1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 9
Текст из файла (страница 9)
мз .. ~4?еО, хф1ф„ Ю=(0,1). О, х=О, *=1?й, 1 3.35. При каких сд и (д функция 1'(х) = принадлежит ~хд! -~- ~хг~е Ег(с„"д), если с„д = ((хд~ + )хг( > 1)? 3.36. При каких а функция г ", г = (хг + х~~)д?г, принадлежит Ег®), если: а) Я=(г<1); б) Я=(т>1)? 3.37. При каких а функция Дх) = !4 — пРи )х/7 О, г г г д/г едп ~х!~ Ц = (х, +хг+хз) 0 при !х! = О, принадлежит Аг(сс), если се = (~х~ < 1)? 3.36.
ПРи каких а ф?нкциЯ 1х~ ~, где ~х~ = (хгд+ ... +хг) принадлежит ГгЯ), если: а) Я=(Ц<1); б) Я=ОЦ>1); в) Я=И"? 3.39. Пусть функция д Е д гЯ), где с,з — ограниченная область. Показать, что фУнкциЯ 1'(х) = зд ~ ддд длЯ а < — пРинадлес «(у) И з 1х — р! 3 д? жит пространству Сд(сд) при?д < — — а. 2 3.40. Показать, что для функции? б Ьг(Я) Я вЂ” ограниченная область) по алабаму е > 0 найдется такая функция (, 6 С(Ц), что У~у — агах<с. Ц 46 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнение 3.37. н > —. 7 4 3.38. а) о < —,; б) о > —; в) ни при каких и.
2' 2' з 4. Функциональные пространства 1. Линейные нормированные пространства. Комплексным (вегаественным) линейным пространством называется множество М, для элементов которого определены операции сложения и умножения на комплексные (вещественные) числа, не выводящие из М и обладающие свойствами: а) Х1 + Хг = Хг + Х1' б) (Л+Ь)+Ь = Л+(Ь+Хз); в) в М существует такой элемент О, что О Х = О, для любого ХсМ; г) (сг + сг) Х = сгХ + сгХ; д) с(Хг + Ь) = сЛ + гХг,' е) (сьсг) Х = сг(сгХ); ж) 1 Х = Х для любых Х,Л,Хг,Хз из М и любых комплексных (вещественных) чисел с, сы ог. Система элементов Хы ..., Хь из М называется линейной независимои, если равенство сгХг + ...
+ сьЬ = О имеет место только при сг = ... = сь = О. В противном случае система Хы ..., Хь линейно зависима. Бесконечная система Хы Хг, ... называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу Х поставлено в соответствие вещественное число )(Д, называемое нормой Х, удовлетворяющее следующим условиям: а) ()Д > О, причем )Щ = О лишь при Х = О; б) 2Х + д() < )(Д + )(д((, (неравенство треугольника); в) ~!сД = ) с())Д при произвольной постоянной с Для линейного нормированного пространства можно определить понятие расстояния между элементами р(Х, д) = дХ вЂ” д)! и понятие сходиносгпи по норме: последовательность Хы Хг, ...
сходится к некоторому элементу Х (Хн — ь Х при и — ь со), если р(Х, Хн) ь О при и — ь оо. Последовательность Хы Хг, ... линейного нормированного пространства называется фдноаменгпальной, если для любого е > О существует г»' = ге'(е) > О такое, что ()Хт — Х„'О < е при т, и > Ф.
Линейное нормированное пространство наыявается полным, если любая фундаментальная последовательность элементов имеет в этом пространстве предел. Полное линейное нормированное пространство В называется пространством Банаха. ~4- Фрвкчиввввълме вространстпва Множество Л е В называется пвоглнььи в В, если для любого элемента ( Е В существует последовательность у1, 1ю ... из В, сходящаяся к у (у„— Ф у при и — + со).
4.1. Установить, что следующие множества являются линейными пространствами: а) множество СьЯ), О < й < со; б) множество точек и-мерного пространства Л"; множество точек комплексной плоскости С; в) множество финитных в с) функций; г) множествО ограниченных в й функций; д) множество аналитических функций в области (~ комплексной плоскости С; е) множество функций из СЯ), обращающихся в нуль на некотором множестве Е Е ф ж) множество СЯ~(х )), где х Е Щ з) множество функций у из Сф), для которых /~~одх = О, Я где ~в — некоторая функция из СЯ), а Я вЂ” ограниченная область; и) множество функций у из Сф), для которых / Х<р4в = О, Я где ~р — некоторая функция из СЯ), а Я вЂ” ограниченный кусок гладкой поверхности, лежащей в (~; к) множество функций, интегрируемых по Риману (по области О); л) множество принадлежащих С~Я) решений линейного дифференциального уравнения А (х)В~У = О, где А Е С(с)), )а( < й; )а(<в м) множество измеримых в 0 функций; н) пространство 1чф); о) пространство Хэ(Я).
