1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 44
Текст из файла (страница 44)
подраздел 11.7данного пособия) для M = ∞ и cm = (m + 1)p(1 − p)m > 0, и поэтомуздесь сработал метод дискретной суперпозиции типа алгоритма 11.16.Описание примера В7 закончено.14.5. Технология «порчи» моделируемой плотности.Решение и конструирование задач по теме «Мажорантныйметод исключения». Напомним, что при применении мажорантногометода исключения (см. подраздел 11.5 данного пособия) моделируетсявыборочное значение ξ 0 случайного вектора ξ, имеющего «немоделируемую» плотностьZg(u)fξ (u) =, u ∈ U, Ḡ =g(u) du(14.40)ḠU(см. также формулу (11.31)).Здесь выбирается мажоранта g (1) (u) неотрицательной функции g(u)из соотношения (14.40), причем плотность fξ (1) (u), пропорциональнаяэтой мажоранте, является «моделируемой» (в одномерном случае элементарной).Напомним схему алгоритма мажорантного метода исключения (см.
также алгоритм 11.10 и рис. 11.3 из подраздела 11.5 данногопособия).260АЛГОРИТМ Г1 (см., например, [9, 13]). 1. Моделируем выборочное(1)значение ξ 0 случайного вектора (случайной величины) ξ (1) согласно(1)плотности fξ (1) (u): ξ 0=ψ (1) ᾱ1 , а также значение(1) η0 = α2 g (1) ξ 0 ; здесь ᾱ1 , α2 ∈ U (0, 1) – стандартные случайные числа.(1)Согласно утверждению 11.5, точка ξ 0 , η0 равномерно распреде(1)лена в подграфике G(1) функции g (1) (u), т.
е. ξ 0 , η0 ∈ U G(1) .2. Если(1) η0 < g ξ 0 ,(14.41)(1)то пара ξ 0 , η0 принадлежит подграфику G функции g(u) из соотношения (14.40) и, согласно утверждению 2.3, равномерно распределена в(1)этой области: ξ 0 , η0 ∈ U (G), и тогда, согласно утверждению 11.4,(1)величину ξ 0 можно принять в качестве искомого выборочного зна(1)чения, имеющего нужную плотность распределения (14.40): ξ 0 = ξ 0 .В случае, когда неравенство (14.41) не выполнено, повторяемпункт 1 данного алгоритма и т. д.Средние затраты s̃ алгоритма Г1 пропорциональны величинеs=1Pξ (1) , η ∈ G=Ḡ(1)>1Ḡ(14.42)(см. формулы (11.30), (11.36)).
Близость этой величины к единице определяет эффективность (экономичность) алгоритма Г1.При конструировании задач и примеров, связанных с применениемалгоритма Г1, используется следующая технология «порчи» моделируемой плотности.ТЕХНОЛОГИЯ Г [13]. Конструируем сначала «моделируемую» (водномерном случае элементарную) плотность fξ (1) (u), u ∈ U ⊆ Rdвектора ξ (1) вместе с соответствующим эффективным (экономич(1)ным) алгоритмом (формулой) численной реализации: ξ 0 = ψ (1) (ᾱ1 )(этот алгоритм используется затем в первом пункте алгоритма Г1).Для построения функции fξ (1) (u) можно использовать весь арсенал конструирования моделируемых плотностей (технологии А, Б, Ви др.).Формируем также функцию g̃ (1) (u) – это плотность fξ (1) (u) безнормирующей константы (например, если fξ(1) (u) = 5e−5u , u > 0, то261g̃ (1) (u) = e−5u , u > 0).Далее преобразуем функцию g̃ (1) (u) таким образом, чтобы она превратилась в функцию g(u), пропорциональную «немоделируемой» плотности fξ (u) из соотношения (14.40) (по сути мы «портим» моделируемую плотность fξ (1) (u)).Одним из простейших преобразований является умножение функции g̃ (1) (u) на мало меняющуюся функцию Y (u):g(u) = g̃ (1) (u) Y (u), u ∈ U ; где 0 < A ≤ Y (u) ≤ B(14.43)и (B − A) – близкая к нулю положительная величина.В качестве мажоранты функции (14.43) можно взятьg (1) (u) = B g̃ (1) (u).
Плотность, пропорциональная этой функции, очевидно, равна fξ (1) (u).Интегрируя неотрицательные функции g (1) (u) и g(u) по областиU с учетом соотношения Ag̃ (1) (u) = Ag (1) (u)/B ≤ g(u), получаемA Ḡ(1) /B ≤ Ḡ, и тогда получается следующая оценка сверху для величины (14.42):BḠ(1)≤ ,(14.44)s=AḠт. е. при A . B величина s из соотношений (14.42), (14.44) для алгоритма Г1 невелика (близка к единице).ЗАМЕЧАНИЕ 14.5 [13].
