1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Приведем несколько примеров на составление уравнений. Пример 1. 3 ад а ч и о и о и е р е ч н ы х к о л е б а н и я х с т р у н ы. Струна длиной 1 натянута с силой Те и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени 1 = О точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить задачу для определения малых поперечных колебаний точки струны лри 1 > О, если концы струны: а) закреплены жестко; б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения и; в) закреплены упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное противоположно ему„ г) двигаются в поперечном направлении по заланньпя законам.
Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь. 10 Гтс П Постановки краевых задач матаемаатической (олиэики Р е ш е н и е. Пусть ось х (ювпадает с направлением струны в положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины. Это значит„что если мысленно разрезать струну в точке х, то действие одного участка струны на другой (сила натяжения Т) будет направлено по касательной к струне в точке х. Для вывода уравнения колебаний выделим участок струны от х до х + Ьх и спроектируем все действующие на этот участок силы (включая и силы инерции) на оси координат. Согласно принципу Даламбера сумма проекпий всех сил должна равняться нулю. Мы изучаем только поперечныс колебания.
Поэтому можно считать внешние силы и силу инерции направленными вдоль оси и. Примем во внимание также, что рассматриваются малые колебания струны. Это значит, что в процессе вывода уравнения мы будем пренебрегать квадратами величины и (х,1). Длина Я дуги АВ выражается интегралом е-)-Ье Я= У Л+,2Д ВДх Это значит, что удлинения участков струны в процессе колебания не происходит и, следовательно, по закону Рука величина натяжения То = )Т) не зависит ни от времени, ни от х. 11айдем проекции всех Рнс. 1 сил в момент времени 1 на оси и. Проекция силы натяжения с точностью до бесконечно малых (б. м.) первого порядка равна (рис. 1); То(з1в с((х+ Йх) — тйп о(х)) = То ~) (ь(*) ( (*) 'л ' ( ~л') 'л ' () )+ )(*~' *,)) ((т 3(,))) — Тои, (х,1) Атх.
Пусть р(х, 1) -- непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на участок АВ вдоль оси и действует си)та р(х,1) Ьх. Для нахождения силы инерции участка АВ воспользуемся выражением — таим, где ш — масса участка. Если р(х) — непрерывная линейная плотность струны, то тп = ратх. Таким образом, проекция на ось а силы инерции задается выражением — рите(лх, а проекция всех сил на ось и имеет вид з 1.
Вмвод уравнений и ноенсановки краевмх задач [Тоиее+р(х,с) — р(х) ин[йсх = О. Следовательно, Тои — р(х) исс + р(х, 1) = О. Это и есть уравнение вмнрзхденньсх колебаний спсрссны. Если р : — сопз$, то уравнение принимает вид исс = а и„+ й(х,1), 2 где аз = То(р, д(х,1) = р(х 1)(р. Кроме того, функция и(х,с) удовлетворяет начальным условиям и[с=о = ср(х), ис[с=о = Ф(х) где ср(х) с(с(х) -- заданные функции. Вывод краевых условий. а) Если концы струны жестко закреплены, то и[ -о = О, и[ с = О. б) В случае свободных концов для получения условия при х = 0 спроектируем на ось и силы, действующие на участок КМ (рис. 2). Рис.
2 Так как натяжение в то псе х = 0 действует лишь параллельно оси х, то проекция сил натяжения на участок КМ равна Тоне(асх, 1). Проекция внешней силы равна р(0, 1) Ьх, а проекция силы инерции равна — рии(0, 1) Ьх. Приравнивая нулю их сумму, получим Тои. (Ьх,с) +р(0,1) с'х — рии(0,1) Ьх = О. (2) Устремим с2х к нулю. Тогда вследствие непрерывности и ограниченности входящих функций получим условие и [,— о — — О. Аналогично получается условие на правом конце и [,=с = О. в) Лействие упругих сил заделки на левом конце лается выражением — ксс(0, 1).
Приравниваем в этом случае проекцию всех сил, действующих на участок КМ, на ось и нулю. К левой части уравнения (2) добавится член — йи(0, 1). Тогда имеем Тоне(сах, 1) — йи(0, 1) + р(0, 1) с2х — рсис(0 1) с2х = О, а при Ьх -с 0 получаем (и, — Ьи)[е о — — О, 6= ЦТо. На правом конце (рис. 3) проекция всех сил имеет вид 12 Гл. Х. Поетпаноени нраеемх задач мантемантииееной 41иэинтт Рис. 3 — Теи (1 — Ьх,а) — Ии(1,1) +р(1,1) Ьх — ритт(1,1) еэт = О, поскольку вшо(1 — еэх) = и ) При Ьх -+ 0 получим (ие + 1ти))е-~ = О. г) и) о — — рт(1), и! =т = ра(Ф), где функции рт(Ф), рэ(1) опредеяяют закон движения концов (рт(0) = ~р(0), рэ(0) = <р(1))- Пример 2.
