1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Преобразуя соответствующее уравнение (14.1), последовательно получаем:√Z ξ0pcos u du√= α2 , sin ξ0 = α2 и, наконец, ξ0 = (arcsin α2 )2 .2 u0Проверка 2.1 при α2 = 0 дает ξ0 = (arcsin 0)2 = 0, а при α2 = 1 имеемξ0 = (arcsin 1)2 = (π/2)2 = π 2 /4.Плотность f2 (u) является табличной (это равномерное распределение в интервале (0, π 2 /4)) – см.
замечание 2.8 и соотношение (2.23);соответствующая моделирующая формула: ξ0 = π 2 α2 /4.253Алгоритм метода дискретной суперпозиции для реализации выборочного значения ξ0 случайной величины ξ имеет вид: если α1 < 3/4,то ξ0 = (arcsin α2 )2 ; иначе ξ0 = π 2 α2 /4.Для η0 = m = 1 получаем β0 (α0 ) = (4/3)α0 , а при m = 2 имеемβ0 (α0 ) = (α0 − 3/4)/(1/4) = 4α0 − 3, отсюда получаем следующий модифицированный метод суперпозиции: если α0<3/4, то22ξ0 = arcsin(4α0 /3) ; иначе ξ0 = π (4α0 − 3)/4.Решение задачи В1 закончено.Заметим, что плотность f1 (u) получена с помощью технологии А:сначала взята плотность fθ (w) = cos u; 0 < w < π/2 с моделирующей√формулой θ0 = arcsin α0 , а затем использована замена w = u. Описание примера В2 закончено.ПРИМЕР В3 (1,5 балла).
Рассмотрим еще одну экзаменационнуюзадачу.ЗАДАЧА В2 [13]. Сформулируйте метод дискретной суперпозициии модифицированный метод суперпозиции и продемонстрируйте этиметоды на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайнойвеличины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) = e−2u + e−3u + e−6u , u > 0.РЕШЕНИЕ. Эта плотность не является элементарной, так как уравRξнение (14.1) вида 0 0 fξ (u) du = α0 сводится к соотношениюe−3ξ0e−6ξ0e−2ξ0+++ α0 − 1 = 0,236которое неразрешимо относительно ξ0 .Учитывая, чтоZ+∞e−λu0+∞1e−λu du = − =λ λ0для любого λ > 0, согласно замечанию 11.1 получаем вероятностиZ +∞111p1 =e−2u du = , p2 = , p3 =2360и представление вида (14.33)fξ (u) =111× (2e−2u ) + × (3e−3u ) + × (6e−6u ).236254Плотности f1 (u) = 2e−2u , f2 (u) = 3e−3u , f3 (u) = 6e−6u являются табличными (экспоненциальными) (см.
формулу (2.18) и замечание 2.8), и с учетом формулы (2.20) получаем следующий алгоритмметода суперпозиции:– если α1 < 1/2, то выборочное значение ξ0 случайной величины ξреализуется по формуле ξ0 = −(1/2) ln α2 ;– если 1/2 ≤ α1 < 1/2 + 1/3 = 5/6, то ξ0 = −(1/3) ln α2 ;– если α1 ≥ 5/6, то ξ0 = −(1/6) ln α2 .Для m = 1 имеем β0 (α0 ) = 2α0 , при m = 2 получаемβ0 (α0 ) = (α0 − 1/2)/(1/3) = 3α0 − 3/2, а при m = 3 имеемβ0 (α0 ) = (α0 − 5/6)/(1/6) = 6α0 − 5, отсюда получаем следующий модифицированный метод суперпозиции:– если α0 < 1/2, то выборочное значение ξ0 случайной величины ξреализуется по формуле ξ0 = −(1/2) ln(2α0 );– если 1/2 ≤ α0 < 5/6, то ξ0 = −(1/3) ln(3α0 − 3/2);– если α0 ≥ 5/6, то ξ0 = −(1/6) ln(6α0 − 5).Решение задачи В2 закончено.В рассмотренной задаче плотность состояла из трех слагаемых, новсе они были пропорциональны табличным (экспоненциальным) плотностям.
Описание примера В3 закончено.ПРИМЕР В4 (1,5 балла). Приведем заключительный пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА В3 [13]. Сформулируйте метод дискретной суперпозициии модифицированный метод суперпозиции и продемонстрируйте этиметоды на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайнойвеличины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =1euπsin u+ , 0<u< .+424(eπ/2 − 1) πРЕШЕНИЕ. Данная плотность не является плотностью элементарного распределения, так как последовательные преобразования уравнения (14.1) видаZ0ξ0sin ueu1++du = α0 ,44(eπ/2 − 1) π ξ0ξ 0 ξ0− cos u eu − 1 u + + = α04 π4(eπ/2 − 1) 002550(14.35)приводят к соотношению1 − cos ξ0e ξ0 − 1ξ0+= α0 ,+π/24π4(e− 1)которое неразрешимо относительно ξ0 .С учетом замечания 11.1 по аналогии с выкладками (14.35) вычисляем вероятностиπ/2Zp1 =01sin u du= , p2 =44Z0π/2eu du1= , p3 =π/244(e− 1)Z0π/2du1= ,π2и получаем представление fξ (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u) + p3 f3 (u), гдеf1 (u) = sin u,f2 (u) =eu,eπ/2 − 1f3 (u) ≡2π, 0<u< .π2С учетом выкладок (14.35) выведем моделирующие формулы дляплотностей f1 (u) и f2 (u).
