1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 46
Текст из файла (страница 46)
пример 11.7;– простой вид имеет функция «порчи» Y (u, v) = sin u + sin v, позволяющая легко получить оценку сверху Y (u, v) ≤ 2.Определенным достоинством этого примера Г6 (как и примера 11.6)является то, что трудоемкость s вычисляется точно.В следующем примере перечисленные недостатки ликвидированы, ипотому оценка СДЗ – выше.ПРИМЕР Г7 (2,5 балла). Пусть требуется построить алгоритмчисленного моделирования выборочного значения ξ 0 = ν0 , µ0 двумерного случайного вектора ξ = (ν, µ), имеющего плотность распределенияfξ (u, v), пропорциональную функцииr3 −vu3g(u, v) = u v cos v e111+cos2 (u + v), u > 0, 0 < v <25rπ.2(14.53)Плотность fξ (u, v) не является моделируемой (в частности, из-затого, что интеграл от функции (14.53) не берется аналитически ни поu, ни по v).Функция g(u, v) представима в виде (14.43):2 33g(u, v) = g̃ (1) (u, v) × Y (u, v),q32где g̃ (1) (u, v) = u2 v 3 cos v 3 e−vu , Y (u, v) = 1 + 1125 cos (u + v).qТак как 0 ≤ cos2 (u + v) ≤ 1, то A = 1 ≤ Y (u) ≤ 1 + 1125 = 6/5 = B(к слову, функция «порчи» здесь, как и в примере Г6, не слишком«сложная»).Поэтомуr6 2 3π(1)(1)3 −vu3g(u, v) ≤ g (u, v) = Bg̃ (u, v) = u v cos v e; u > 0, 0 < v < 3 .52Построенная мажоранта g (1) (u, v) не интегрируется аналитически поv, поэтому представление вида (14.19) для рассматриваемой далее плотности fξ (1) (u, v) не дает эффективного алгоритма моделирования выбо(1)(1)(1) соответствующего векторарочных значений ξ 0=ν0 , µ0(1)(1)(1)ξ = ν ,µ.272Интегрируя функцию g (1) (u, v) по u от 0 до +∞, получаемZ +∞Z +∞32g (1) (u, v) du = v 2 cos v 33vu2 e−vu du =5003 +∞22= v 2 cos v 3 .(14.54)= v 2 cos v 3 × − e−vu 550pИнтегрируя полученную функцию по v от 0 до 3 π/2, получаем3Z √3√π/2π/2222(1)233Ḡ =v cos v dv ==sin v .(14.55)5 015150Таким образом,3g (1) (u, v)= 9u2 v 3 cos v 3 e−vu ; u > 0, 0 < v <fξ (1) (u, v) =(1)Ḡr3π.2Компоненты ν (1) и µ(1) вектора ξ (1) зависимы, причем, как указановыше, представление вида (14.19) для плотности fξ (1) (u, v) не дает эф(1)(1)фективных алгоритмов моделирования значений ν0 и µ0по v от функции fξ (1) (u, v) не берется аналитически).(интегралДля представления вида (14.20) по аналогии с выкладками (14.54)получаемZ +∞Z +∞3fµ(1) (v) =fξ (1) (u, v) du = 9u2 v 3 cos v 3 e−vu du = 3v 2 cos v 300p(здесь v ∈ 0, 3 π/2 ), а такжеfν (1) (u|v) =fξ (1) (u, v)fµ(1) (v)3= 3vu2 e−vu , u > 0.По аналогии с выкладками (14.55) выведем формулу метода обрат(1)ной функции распределения для значения µ0 :Z30(1)µ0µ(1)p 0(1)v 2 cos v 3 dv = α1 , или sin v 3 = α1 , или µ0 = 3 arcsin α1 .0(1)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает µ0p√(1)имеем µ0 = 3 arcsin 1 = 3 π/2.273=√3arcsin 0 = 0, а при α1 = 1Теперь выведем формулу метода обратной функции распределения(1)для значения ν0 :Z3(1)ν0(1) 3(1)µ0 u2 e−µ0 udu =α20 ,или−e(1)−µ0 u300sили(1)ν0=3−ln α2(1)µ0ν0(1)= α20 ,, где α2 = 1 − α20 .q3(1)(1)Проверка 2.1 при α20 = 0 дает α2 = 1 и ν0 = (− ln 1)/µ0 = 0, аq3(1)(1)при α20 = 1 имеем α2 = 0 и µ0 = (− ln 0)/µ0 = +∞.Получаем алгоритм мажорантного метода исключения, включающий следующие пункты.√(1)1.
