 0 < т < Е. Краевые условия: а) и(0, С) = и(Е, С) = 0; б) и (О„С) = и„(Е,С) = 0; в) (и — Ьи) /в о = О, (и„+ Еси)(в,с — — О, где 6 = сс/(Буро), где 5— площадь поперечного сечения трубки.
1.8. исс — — аги,„О < х < Е, С > О, и(О,С) = д(С), и (Е,С) = Ф(С)/(ЕЯ), С > О, и(хО) = О, и(х,О) =О, 0 < х < Е, ог = Е/р. 1.9. иы — — а и„— 2лгссо О < х < Е, С > О, и(х, О) = ос(х), ис(х, О) = = с/с(х), 0 < х < Е, и(О,С) = и(Е,С) = О, С > О„где 2и = Ес/р, Ес— коэффициент трения. 1.10. — ~Я(х) — ~ = а —, а д с ди1 гди г рл д* ( ' д*) дс ' В ' 30 Гп. 1 Постпакооки краеомк задач матпематппческоа физики 1.12. — = а — ~х — ~, 0 < х < 1, 1 > О, а = —, /и(0,1)) < оо, дги г д гдит М дЗг д* ' дх и(1, 1) = О, 1 > О, и(х, О) = 1(х), ис(х, 0) = Р(х), 0 < х < 1. 1.13.
па — — азизе, х ф О, 1 > О, а = То/р, и(х,О) = О, ит(х,О) = О, х ф 0; условие в точке х = 0 имеет виц: а) — тпоитс(0,1) + То[и,(+0,1) — и,( — 0,1)] + 1оз1пй1 = О, 1 > 0; б) и( — 0,1) = и(+О с), — таите(0, $) + То(ие(+О,Х) — иа( — 0,1)) = О, 1 > О, и( — 0,0) = и(+0,0) = О, тпоис( — О, 0) = пгоги(+О, 0) = ро, в) и( — 0,1) = и(+О,С), 1 > О, пгоиее(0,1)+То(ие(+0,1) — ие( — 0,1))— — й и(0,1) =О, тпоит( — 0,0) =таис(+0,0) =ро, и( — 0,0) =и(+0,0) =О.
1.14. иа — — аги,, 0 < х < 1, 1 > О, аг = Е/Р, и(х,О) = 1'(х), ие(х, О) = д(х), О < х < 1, и(0, с) = О, (ЕБи — 1сит)~м г = О, 1 > О, где (с — коэффициент трения для конца стержня х = 1. 1.15. ии — — азизе> х ф хп г = 1,...,и, 0 < х < 1„Х > О, и(0,1) = = и((, 1) = О, и(хе — О, Х) = и(хг + О, 1), и,(х; + 0,1) — и,(х; — ОД = = — 'ии(хпс), 1> О, г = 1,.",и; и)т=о =Х(х) иеЬ=-о с Е(х), О <к<1.
и,', = а~~и,'„— со < х < 0 1 иги = агис* 0 < х < +со ~ Еги„'(0,$) = Еги~(0 1), 1 > О, и'(х,О) = 1(х), и,'(х,О) = Е(х), — оо < х < О, иг(х,О) = 1(х), ие(х, 0) = Р(х), х > О, где и~,иг— смещение точек левого и правого стержней, аг = Е;/рп г = 1, 2. 118. — =д — ~х — 11, О<к<1, 1>0, ~и(0 с)(<оо, иЯ1) =О, дго д т ди'1 дгг дк ~ дк1' 1 > О, и(с=о = 1 (х), ие(с=о = Е(х), 0 < х < 1. 1.19. ЬФО1 = О, т > Л, сзФпт = О, 0 < т < Л, кгас)Ф = Н, Ф~„!„— л = ФР„'т)„— и, Ф,р /,— л = (Ф'„,+ — 1 „)~, (Фе(О,С)( < оо, г'„„= — — поверхностная плотность тока, а ФО), Ф(0 — — потенциал магнитного поля внутри и вне проводника соответственно. 1 20- А = — сои п = — Ыс, О < х < 1, 1 > О, п!е-о = по, и(О 1) = с 1 т = — 11,1 т11 на заземленном конце, пе(1, 1) = 0 — на изолированном. с,т о 1.21.
Ва = агВ,к, 0 < х < 1, 1 > О, В~с=о = ах/1, Вт(с=о = О, 0 < < х < 1, В~, о = О, В,( -~ = — — Вте, где постоянные а, Ф,,У, С г имеют тот же смысл, что и в задаче 1.4. я д Вывод уравнений и ноесноновко краевых эодоч 31 1.22. иы — — асссхх+ д, 0 < х < М, с > О, и(х, О) = и,(х, О) = О, О < < х < М, и(0 с) = О, сссрнг) = О, с > О, ах = Е/Р.
