1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 47
Текст из файла (страница 47)
. . , n, а αj,i ∈ U (0, 1); j = 1, 2, 3, 4 – стандартные случайныечисла, и приближенно вычисляем интегралn rhi1 X(1) (2) 3 (3) 7 (4) 9.2 + cos 6ξi ξiξiξiI≈24n i=1Справедливо неравенство Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 2, 33 · 10−4 . Этодостаточно малая величина и, следовательно, предложенный алгоритмвыборки по важности эффективен. Решение задачи Д1 и описание примера Д1 закончены.ПРИМЕР Д2 (1,5 балла).
Приведем заключительный пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА Д2 [13]. Сформулируйте метод выборки по важности ипродемонстрируйте его на примере вычисления интеграла"ZZZ Z+∞+∞1π/2e−10xI=000(1)−πx(2)× cos x(4) ×01× arcsin(1)(2)1 + x (x )2 (x(3) )3 (x(4) )4#dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .Оцените сверху дисперсию соответствующего весового оценивателя(монте-карловской оценки).РЕШЕНИЕ.
В качестве плотности fξ (x) выбираем (1) (2) fξ (x) = fξ x(1) , x(2) , x(3) , x(4) = 10 e−10x× πe−πx× 1 × cos x(4) ,где x(1) > 0, x(2) > 0, 0 < x(3) < 1, 0 < x(4) < π/2, а функцияq(x) = g(x)/fξ (x) имеет вид11q(x) = q x(1) , x(2) , x(3) , x(4) =×arcsin.10π1 + x(1) (x(2) )2 (x(3) )3 (x(4) )4278Так как 0 < arcsin u < π/2 при 0 < u < 1, то выполнено неравенствоm1 ≤ q(x) ≤ m2 , где m1 = 0 и m2 = 1/20.Имеем I = Eζ = Eq(ξ), где ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) , причем компоненты ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 независимы.Компоненты ξ (1) , ξ (2) имеют табличные (экспоненциальные) распределения с параметрами λ = 4 и λ = π соответственно (см.
замечание(1) (2)2.8), и для реализации выборочных значений ξi , ξi следует использовать формулы вида (2.20).Компонента ξ (3) также имеет табличное (равномерное) распределение в интервале (0, 1), и для реализации соответствующих выборочных(1)значений ξi следует использовать формулу (2.23).Для компоненты ξ (4) несложно вывести формулу метода обратнойR ξ(4)(4)функции распределения: 0 i cos x(4) dx(4) = α4,i , или sin ξi = α4,i , или(4)ξi= arcsin α4,i .(4)Проверка 2.1 при α4,i = 0 дает ξi = arcsin 0 = 0, а при α4,i = 1(4)имеем ξi = arcsin 1 = π/2.Получаем следующий алгоритм выборки по важности.Численно моделируем выборочные значения компонентчетырехмерного случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) по формулам:(1)ξi(2)= (− ln α1,i )/10, ξi(3)= (− ln α2,i )/π, ξi(4)= α3,i , ξi= arcsin α4,i ,где i = 1, . .
. , n, а αj,i ∈ U (0, 1); j = 1, 2, 3, 4 – стандартные случайныечисла, и приближенно вычисляем#"n11 Xarcsin.I≈(1) (2) 2 (3) 3 (4) 410πn i=11 + ξi ξiξiξiСправедливо неравенство Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 6, 25 · 10−4 . Этодостаточно малая величина и, следовательно, предложенный алгоритмвыборки по важности эффективен. Решение задачи Д2 и описание примера Д2 закончены.Теперь рассмотрим выполнение пункта Д семестрового домашнего задания (СДЗ).Заметим, что невысокие оценки СДЗ за примеры 4.1, Д1, Д2 обусловлены следующими причинами:— компоненты четырехмерного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) независимы;279– плотности распределения компонент ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 «простоваты» – они являются в подавляющем числе случаев табличными(см.
