1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 11
Текст из файла (страница 11)
методом Грамма- Шмипта в скалярном произведении (Лр) =~ о получается ортонормированный базис пространства Х Х ---з ( — 1, 1), состоящий из многочленов Чебышева Тн(х), и = 1, 2,... 4.54. Ортонормировать систему многочленов 1, хд, хз в круге (4 < 1 со скалярным произведением (и,и) = ~ и6дх. ~х~<д 4.55. Ортонормировать систему многочленов 1,хд, хз,хз в шаре ~х~ < 1, х = (хд, хз, хз), со скалярным произведением (и,и) = ( дд6д1х. (х(<д эт ат.
4тдничиопааь ноте т~роотаранпиаа 4.56. Обозначим через Ц( — со,со) множество таких функций 1(Х) б Ьглоо( — СО, СО), ЛЛЯ КОТОРЫХ СУЩЕСтВУЕт КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ 1пп — ~ Щ 0х. Показать, что Аг ( — со, со) — гильбертово простран- Ф я-тот 2й / ство со скалярным произведением ь (у, д) = 1пп — ~ у д т1х. 1 г я — «оо 2й ./ 4.57. Показать, что система функций еюа, где о — любое вещественное число, является ортонормированной системой в Ц( — оо,со) (см.
продьц~ушую задачу). 3. Гнльбертовы пространства днфференцируемык функций. Пусть т,т — некоторая ограниченная область пространства Но с гладкой границей Г. Пусть тг = (ом ..., оа) — мультииндекс (см. обозначении). ФУнкциЯ 11о1 Б .бг ~оо(Ц) назьюаетсЯ обоби~еннот1 пдопэаоовой (о.п.) порядка о функции у из Рщ Я), если для любой фннитной в Я функции д б С~~~(1тт) имеет место равенство 1 ~~Р дух = ( — 1)~ ~ ( ут 1дт1х. (1) т2 Ю Если функция 1 б С~~~(О), то о.п. 11о1(х) существует и 11о1(х) = = Р 1(х) п.
в. Поэтому в дальнейшем о.и. порядка ст функции Дх) будет обозначаться через Роу. Множество функций (будем считать их вещественными) у Б Ьг Д), имеющих все о. п. до порядка Й включительно, принадлежащие Ьг (1,)), называется простпранством Соболева Н"Я). НьЯ) - — гильбертово пространство. Скалярное произведение в нем можно задать формулой (2) а соответствующую согласованную с ним норму— г/г 11Л ю) = ~) ( г,' Ю"т) )т* 1С1 1 !о/<Ь (2') При й = 0 пространство Н~(ц) совпадает с Агф) (Н~Я) = Аг (Я)).
Если граница Г достаточно гладкая, то пространство Н" Я) есть пополнение множества Сь(1.:)) по норме (2'). ~1Бовее сешеа определение сма В л а д и и и р о в В. С. Уравнения математической физики. — 5-е изд. -- Мо Наука, 1985. 56 Гл. 1Х. Фггннцианалвнме првсгарансепва и ингггеералвнме уравнение Пусть з б Н~Я), г'ы й = 1,2,... — последовательность функпий из С Я), сходящаяся в норме Нг Я) к 1(х). Лля любой гладкой (п — 1)-мерной поверхности Н (состоящей из конечного числа кусков, каждый из которых однозначно проектируется на какую-нибудь координатную плоскость), лежащей в Ц, существует такая постоянная с > О, не зависящая от Дх) и гр,(х), й = 1, 2, ..., что / ! (~, .— г !~ дв < сЦуь — 1 Цйг<<О.
Из этого неравенства и полноты пространства Е,з (Я) вытекает „что последовательность следов функций Ях) на Я сходится в норме Хз(Я) к некоторой функции д б Ьз(Н). Функция д(х) не зависит от выбора последовательности, приближающей функцию Г'(х), и называется следом Яз функции Дх) на поверхности Я с гег. Множество функций на Н'(О), след которых на границе Г равен нулю и.