Численномоделируем выборочные значения µ0 = 3 arcsin α1 ,q(1)(1)(1)α2, а также η0 = α3 g (1) ν0 , µ0 .ν0 = 3 − ln(1)µ0(1)(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ν0 , µ0 или6α3 <q(1)(1) 25 + 11 cos2 ν0 + µ0 .Если это неравенство выполнено, то полагаем, что выборочные(1)(1)значения ν0 , µ0 случайных величин ν и µ равны ν0 = ν0 , µ0 = µ0 ,иначе повторяем пункт 1 и т. д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величинеs, которая оценивается сверху величиной s ≤ B/A = 6/5 = 1, 2.Близость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения.
Описаниепримера Г7 закончено.14.6. Решение и конструирование задач по теме «Выборкаповажности».Применениетехнологии«порчи»моделируемой плотности. Напомним (см. подраздел 1.6 данного пособия), что стандартныйалгоритм метода Монте-Карло для вычислеRния интеграла I = X g(x) dx состоит в представлении его в виде математического ожиданияZg(x)g(ξ)fξ (x) dx = Eζ, ζ = q(ξ) =, x, ξ ∈ RdI=fξ (ξ)X fξ (x)274(здесь вектор ξ имеет плотность распределения fξ (x)) и приближенииPnI на основе закона больших чисел: I ≈ (1/n) i=1 ζi ; здесь ζi = q ξ i –получаемые на ЭВМ выборочные значения случайной величины ζ.При фиксированном уровне погрешности затраты этого алгоритмапропорциональны величине трудоемкости S = t × Dζ, где t – среднеевремя ЭВМ для реализации одного выборочного значения ζi (это время,в свою очередь, зависит от затрат на реализацию выборочного значенияξ i случайного вектора ξ согласно плотности fξ (x)).При выборе плотности fξ (x) следует минимизировать величину S,т.
е. требуется, чтобы– выборочные значения ξ i реализовывались на ЭВМ достаточно быстро,– дисперсия Dζ случайной величины ζ была мала.Значительная часть модификаций стандартного алгоритма методаМонте-Карло связана с уменьшением дисперсии Dζ (см. разделы 3–5данного пособия).Дисперсия, в частности, будет тем меньше,чем ближе плотностьRfξ (x) к функции вида |g(x)|/I˜ (здесь I˜ = |g(x)| dx; при g(x) ≥ 0 величина I˜ совпадает с I); на этом основан метод выборки по важности(см.
раздел 4 данного пособия).Технология создания примеров интегралов, для вычисления которых целесообразно применять метод выборки по важности, во многомсхожа с технологией Г (т. е. c технологией «порчи» моделируемой плотности) из предыдущего подраздела 14.5 данного пособия.ТЕХНОЛОГИЯ Д. Конструируем эффективно моделируемую плотность распределения fξ (x, x ∈ X ⊆ Rd ) вектора ξ (как правило, компоненты этого вектора берутся независимыми или попарно зависимыми– см. подраздел 14.3) и выбираем функцию q(x), заключенную междублизкими положительными константами: 0 < m1 .
q(x) . m2 (т. е.разность (m2 −m1 ) невелика). Ставится задача вычисления интегралаZI=g(x) dx, g(x) = fξ (x) × q(x).XЗдесь надо позаботиться о том, чтобы получаемый интеграл небрался аналитически (т. е., как и в технологии Г, умножение на функцию q(x) должно «портить» моделируемую плотность fξ (x)). В этомслучае в стандартном алгоритме метода Монте-Карло берем275ζ = q(ξ). Согласно утверждению 4.3, дисперсия Dζ ограничена сверхувеличиной (m2 − m1 )2 /4.Заметим, что технология Д применена при составлении примера 4.1(см.