замечание 2.8);– достаточно простой вид имеет функция «порчи» q̃(x), позволяющая легко получить оценки сверху и снизу 0 < A ≤ q̃(x) ≤ B.Для «усложнения» плотностей распределения компонент ξ (j) ,j = 1, 2, 3, 4 следует применять технологию А (см. замечание 14.2). Кроме того, с помощью технология Б можно сделать эти компоненты попарно зависимыми.«Усложнение» функции «порчи» q̃(x) связано с необходимостью нетривиального дополнительного исследования этой функции для поискаее оценок сверху и снизу.Приведем соответствующие примеры.ПРИМЕР Д3 (2,5 балла). Пусть требуется построить алгоритм метода Монте-Карло для приближенного вычисления четырехкратного интеграла3Z 1 Z 1 Z +∞ Z +∞x(1) x(2)−[2(x(2) )2 +(x(3) )2 +(x(4) )2 ]/2×I=42 × e00−∞−∞x(1) + 1s7 sin4 x(1) x(2) x(3) x(4)dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .× 1+9В качестве плотности fξ (x) выбираемfξ (x) = fξ x"(1)(2),x2e x(2) e−(x×e−1(2) 2)(3),x#(4),x38 x(1)=42 ×x(1) + 1(3) 2e−(x√×) /22π(4) 2e−(x√×) /22π,0 < x(1) < 1, 0 < x(2) < 1, −∞ < x(3) < +∞, −∞ < x(4) < +∞.Тогдаq(x) =g(x)π(e − 1)=×fξ (x)8eq1 + (7/9) sin4 x(1) x(2) x(3) x(4) .Учитывая то, что 0 ≤ sin4 x(1) x(2) x(3) x(4) ≤ 1, получаем, что значения функции q(x) заключены между m1 = π(e − 1)/(8e) ≈ 0, 248 и280m2 = π(e − 1)/(6e) ≈ 0, 331 (к слову, функция «порчи» здесь достаточно проста – в смысле сложности получения оценок снизу и сверху).Имеем I = Eζ = Eq(ξ), где ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) , причем компоненты ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 независимы.Формула метода обратной функции распределения для выборочных(1)значений ξi случайной величины ξ (1) получается из цепочки равенств3Z ξi(1)ξi(1)8 x(1) dx(1)22= α1,i , 2− (1) 4=α,−= α1,i4241,i(1)(1)00+1+1xxξi+1и, наконец,α1,i.(14.56)2 − α1,ip(1)Проверка 2.1 при α1,i = 0 дает ξi = 4 0/(2 − 0) = 0, а при α1,i = 1p(1)имеем ξi = 4 1/(2 − 1) = 1.Формула метода обратной функции распределения для выборочных(2)значений ξi случайной величины ξ (2) получается из цепочки равенств(1)ξiZ(2)ξi0r=4(2) 22e x(2) e−(x ) dx(2)= α2,i ,e−1(2) 2ee1−(ξi )−= α2,ie−1e−1и, наконец,(2)q− ln(1 − α2,i + α2,i /e).(14.57)p(2)Проверка 2.1 при α2,i = 0 дает ξi = − ln(1 − 0 + 0/e) = 0, а приp(2)α2,i = 1 имеем ξi = − ln(1 − 1 + 1/e) = 1.Компоненты ξ (3) , ξ (4) имеют стандартное нормальное распределение(3) (4)(13.2), и пары выборочных значений (ξi , ξi ) можно получать по формулам (13.4):pp(3)(4)ξi = −2 ln α3,i sin 2πα4,i , ξi = −2 ln α3,i cos 2πα4,i , i = 1, .
. . , n.(14.58)Получаем следующий алгоритм выборки по важности.Используя формулы (14.56)–(14.58), моделируем значения(1) (2) (3) (4)ξi , ξi , ξi , ξi и приближенно вычисляемs (1) (2) (3) (4) nX7 sin4 ξi ξi ξi ξiπ(e − 1)I≈1+.8e × n i=19ξi=281Справедливо неравенство Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 1, 71 · 10−3 . Этодостаточно малая величина и, следовательно, предложенный алгоритмвыборки по важности эффективен. Описание примера Д3 закончено.Относительное «усложнение» в примере Д3 (по сравнению с экзаменационными задачами из примеров 4.1, Д1 и Д2) связано с применениемнетабличных формул (14.56), (15.57) и парной формулы Бокса – Мюллера (13.4) – см.
соотношения (14.58).В следующем примере использована попарная зависимость компонент вектора ξ (с моделирующими формулами, не являющимися табличными) и несколько «усложнена» функция «порчи».ПРИМЕР Д4 (3 балла; [13]). Пусть требуется построить алгоритмметода Монте-Карло для приближенного вычисления четырехкратногоинтегралаZ1Z1Z1ZI=000×012 1/22(x(1) )2 1 − x(1)cos x(1) x(2) x(3)q2×sin x(1) ln 1 + x(3)9 + 16 x(3) 1 + x(3) x(4)16 + x(1) x(2) x(3) x(4) + 22x(1) x(2) x(3) x(4) + 24dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .В качестве плотности fξ (x) выбираем"#(1)(1) (2)xcosxx21/2fξ (x) = 3 x(1) 1 − x(1)××sin x(1)(3)(3)2xx , 0 < x(j) < 1;× q×2(3) x(4) ln 1 + x(3)1+x(3)2x+ (3/4)j = 1, 2, 3, 4.Тогда 16 + x(1) x(2) x(3) x(4) + 2g(x)q(x) == q x(1) , x(2) , x(3) , x(4) =2fξ (x)6 x(1) x(2) x(3) x(4) + 22=31x(1) x(2) x(3) x(4) + 22w + 2 , где w =.w22824=Заметим, что w ∈ (1; 1, 5).