Задачи о колебании стержня. Упругий прямолинейный стержень длиной 1 выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент 1 = 0 ссюбщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости, перпендикулярной к оси стержня, поставить задачу для определения малых продольных колебаний стержня при 1 > О. Рассмотреть случаи, когда концы стержня: а) закреплены жестко; б) двигаются в продояьном направлении по заданным законам; в) свободны; г) закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со стороны заделки прсдолы~ую силу, пропорциональную смещению и направленную противопопожно смещению. Р е ш е н и е. Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня (рис.
4) и пусть х —. координата сечения 1х1, когда оно находится в о Ят Рис. 4 покое. Мы изучаем малые продольные колебания стержня. Это значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня. Обозначим через и(х, 1) смещение этого сечения з д Вывод уравнений и постановки нраевых задач в момент й; тогда в рамках нашего предложения смещение сечения в точке х + Ьх будет и(х + Ьх, е) Ы и(х, е) + и (х, г) Ьх. Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет равно и (х, е). По закону Рука натяжение в атом сечении равно Т = ЕЯи,(х, е), где Я вЂ” площадь поперечного сечения, Š— модуль упругости материала стержня.
Уравнение колебаний стержня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции, действующие на участок рд, рзды Равнодействующая сил натяжения равна Т(х+Ьх) — Т(х) =ЕЯ[ив(х+Ьх й) — ив(х й)[ = ЕЯив (х,е) азх. Пусть р(х, е) — объемная плотность внешних сил. Тогда на участок рд, родя действует внешняя сила Яр(х,е) езх и сила инерции — р(х) Яим(х„е) евх. Сумма всех сил по принципу Даламбера равна нулю, т.е. [ЕЯивв(х, е) + р(х, е) Я вЂ” р(х) Яим(х, е)[ о х = О. (1) Отсюда р(х) им(х,Ф) = Еи (х,й) +р(х„М); (2) кроме того, и(х,й) удовлетворяет начальным условиям и[в — е = р(х), ие[е — а — — ф(х), где ~о(х)„ф(х) — заданные функции.
Если р(х) = р = = сопке (однородный стержень), то уравнение принимает вид им — — а и в +д(х,е), 2 где а = Е/р, д(х,е) = р(х,г)/р. (3) Вывод краевых условий. а) В случае жесткого закрепления отклонения концов не происходит,и, следовательно,и[,=о — — и[,=~ = О.
б) и[,=е = рз(е), и[,— ~ = рз(й), где рд(е), рз(е) — функции, определяющие закон движения концов (р1(0) = у(0), ря(0) — 'Р(~)). в) В случае свободных ксвщов составляем баланс действующих сил для обоих концов. На левом конце равнодействуклцая упругих сил натяжения равна Т(Ьх) = ЕЯи (Ьх, е), внешняя сила Яр(О,е) Ьх и сила инерции — рЯим(0, е) Ьх.
Сумма всех сил, действующих на выделенный элемент, равна нулю. Отсюда ЕЯи (Ьх,й)+р(ОДЯсХх — рЯим(О,й)Ьх = О, (4) и при Ьх — > 0 получаем ив[ о = О. Аналогично рассуждая, на правом конце получаем условие ив[,-~ = О. г) В левой части уравнения (4) добавится сила — йи(0, е). И после перехода к пределу при евх — з 0 получим 14 Гж й Постановки краевмх задач натенатончсской Физико ЕБи.„(0,1) — йи(0,1) = О или (и, — Ли)( =о = О, где 6 = Ц(ЕБ). На правом конце — Т(1 — осх) = — Егьа(1 — 11х, Р), Яр(1,1) Ьх — внешняя сила, — р(х) $щс(1, 1) сзх — сила инерции.
Тогда имеем — ЕЯи (1 — Ьх, с) — ви(1, 1) + Яр(1, 1) Ьх — исс(1, 8) Яр(х) Ьх = О, и при сзх -э О получаем второе граничное условие (иа + Ьи)~. ~ = О. ПримерЗ. Задача о колебании мембраны. Мемб- раной называется натянутая пленка, которая сопротивляется растя- жению и не сопротивляется изгибу. Работа внешней силы, вызываю- щей изменение площади некоторого участка, пропорциональна этому изменению. Положительный коэффициент пропорциональности Т не зависит ни от формы этого участка, ни от его положения.
Он назы- вается натяжением всембранм. Выведем уравнение равновесия мембраны, предполагая, что в на- чальный момент времени в положении равновесия мембрана совпа- дала с областью 0 плоскости (хм ха), ограниченной некоторой до- статсвшо гладкой кривой Е. Работа внутренних сил упругости рав- на по абсолютной величине работе внешних сил и противоположна ей по знаку. Пусть 1(х) — плотность силы в точке х, действукяцей перпендикулярно к плоскости (хы хз). Ппл действием внешней силы мембрана перейдет в новое положение, которое описывается уравне- нием и = и(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