в. на Г, обозначим через Нг Я). Его можно получить пополнением по норме (2') при к = 1 множества функций, имеющих непрерывные частные производные в Я первого порядка и обращающихся в нуль на Г. Лля функгхии 1 Е Ьг Я) свертка 1у,(х) = ~ агу,(/х — у/) ~(гу) ду, где г„г ыь((х — у~) ядро усреднения (см.
обозначения), называется средней дгункиией для (. Пусть хг = гре(у), г = 1„..., и, у = (уг, ..., уп) — Й раз непрерывно дифференцируемое в Ц взаимно однозначное отображение области Я на область Яг с якобианом, отличным от нуля в Ц. 'Хогда, если Г' Е Е НЯЯ), то Е(у) = Дгрг(у), г грп(у)) и НьЩ'). Лва скалярных произведения (и, и)г и (и, с)п в гильбертовом пространстве и соответствуюшие им нормы Йийг и 5и((гг называются знвиваленгпнмми, если существуют постоянные сг > 0 и сз > 0 такие, что для любого и е Н справедливы неравенства сгОи)(г < < г(игггг < сзгги))г. 4. 58. Установить, что смешанная о. и.
не зависит от порядка дифференцирования. 4.59. Показать, что из сушествования о.п. Р Х не следует сушествования о. и. Ра 1 при агг < ои г' = 1, ..., и, (а') < ~о(. У к а з а н и е. РассмотРеть фУнкпию Дхггхз) = гг(хг) + Ь(хз) где Яхг) не имеют о. п. первого порядка. 4.60. Показать, что если в области Я функция Дх) имеет о.п. Р" 1, то и в гпсбой подобласти Я' С (,~ функция Дх) имеет о. и. Ра). Ь 4. еррнкцнонаввнвве проетранппва 4.61. Пусть в области (,)1 задана функция (г(х), имеющая о, и Р ~м а в области (2г — функция уг(х), имегощая о.
п. Р (г, Доказать, что если Яд О Яг — область и для х 6 (,>г О Яг,(г(х) = гг(х) то (,(г(х), х е Яы У(х) = ~ ' ,(г(х), х 6 Юг, имеет о. п. Р~) в (~г О (вг, равную Р,(д в (ег и Р~,(г в (ег. 4.62. Пусть 1, если )х~ < 1, хг > 1, Пхы тг) = — 1, если (х1 < 1, хг < 1. Убедиться, что г'(х„хг) имеет обобщенные производные первого по- рядка в каждом из полукрутов, но не имеет о. и. по хг в круге ~х~ < 1. 4.63.
Доказать свойства средних функций: а) (ь 6 С (Но); б) (ь(х) сходятся при Ь вЂ” + 0 к ((х) в ЛгЯ), если ( 6 ЛгЯ); в) в любой строго внутренней подобласти („У й Я при достаточно малом Й имеет место равенство (Ро ()ь = Рогь, т. е. обобщенная про- изводная от средней функции равна средней функции от обобщенной производной. В задачах 4.64-4.72 доказать утверждения. 4.64. Если у функции ((х) в области (~ существует о. п. Ро~ = = ео(х) „а для функции ы(х) существует о.
п. Рцы, то существует о. п. Ра+д ( 4.65. а) р = з(8пх р Н'( — 1,1); б) р = (х( 6 Н~( — 1, 1), р = (х! ф Нг( — 1, 1). 4.66. Если ( 6 Н'(а,Ь) и о.п. у'(х) = О, то ((х) = сопзВ п.в. 4.67. Если ( 6 Н~(а, Ь), то ((х) эквивалентна на (а, 6) непрерывной функции. 4.68.
Если ((х) ч Нг( — со, оо), то !1щ,((х) = О. ~ерове 4.69. Обозначим через Н~ (О, 2я) подпространство пространства Нг(0,2з), состоящее из всех функций г'(х) из Н'(0,2н), для которых ((О) = ('(2х). Доказать следующее утверждение: для того чтобы функция г'(х) (из Нг (0,2я)) принадлежала Н~ (0,2я), необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд с общим членом пг(аг, + Ьг), где г1 гв а„= (,((х) созпхв(х, 6н = ( ((х) з1ппхе(х, и = 0,1,2,...