Преобразуя соответствующее уравнение (14.1),для первой плотности последовательно получаем:Zξ0sin u du = α2 , 1 − cos ξ0 = α2 и, наконец, ξ0 = arccos α20 ,0α20= 1 − α2 .Проверка 2.1 при α2 = 0 дает α20 = 1 и ξ0 = arccos 1 = 0, а при α2 = 1имеем α20 = 1 и ξ0 = arccos 0 = π/2.Соответствующие преобразования для второй плотности имеют вид:гдеξ0eξ 0 − 1eu du= α2 , π/2= α2 и, наконец, ξ0 = ln 1 + (eπ/2 − 1)α2 .−1e−10Проверка 2.1 при α2 = 0 дает ξ0 = ln 1 + (eπ/2 − 1) × 0 = ln 1 = 0, апри α2 = 1 имеем ξ0 = ln 1 + (eπ/2 − 1) × 1 = ln eπ/2 = π/2.Плотность f3 (u) является табличной (это равномерное распределение в интервале (0, π/2)) – см. замечание 2.8 и соотношение (2.23); соответствующая моделирующая формула: ξ0 = πα2 /2.Алгоритм метода дискретной суперпозиции для реализации выборочного значения ξ0 случайной величины ξ имеет вид: если α1 < 1/4,то ξ0 = arccos α2 ; если 1/4 ≤ α1 < 1/2, то ξ0 = ln 1 + (eπ/2 − 1)α2 ; аесли α1 ≥ 1/2, то ξ0 = πα2 /2.Zeπ/2256Для m = 1 имеем β0 (α0 ) = 4α0 , при m = 2 получаем β0 (α0 ) =(α0 −1/4)/(1/4) = 4α0 −1, а при m = 3 имеем β0 (α0 ) = (α0 −1/2)/(1/2) =2α0 − 1, отсюда получаем следующий модифицированный метод суперпозиции: если α0 < 1/4, то ξ0 = arccos 4α0 ; если 1/4 ≤ α0 < 1/2, тоξ0 = ln 1 + (eπ/2 − 1)(4α0 − 1) ; а если α0 ≥ 1/2, то ξ0 = π(2α0 − 1)/2.Решение задачи В3 и описание примера В4 закончены.Теперь обсудим выполнение пункта В.2 семестрового домашнего задания (СДЗ).
Здесь рекомендуется использовать технологию В. Если выбираемые плотности имеют простой вид, есть опасностьполучить ситуацию, когда для сконструированной плотности применимметод обратной функции распределения, и потому использование метода суперпозиции не требуется.ПРИМЕР В5 (0,5 балла). Пусть требуется построить алгоритм численного моделирования выборочного значения ξ0 случайной величиныξ, имеющей плотность распределенияπsin u cos u+, 0<u< .(14.36)222Можно (выделяя вероятности согласно замечанию 11.1) представить эту плотность в виде (14.33) для p1 = p2 = 1/2; f1 (u) = sin u;f2 (u) = cos u, а также построить следующий модифицированный методсуперпозиции: если α0 < 1/2, то ξ0 = arccos(1 − 2α0 ), иначеξ0 = arcsin(2α0 − 1).Однако √можно заметить, что плотность (14.36) представима в видеfξ (u) = (1/ 2) cos(u − π/4), и потомус модели√является√ элементарнойрующей формулой ξ0 = π/4+arcsin 2α0 −1/ 2 , и применение методасуперпозиции здесь не требуется.
Описание примера В5 закончено.Во избежание описанной в примере В5 ситуации при применениитехнологии В следует брать «сложные» (полученные в результатенескольких последовательных замен в технологии А – см. замечание 14.2) плотности f1 (u), f2 (u)[, f3 (u)]. Это же позволит увеличить баллы СДЗ по сравнению с примерами 11.1–11.3, В2–В5.ПРИМЕР В6 (2,5 балла; [13]). Пусть требуется построить алгоритммоделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияππ5u√fξ (u) =+sin, 1 < u < 2.(14.37)(1 + u2 )22u4 2u2fξ (u) =Эта функция не является плотностью элементарного распределения,таккакпоследовательныепреобразованияуравнения257R ξ01fξ (u) du = α0 вида52Z ξ0πd(u2 + 1)1√dcos+= α0 ,(u2 + 1)22u2 2 11 ξ0 π ξ015− + √ cos = α02(1 + u2 ) 2u2 2Zξ011приводят к соотношению551−+ √ cos24 2(1 + ξ0 ) 2 2π2ξ0= α0 ,(14.38)которое неразрешимо относительно ξ0 .По аналогии с выкладками, приводящими к равенству (14.38), несложно вычислить вероятности (см.