Для предлагаемой технологии Г неравенство(14.41) имеет вид(1) η0 = α2 g (1) ξ 0(1) = α2 Bg̃ (1) ξ 0(1) < g ξ0(1) = g̃ (1) ξ 0(1) Y ξ0,и оно может быть упрощено, по крайне мере, до вида(1) α2 B < Y ξ 0; α2 ∈ U (0, 1).(14.45)Это упрощение весьма важно при практическом использовании алгоритма Г1, при программировании которого достаточно оставить строчку(1)ξ 0 = ψ (1) (ᾱ1 ); ᾱ1 ∈ U (0, 1) с меткой и проверку (14.41) вида (14.45);(1)если это неравенство выполнено, то ξ 0 = ξ 0 , иначе идем на упомянутую(1)метку – моделируем ξ 0 и т. д.Поэтому особое внимание должно быть уделено (помимо опти(1)= ψ (1) ᾱ1 ;мизации моделирующего алгоритма (формулы) ξ 0262ᾱ1 ∈ U (0, 1) – см.
замечание 2.7) упрощению проверки (14.41), например, использование соотношения (14.45).Заметим, что технология Г использована при составлении примера 11.6 (см. подраздел 11.5 данного пособия), в котором строился алгоритм мажорантного метода исключения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, плотность которой пропорциональна функцииsin ue−u , u > 0g(u) = 1 +2(см. формулу (11.37)). Здесь fξ(1) (u) = g̃ (1) (u) = e−u , u > 0 иY (u) = 1 + (1/2) sin u, причем A = 1/2 ≤ Y (u) ≤ B = 3/2.Особенность примера 11.3 состоит в том, что для величины s получена не оценка сверху вида (14.44), а точное значение s = 1, 2.Экзаменационные задачи по теме «Мажорантный методисключения» сконструированы согласно технологии Г.
Здесь ставитсязадача моделирования случайной величины, имеющей плотность распределения, пропорциональную функции вида g(u) = Y (u) × g̃ (1) (u)(произведение берется именно в этом порядке), где функция g̃ (1) (u)пропорциональна простой (конкретнее – табличной, см. замечание 2.8)плотности fξ(1) (u) = g̃ (1) (u)/G̃(1) (и можно использовать формулы (2.20)и (2.22) без соответствующей проверки 2.1), а функция Y (u) легко оценивается сверху и снизу положительными числами: 0 < A ≤ Y (u) ≤ B.В качестве мажоранты целесообразно взять g (1) (u) = Bg̃ (1) (u). Величина s, пропорциональная трудоемкости соответствующего алгоритма Г1, оценивается сверху величиной s ≤ B/A (см. соотношение (14.44)).ПРИМЕР Г1 (1,5 балла). Рассмотрим характерный пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА Г1 [13]. Сформулируйте мажорантный метод исключения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочногозначения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u), пропорциональную функцииarcsin ug(u) = 2 +u3 , 0 < u < 1.5πОцените сверху трудоемкость метода.РЕШЕНИЕ.
Несложно убедиться в том, что плотность fξ (u) не является элементарной (в первую очередь из-за того, что интеграл от функции g(u) не берется аналитически).263Заметим, что g(u) = Y (u) × g̃ (1) (u), где g̃ (1) (u) = u3 иY (u) = 2+(arcsin u)/(5π), причем, в силу монотонности функции arcsin uна интервале (0, 1), выполнено неравенство 2 < Y (u) < 2, 1.Тогда g(u) < g (1) (u) = 2, 1 u3 . Вычислим интегралZ 12, 1(1)Ḡ =g (1) (u) du =.40Плотность, пропорциональная мажоранте g (1) (u), является табличной (степенной): fξ(1) (u) = 4u3 , 0 < u < 1 (см.
пример 2.2 и замеча√(1)ние 2.8); соответствующая моделирующая формула: ξ0= 4 α1 ;α1 ∈ U (0, 1) (см. формулу (2.22)).Алгоритм метода исключения включает следующие пункты.√(1)(1)1. Моделируем выборочное значение ξ0 по формуле ξ0 = 4 α1 ,(1) (1) 3(1)а также величину η0 = α2 g (1) ξ0= 2, 1α2 ξ0. Точка ξ0 , η0равномерно распределена в «подграфике» мажоранты g (1) (u).(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0или(1)10, 5πα2 < 10π + arcsin ξ0 .(14.46)(1)Если это неравенство выполнено, то точка ξ0 , η0 принадлежит«подграфику» функции g(u) и является равномерно распределенной вэтом множестве.
Тогда в качестве выборочного значения ξ0 случайной(1)величины ξ берем ξ0 = ξ0 . Если же неравенство (14.46) не выполнено,то повторяем пункт 1 и т. д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине(1)s (это среднее число попыток розыгрыша пар ξ0 , η0 до выполнениянеравенства (14.46)), которая оценивается сверху величинойs < 2, 1/2 = 1, 05.
Близость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Решение задачи Г1 и описание примера Г1 закончены.ПРИМЕР Г2 (1,5 балла). Рассмотрим еще одну экзаменационнуюзадачу.ЗАДАЧА Г2 [13]. Сформулируйте мажорантный метод исключения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочногозначения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u), пропорциональную функцииarctg ug(u) = 1 +e−2u , u > 0.5π264Оцените сверху трудоемкость метода.РЕШЕНИЕ. Несложно убедиться в том, что плотность fξ (u) не является элементарной (в первую очередь из-за того, что интеграл от функции g(u) не берется аналитически).Заметим, что g(u) = Y (u) × g̃ (1) (u), где g̃ (1) (u) = e−2u иY (u) = 1 + (arctg u)/(5π), причем, в силу монотонности функции arctg uна интервале (0, +∞), выполнено неравенство 1 < Y (u) < 1, 1.