1.23. ии = а~ихх + д, 0 < х < М, 4 > О, и[с=о = иаэс~ = О, 0 < < х < ~, и[*=о = О, — ин! с = — Евших! — с+ с с. Д о 1.25. ии — — ах (и„, + — сс,), 0 < т < гс, 1 > О, и(т,О) = /(т) ис(т, 0) = Р(т), 0 < т < Н, [и(0, С)! < оо, ие! =в = О. 1.26. ЛсР = О, с' > Й, 1 > О, — ~ = О, 4 > О, 1пп о = 1пп Огас(сР = др дт т=я ' ' ' е-ссю г-~со = оо, где оо — скорость потока на бесконечности. 1.2с.
исс = ах (и,„+ — и„), 0 < т < Я, 4 > О, и(т,0) = Ят), 2 и,[, о = Г(т), 0 < т < Я, [и(0,1)! < оо, и ! =и = О, где ах = = 7ро/ро. 1.29. ии + Лис = ахЬи+ ' ', 0 < т < Н, 0 < сР < 2сг, 4 > О, /(т, ~р,с) Р и[с=о = ив[с=о — — О, [сс(О,сР,4)! < оо, сс(К,сР,Г) = О, где ах = Т/Р, Л = а/р, а — коэффициент упругого сопротивления среды.
1.32. а) исс — а дси+ — ис — — О, а х 4хЛ х с /д 1 4л с /д х Л рх дсра 6) — — а Ь сссо= — — р, — — а Ь ср=О, — — — 6соср=О, Лдас ) ехр ' ~дсс ) г дС где Е = (Ес,Ех, Ез) — напряженность электрического поля, Н = = (Нс, Нх, Нз) — напряженность магнитного поля, р(х) -- плотность зарядов, е — диэлектрическая постоянная среды, р — коэффициент магнитной проницаемости среды, 1(х, с) = (1с, 1х, 1з) — - ток проводимости. В случае а) лля компонент Е и Н получается одно и то же телеграфное уравнение. Нля случая 6) вводится четыреккомпонентный электромагнитный потенциал (сра,ср), ср = (срс,срх,срз), с помощью которого решение уравнений Максвелла ищется в виде Е = кгас) сро — — —, Н = — гоа ср.
1дс о дс и 1.33. Н = —. Нс + — Ни, х > О, 1 > О, Н[сао = О, Нс[с=о = О, с ес х > О, Н! -а — — Нояспссе, с > О, где с — скорость света. 1.34. ис = ахи,, 0 < х < 1, 4 > О, и(х, О) = /(х), 0 < х < 1, краевые условия: а) '4*=а = ус(4) '4х=с = срх(Ф), 1 > 0; 6) ЛБи*[~=о = Ыг) ЛВсс*! =с = срх(Г), Г > О; в) и ! =о = Л[и(О,Й) — срс(Х)), и,[х-с = — Ци(1,1) — срх(с)[, ах = = Л/(ср) — теплоемкость, срс(4), срх(4) в случае а) - — температура 32 Гп. Х. Лоппаповки краевых задач мотпемптпической ятизики концов стержня, в случае б) — температура окружающего простран- ства на концах стержня, д; — тепловые потоки на концах стержня. 1.35.
ит — — Ви, 0 < и < С, С > О, и(х, 0) = /(х), О < х < С, граничные условия: а) и(О,С) = и(С,С) = О, С > О; б) ие(О,С) = ие(С,С) = О, С > 0; в) и ] о = тт(и(О,С) — трт(С)]„С > О, и]е=г = — 'тт(и(С,С) — трг(С)], где ет/В = 6, а — — коэффициент проницаемости на концах. 1.36. ит = ВЛти — сти, С > О, х = (хт,хг,хэ) 6 Л~.
137. ив=аги — — "и, 0<х< С, С>О, и]т-о =/(х), 0<х<С, срЯ и],-о = ио, (и, + Йи)] — т = О, С > О, р .— периметр поперечного сечения стержня, 6 = и/й, а = й/(ср). 1.38. ит —— аги„+ х 3(х — ооС), — оо < х < +со, С > О, и(х, 0) = с = тр(х), аг = Ст/(ср). 1.39. ит = агие — Ь(и — ио), 0 < х < С, С > О, и(х, 0) = /(х)т ар 0 < х < С, и],-о — — и],-т, и,]*=о = и ~,-т, аг = —, Ь = —, где Р— периметр поперечного сечения кольца, х = Лд, д — угловая координата. 1.40. ит = Ви„— оие к > яо, С > О, (Ви, — ои)]т — „= О, С > О, где о — скорость оседания частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