замечание 11.1):Z 25 u du5113p1 ==+−= ,222221+21+141 (1 + u )Z 2√π1 π 12ππ√p2 =sindu=−cos= .cos22u4242 21 8uТаким образом, можно представить плотность (14.37) в виде смеси(14.33):π320u1π√fξ (u) = ×+×sin, 1 < u < 2,4 3(1 + u2 )242u2u2π20uπ√sinт. е. f1 (u) =,f(u)=.23(1 + u2 )22u2u2С учетом выкладок, приводящих к равенству (14.38), выведем моделирующие формулы для плотностей f1 (u) и f2 (u).Преобразуя соответствующее уравнение (14.1) первой плотности, последовательно получаем:rZ520 ξ0 u du1010= α2 ,−= α2 и ξ0 =− 1.2223 1 (1 + u )3 3(1 + ξ0 )5 − 3α2pПроверка 2.1 приα=0даетξ=10/(5 − 3 × 0) − 1 = 1, а при20pα2 = 1 имеем ξ0 = 10/(5 − 3 × 1) − 1 = 2.258Преобразования уравнения (14.1) для плотности f2 (u) даютZ ξ0π√πππ√ .√sindu = α2 , 2 cos= α2 и ξ0 =22u2ξ02u2 arccos(α2 / 2)1√ Проверка 2.1 при α2 = 0 дает ξ0 = π/ 2 arccos(0/ 2) = 1, а при√ α2 = 1 имеем ξ0 = π/ 2 arccos(1/ 2) = 2.Алгоритм метода суперпозиции выглядит следующим образом:если α1 < 3/4, то выборочное значение pξ0 случайной величины ξ10/(5 − 3α2 ) − 1, иначереализуется по √формуле ξ0=ξ0 = π 2 arccos(α2 / 2) .Для m = 1 получаем β0 (α0 ) = (4/3)α0 , а при m = 2 имеемβ0 (α0 ) = (α0 − 3/4)/(1/4) = 4α0 − 3, отсюда получаем следующиймодифицированныйметод суперпозиции:если α0 √< 3/4, тоpξ0 = 10/(5 − 4α0 ) − 1, иначе ξ0 = π 2 arccos [4α0 − 3]/ 2 .Технология В реализована здесь следующим образом: по технологии А из плотности 10/(3w2 ), 2 < w < 5 с помощью замены2w = ϕ√1 (u) = 1 + u , 1 < u < 2 создана плотность f1 (u), а из плотности 2 sin w, π/4 < w < π/2 с помощью замены w = ϕ2 (u) = π/(2u),1 < u < 2 получена плотность f2 (u), а затем рассмотрена взвешеннаясумма (14.33) с вероятностями p1 = 3/4 и p2 = 1/4.
Описание примера В6 закончено.«Усложнять» плотности вида (14.32), (14.33) при выполнении семестрового домашнего задания можно за счет наращивания числа слагаемых M в правой части (14.32) вплоть до использования функциональных рядов. Однако сконструировать достаточно содержательныепримеры здесь сложнее, чем при применении технологии В.ПРИМЕР В7 (1,5 балла; [41]). Пусть требуется моделировать выборочное значение ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =∞Xi−1ip u(1 − p), 0 < u < 1, 0 < p < 1.(14.39)i=1Плотность (14.39) не является элементарной, так как уравнение (14.1)RξP∞вида 0 0 fξ (u) du = α0 сводится к соотношению i=1 p(1 − p)i−1 ξ0i = α0 ,которое неразрешимо относительно ξ0 .Плотность (14.39) представима в виде (14.32) дляa = 0, b = 1; pi = p(1 − p)i−1 ; fi (u) = iui−1 ; i = 1, 2, .
. . .259Заметим, что в данном примере вспомогательная целочисленная случайная величина η имеет геометрическое распределение (см. формулы(10.22) и подраздел 10.8 данного пособия).Алгоритм метода суперпозиции имеет следующий вид: моделируемномер m плотности fm (u) согласно стандартному алгоритму 10.4 илипо специальной формуле (10.24):#"ln α1+ 1,m=ln(1 − p)√а затем полагаем ξ0 = m α2 (это аналог табличной формулы (2.22)).Отметим, что построение модифицированного метода суперпозицииздесь затруднено из-за более жестких требований к используемому генератору стандартных случайных чисел αi ∈ U (0, 1) (эти числа должныбыть равномерно распределенными в малых подмножествах интервала(0, 1)).Отметим также, что плотность (14.39) является частным случаемполиномиальной плотности (11.44) из примера 11.8 (см.