о о Равенство 58 Гл. НЬ Фуннииональнме проетпранетпоа и интпеерольньге ураененил ))Д-, = ~ (аь+Ьгя)(Ь + 1) ь=о определяет одну из эквивалентных норм Й' (О, 2я). 4.70. Пля тою чтобы функция г'6 Х 2(0 я) принадлежала Н (О я), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд с общим членом Ь2Ьгы 2 г Ьь = — гг у(х) вш Их г1х.
При этом о т ео (~Л',-„„~, = ~(~'+~гг) 4*= Ж(й'+ 1) Ь: о ь=г 4.71. Для лкгбой у Е Нг(а„Ь) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Стеклова) /~г,~, < (Ь-а)' ~багз,~ а а 4.72. Найти функцию уо(х) ф О, для которой неравенство задачи 4,71 превращается в равенство. Показать, что если Дх) ф сгта(х), где с — постоянная, то для Дх) имеет место строгое неравенство. 4.73. Показать, что для любой функции у Е Нг(0, 2тг), для которой г (0) = 2 (2я), имеет место неравенство 2е ге / 2л тг ~ егг1х < ~ Уг)24х+ ~ ~ е(х)4х о о е 4.74.
Показать, что для тобой функции у Е Н'(О, 2тг) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Пуанкаре) 2е 21т / гг ьг ( 1~г1х < 4 ~ (У')~г1х+ — ~ / Удх). о о о У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что система сга (Ьх/2), Ь = = О, 1,2, ..., является ортогональным базисом пространства Нг(0, 2тг).
4.75. Показать, что существует двумерное подпространство пространства Нг(0,2тг), для всех элементов которого неравенство задачи 4.74 превращается в равенство. Найти это подпространство и доказать, что для всех элементов из Нг(0,2тг), не принадлежащих этому подпространству, неравенство задачи 4.74 строгое. 4.76.
Пусть гт Е Нг Щ < 1), хг = (х! созга, хг = (х( вшгр, гт(х) = 2а = Ях(, гр). Показать, что 1пв / уг((х), гр) гйр = О. 1е)-тт-О о 4 77. Пусть |Е Н'Щ <1), хг —— )х! сову, хг — — )х! вгпггт, Д~,~-г = = Ь(ггт), 0 < ьг < 2я. Показать, что зг 4. Фдннннаназьнме нрос2арансгаеа 1пц ~ 1Ь(ср) — Ях/, р)~~бр = 0 е 4.78. Пусть у 6 Йг(0 < Х2 < 1, 0 < хз < 1).
Показать, что 1 (хмх2) дх2 = 0(х2) при 22 — г О. 0 4.79. Пусть х = (хыхз) = (рсоз~р, рз1пу) и функция Дх) = — ~ + ~~~ р~(аз соз Ьр + Ьь зш /ар) 2 2=1 принадлежит Н' ((х! < Ц. Выразить через аы Ьь интеграл р<2 4.80. Пусть 4фр) = — ~+~~~ (аясозЬР+Ьяз1п?ар) и ~к(азь+Ьз) <со. 2=2 Ь=2 Доказать, что существует функция у(хы хз) 6 Н Дх~ < 1) такая, что 1)а=2 = фЬ) Х2 = Рсоыр, хз = РИФ. 4.81. При каких значениях о функция 2 = )х~ "з1п ~х~ принадлежит Н (~х~ < 1)~ Х вЂ” (Х1 х2).
4.82. Показать, что )х~/(/х/~ — 1) 6 Й Щ < 1), х = (хы хз, хз). 4.83. При каких значениях о функция (' = ~х~ "е*' *' принадлежит Н2 (~х~ < 1), х = (хы хз, хз)? 4.84. Пусть Дхз,хз) = 2 аззшйх2е ь*', 0 < хг < я, хз > О. 2=1 При каких аь функция у принадлежит Н (О < х1 < з, хз > 0)? 4.85. Пусть у 6 Н2(~х~ < 1), х = (х2,хз,...,х„), п > 2. Обязана ли функция Дх) быть эквивалентной непрерывной функции в шаре )х~ < 1 (ср. с результатом задачи 4.67)? В задачах 4.86-4.90 доказать утверждения. 4.86. Если у 6 Н2 Я) и у(х) = сопзс и.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