подраздел 4.2 данного пособия), где строился алгоритм вычислениячетырехкратного интеграла, при этом (1) hi h3 i(2)πxπ×1cos× 2e−2x× 4 x(3)fξ (x) =22(здесь x = x(1) , x(2) , x(3) , x(4) и 0 < x(1) < 1; x(2) > 0; 0 < x(3) < 1;0 < x(4) < 1), а такжеq(x) =h234 i1× arctg x(1) x(2) + x(3) x(4).4πВ данном подразделе, как и в примере 4.1, рассмотрены алгоритмывычисления четырехкратных интегралов (т. е. d = 4). Согласно теориикубатурных формул (см., например, [16]), именно начиная с этой размерности методы Монте-Карло начинают превосходить по эффективности детерминированные (сеточные) алгоритмы численного интегрирования, т. е. здесь предпринята попытка показать «реальные» задачи.Разберем сначала экзаменационные задачи по теме «Выборкапо важности».
Эти задачи сконструированы согласно технологииД.RСтавится задача вычисления интеграла I=g(x)dx,Xx = x(1) , x(2) , x(3) , x(4) , причем подынтегральная функция g(x) имеет вид g(x) = f˜(x) × q̃(x), где функция f˜(x) пропорциональна простойэффективно моделируемой плотности fξ (x) = H f˜(x) случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) с независимыми компонентами, распределенными, как правило, согласно табличным плотностям (см. замечание 2.8).(j)Для моделирования выборочных значений ξi , j = 1, 2, 3, 4;i = 1, . . . , n можно использовать соответствующие табличные формулы (2.20), (2.22), (2.23), при этом проверка 2.1 не требуется.Функция q̃(x) легко оценивается сверху и снизу положительнымичислами 0 < A ≤ q̃(x) ≤ B.
В стандартном алгоритме метода МонтеКарло имеем ζ = q(ξ) = q̃(ξ)/H, при этом m1 ≤ q(x) ≤ m2 , гдеm1 = A/H, m2 = B/H. Дисперсия Dζ оценивается сверху величиной(m2 − m1 )2 /4. Малость этой величины обосновывает эффективность соответствующего алгоритма выборки по важности.276Сразу отметим, что пример 4.1 из подраздела 4.2 являетсяпримером экзаменационной задачи по теме «Выборка по важности».ПРИМЕР Д1 (1,5 балла).
Рассмотрим еще одну экзаменационнуюзадачу.ЗАДАЧА Д1 [13]. Сформулируйте метод выборки по важности ипродемонстрируйте его на примере вычисления интегралаZ 1 Z 1 Z 1 Z +∞ h2(4)x(2) x(3) e−4x ×I=0×q000379 i (1) (2) (3) (4)dx dx dx dx .2 + cos 6x(1) x(2) x(3) x(4)Оцените сверху дисперсию соответствующего весового оценивателя(монте-карловской оценки).Здесь и далее верхний и нижний индекс при первом символе интеграла обозначают интервал изменения переменной x(1) , индексы привтором символе интеграла – интервал изменения x(2) и т.
д.РЕШЕНИЕ. В качестве плотности fξ (x) выбираем h2 i h −4x(4) ifξ (x) = fξ (x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) = 1 × 2x(2) × 3 x(3)× 4e,где 0 < x(j) < 1, j = 1, 2, 3 и x(4) > 0, а функция q(x) = g(x)/fξ (x)имеет видq379 1q(x) = q x(1) , x(2) , x(3) , x(4) =× 2 + cos 6x(1) x(2) x(3) x(4) .24Учитывая, что −1 ≤ cos√ u ≤ 1, получаем неравенство m1 ≤ q(x) ≤ m2 ,где m1 = 1/24 и m2 = 3/24.Имеем I = Eζ = Eq(ξ), где ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) , причем компоненты ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 независимы.Компонента ξ (1) имеет табличное (равномерное) распределение в интервале (0, 1) (см. замечание 2.8), и для реализации соответствующих(1)выборочных значений ξi следует использовать формулу (2.23).(2) (3)Компоненты ξ , ξимеют табличные (степенные) распределения(2) (3)(2.21), и для реализации соответствующих выборочных значений ξi , ξiследует использовать формулу (2.22).277Компонента ξ (4) также имеет табличное (на сей раз экспоненциальное) распределение (2.18) с параметром λ = 4, и для реализации соот(4)ветствующих выборочных значений ξi следует использовать формулу(2.20).Получаем следующий алгоритм выборки по важности.Численно моделируем выборочные значения компонентчетырехмерного случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) по формулам:√√(3)(4)(1)(2)ξi = α1,i , ξi = α2,i , ξi = 3 α3,i , ξi = (− ln α4,i )/4,где i = 1, .