4.2. Убедиться, что следующие множества функций не составляют линейного пространства: а) множество функций из Сф), равных 1 в некоторой точке х ЕЯ; б) множество функций у б С(с)), для которых ) ~дх = 1 Я— ограниченная область); в) множество решений дифференциального уравнения Ьи = 1. 4.3. Доказать, что следующие системы функций линейно независимы: а) 1, я, хэ... на отрезке (а, Ь) (а < Ь); 48 1"л. 11. Функциональные пространства и инн)ееральные уравнения б) хо, !о! = О, 1, 2, ..., в области Щ в) ее""', й = О, 1, ..., на отрезке (а, '))!' г) (1(к))~ к' = О, 1, ..., в области Я, где 1(я) — некоторая функция из СЯ), 1 ~ сопвз. 4.4.
Доказать, что множество СЯ) является линейным нормированным пространством с нормой: 1) ()Л!с~в> — — щах(Х(я)(; 2) (!У!!с(д) — — 18п1ах!У(я)!. ее)7 ее) ) 4.5. Доказать, что множество С" (ь)) есть линейное нормированное пространство с нормой !)1!!с„р2) — — ~~) щах!1ло1(х)!. (1) < ле12 4.6. Пусть Б — — некоторое множество из (1. Показать, что множество непрерывных в Я функций 1(х), обращающихся в нуль в гочках Е, есть линейное нормированное пространство с нормой (1) при Й = О. 4.7. Установить, что следующие множества определенных в ограниченной области 1) функций являются линейными нормированными пространствами с нормой (1) при й = О: а) множество функций из С(ь,)), финитных в ьь); б) множество С Я); в) множество аналитических в Я и непрерывных в ф функций.
4.8. Убедиться, что в Ян можно ввести норму следующим образом: н 1/3 н ) 1))„= )*;); а) $)$)),=(З н): ) )) )),=1 *1. 1<1<и 1=1 1=1 4.9. Убедиться, что при любом р > 1 в Ви можно ввести норму формулой ))*)). = (Х:)*')') Найти 11п1 )!х!!р. 1 -+ее 4.10. Показать, что при любом р > 1 в качестве нормы в СЩ) можно взять выражение ))1)).=(()1)' ) (2) (область ь„> ограничена). Найти 8)п) !!1'!!о. 4.11. Убедиться, что линейные пространства примеров 4.4, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9 являются банаховыми (т.е.
полными в соответствующих нормах), а линейные нормированные пространства примеров 4.7, 4.10 при конечном р — неполными. 49 з 4. Функиионовьнме проетранетпво 4.12. Показать, что в пространствах Ь1Я) и ВзЯ) можно ввести нормы (4) Имеет место следующая Теорема. Просгарансгава В1Я) с нормой (3) и ВзЯ) с нормой (4) банаховы. Подмножество В' банахова пространства В называется (банаховмм) подпростиранством пространства В, если оно является банаховым пространством с нормой пространства В. 4.13. Пусть область () ограничена.
Показать, что: а) множество С (Ц) функций из СЯ), обращающихся в нуль на границе области Я, есть банахово подпространство Сф) (с нормой (1) при к = 0); б) подмножество функций Х из: 1) Сф); 2) Ь1Я); 3) Аз(Ц), для которых Х Х(х) ~р (х) дх = О, 1 = 1, 2, ..., в, где ан, ..., ~р, —. некоторые функции из Сф), есть банахово псдпространство пространства СЯ) (с норман (1) при к = 0), Ь|Я) (с норман (3)) и Ьз(О) (с нормой (4)) соответственно. 4.14. Показать, что счетное множество, составленное из линейных комбинаций с рациональными коэффициентами одночленов х'*, х = = (хы...,х„), о = (аы...,пн), (а) = О, 1,2,..., всюду плотно в: а) Сф) (норма (1) при к = 0); б) Ха(Я) (норма (3)); в) Ьз(Я) (норма (4)), где (~ — ограниченная область.
2. Гильбертовы пространства. Пусть любым двум элементам Х и д некоторого комплексного (вещественного) линейного пространства Н поставление в соответствие комплексное (вещественное) число (Х,д), называемое скалярным произведением этих элементов, обладающее следующими свойствами: а) (Х,д) = (д,Х); б) (Х+д Х1) = (Х Х1)+(д.Х1)' в) (сХ д) = с(Х д) при любой постоянной с; г) для любого Х Е Н число (Х, Х) вещественно и (Х,Х) ) О, причем (Х, Х) = О только при Х = О. 50 Х'л.
Н. Функциональные пространства и интегральные уравнения Пространство Н можно нормировать, положив, например, ))Х)) = = (Х, Х)ьХг. Эта норма называется нормой, лорозкденной скалярным произведением. Пространство ХХ называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением. Последовательность элементов ХыХг,... из Н называется слабо сходягцейся к элементу Х Е Н, егли для любого а Е Н (Хь,рь) — + (Х,Ь) при й — ь оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