Кроме того, функция t(w) = w2 + 1/w2возрастает на этом промежутке w ∈ (1; 1, 5). Действительно,t0 (w) = 2w − 2/w3 =2(w − 1)(w + 1)(w2 + 1)> 0.w3Поэтому m1 = (2/3) × 2 = 4/3 и m2 = (2/3) × (9/4 + 4/9) = 97/54.Имеем I = Eζ = Eq(ξ), где ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), причем компоненты ξ (1) , ξ (2) и ξ (3) , ξ (4) попарно зависимы.Формула метода обратной функции распределения для выборочных(1)значений ξi случайной величины ξ (1) получается из цепочки равенств(1)ξiZ2 1/2 (1)(1) 2 3/2003 x(1) 1 − x(1), 1 − 1 − ξidx = α1,i= α1,i0и, наконец,(1)ξi=q1 − (α1,i )2/3 ,0α1,i = 1 − α1,i.(14.59)√(1)= 0 и ξi = 1 − 12/3 = 0, а при0Проверка 2.1 при α1,i = 1 дает α1,i√(1)0α1,i = 0 имеем α1,i= 1 и ξi = 1 − 02/3 = 1.Формула метода обратной функции распределения для выборочных(2)значений ξi случайной величины ξ (2) получается из цепочки равенствZ(2)ξi0(1)ξi(1)cos ξi x(2) dx(2)(1)sin ξi(1) (2) = α2,i ,sin ξi ξi(1)sin ξi= α2,iи, наконец,(2)ξi(1) =arcsin α2,i sin ξi(1).(14.60)ξi(2)(1) (1) Проверка 2.1 при α2,i = 0 дает ξi = 1/ξi arcsin 0 × sin ξi= 0,(2)(1) (1) (1) (1)а при α2,i = 1 имеем ξi = 1/ξi arcsin 1 × sin ξi= ξi /ξi = 1.Формула метода обратной функции распределения для выборочных(3)значений ξi случайной величины ξ (3) получается из цепочки равенствZ0(3)ξiq2 x(3) dx(3)= α3,i , 22x(3) + (3/4)2q283(3) 2ξi+ (3/4)2 − 3/4 = α3,iи, наконец,(3)ξip=α3,i (3 + α3,i ).2(14.61)p(3)Проверка 2.1 при α3,i = 0 дает ξi = (1/2) 0(3 + 0) = 0, а приp(2)α3,i = 1 имеем ξi = (1/2) 1(3 + 1) = 1.Формула метода обратной функции распределения для выборочных(4)значений ξi случайной величины ξ (4) получается из цепочки равенствZ(4)(3)ξidx(4)= α4,i ,(3)(3) 1 + ξi x(4) ln 1 + ξiξi0(3) (4) ln 1 + ξi ξi(3) ln 1 + ξi= α4,iи, наконец,ξ4,i =(3) exp α4,i × ln 1 + ξi−1(3).(14.62)ξiПроверка 2.1 при α4,i = 0 дает(4)ξi=(3) exp 0 × ln 1 + ξi−1(3)= 0,ξiа при α4,i = 1 имеем(4)ξi=(3) exp 1 × ln 1 + ξi−1(3)ξi(3)=1 + ξi(3)ξi−1= 1.Получаем следующий алгоритм выборки по важности.Используя формулы (14.59)–(14.62), моделируем(1) (2) (3) (4)ξi , ξi , ξi , ξi и приближенно вычисляем(1) (2) (3) (4)n ξ ξ ξ ξ +22 X 1I≈+ θi , где θi = i i i i3n i=1 θi4значения2.Справедливо неравенство Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 5, 36 · 10−2 .
Этодостаточно малая величина и, следовательно, предложенный алгоритмвыборки по важности эффективен. Описание примера Д4 закончено.284Приложение 1. Экзаменационные билетыКаждый билет содержит задачу по одной из темА) «Метод обратной функции распределения»,Б) «Моделирование двумерного вектора»,В) «Метод дискретной суперпозиции»,Г) «Мажорантный метод исключения»,Д) «Выборка по важности»(соответствующие примеры подробно разобраны в разделе 14 данногопособия), а также один теоретический вопрос из следующего списка.В списке после формулировки вопроса жирным шрифтом (в квадратных скобках) указаны основные разделы данного пособия, которыеследует использовать при подготовке к ответу на экзамене.
Кроме того,обычным шрифтом указаны разделы, где можно найти дополнительнуюинформацию и примеры, касающиеся данного вопроса.ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОКРАТНОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОММОНТЕ-КАРЛО1.1(1). Общая схема метода Монте-Карло. Примеры применения общей схемы [1.4, 1.6].1.2(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
