1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Описание примера Б4 закончено.Некоторую новую возможность «усложнения» примеров по моделированию двумерных векторов дает рассмотрение криволинейных (непрямоугольных) областей распределения вектора. У соответствующихпримеров есть два недостатка:– трудно сформулировать «универсальную» технологию (подобнуютехнологии Б) для создания таких примеров;– как правило, оба интеграла от совместной плотности f(ξ,η) (u, v)берутся аналитически и по v, и по u, и требуется исследование обоихпредставлений – (14.19) и (14.20) – на предмет возможности построенияэффективного моделирующего алгоритма (см., в частности, [41]).ПРИМЕР Б5 (2 балла; [41]).
Пусть требуется построить эффективный алгоритм моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) двумерногослучайного вектора (ξ, η) с плотностью распределенияf(ξ,η) (u, v) =2 cos2 u, 0 < u < π/2, 0 < v < u.cos2 vПредставление (14.20) не дает эффективных моделирующих формул, в частности, не элементарной является плотность!Z π/2Z π/22 cos2 u du1πfη (v) ==−v+cos 2u du =cos2 vcos2 v 2vvπ − 2v − sin 2v.2 cos2 vРассмотрим представление (14.19):Z ucos2 u dvfξ (u) = 2= 2 cos2 u (tg u − tg 0) =cos2 v0=248= 2 sin u cos u = sin 2u, 0 < u < π/2;fη (v|u) =f(ξ,η) (u, v)2 cos2 u1==, 0 < v < u.2fξ (u)2 cos v sin u cos utg u cos2 vВыведем соответствующие формулы метода обратной функции распределения. Для выборочного значения ξ0 последовательно получаем:Z ξ0arccos(1 − 2α1 )− cos 2ξ0 + cos 0= α1 , или ξ0 =.sin 2u du = α1 , или220Для выборочного значения η0 имеемZ η0dvtg η0 − tg0= α2 , или= α2 , или η0 = arctg(α2 tgξ0 ).2vtgξcostgξ000Проверка 2.1 для= arccos(1 − 2 × 0) 2 = 0, а для α1 = 0 дает ξ0 α1 = 1 имеем ξ0 = arccos(1 − 2 × 1) 2 = π/2.При α2 = 0 получаем η0 = arctg(0 × tgξ0 ) = 0, а при α2 = 1 имеемη0 = arctg(1 × tgξ0 ) = ξ0 .
Описание примера Б5 закончено.14.4. Решение и конструирование задач по теме «Методысуперпозиции». Технология формирования смеси. Сначала рассмотрим возможности выполнения пункта В.1 семестрового домашнего задания (СДЗ). Здесь речь идет о конструировании примера по эффективному применению метода интегральной суперпозиции(см. подраздел 3.1 данного пособия).Требуется моделировать выборочное значение ξ0 случайной величины ξ ∈ (a, b), имеющей плотность распределения в виде интеграла,зависящего от параметра:Z dfξ (u) =fη (v)fξ (u|v) dv; u ∈ (a, b).(14.30)cЗдесь fη (v) и fξ (u|v) (при фиксированном v = η0 ) – моделируемые(элементарные) плотности, и соответствующие моделирующие формулы дают алгоритм: ξ0 = ψξ (α2 ; η0 ), где η0 = ψη (α1 ) и α1 , α2 ∈ U (0, 1).Из замечания 3.2 следует, что версия технологии Б из замечания 14.3 идеальным образом подходит для конструирования примеровэффективного применения метода интегральной суперпозиции.
Здесьмогут использованы в том числе примеры, которые построены с помощью указанной версии технологии Б для темы «Моделирование двумерного вектора».249ПРИМЕР В1 (1,5 балла). Пусть требуется эффективный алгоритмметода интегральной суперпозиции для моделирования выборочногозначения ξ0 случайной величины, имеющей плотность распределенияZ +∞ −4uvedv, u > 0.(14.31)fξ (u) =4v1/2Заметим, что при конструировании плотности (14.31) использована совместная плотность (14.26) вектора (ξ, η), полученная в примере Б1 с помощью версии технологии Б из замечания 14.3.
Представление (14.19) для этого вектора не дает моделирующего алгоритма (т. к.интеграл (14.31) не берется аналитически), а вот представление (14.20)дает следующий моделирующий алгоритм из примера Б1:ξ0 = −1ln α2, где η0 = √.4η02 4 α1Описание примера В1 закончено.Упомянем также пример 3.1, в котором рассматривалось моделирование выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, распределеннойсогласно плотностиZ π/2fξ (u) = 2v cos v cos uv dv, 0 < u < 1.0Версия технологии Б из замечания 14.3 применена здесь следующимобразом. В качестве плотности компоненты ξ взята функцияfξ (u; λ) = (λ cos λu)/ sin λ, 0 < u < 1; 0 < λ < π/2,которой соответствует моделирующая формула ξ0 = arcsin(α2 sin λ) λ.Затем на множестве (0, π/2) допустимых значений параметра λ рассмотрена плотность fη (v) = sin 2v,которой соответствует моделирующая формула η0 = arccos(1 − 2α1 ) 2.Далее после замены λ = v сформирована совместная плотностьv cos uv= 2v cos v cos uvsin vR π/2(здесь 0 < u < 1, 0 < v < π/2), интеграл fξ (u) = 0 f(ξ,η) (u, v) dv откоторой аналитически не берется.Моделирующий алгоритм для построенной плотности имеет вид:f(ξ,η) (u, v) = fη (v) × fξ (u; v) = sin 2v ×ξ0 =arcsin(α2 sin η0 )arccos(1 − 2α1 ), где η0 =η02250(подробности см.
в примере 3.1).Указанная здесь близость технологий конструирования задач по темам «Моделирование двумерного вектора» и «Метод интегральной суперпозиции» (здесь отличаются только постановки задач – см. замечание 3.1) является причиной того, что на экзамене данного курса задачипо теме «Метод интегральной суперпозиции» отсутствуют.Зато присутствуют экзаменационные задачи по теме «Методдискретной суперпозиции».Напомним (см. подраздел 11.1 данного пособия), что для метода дискретной суперпозиции в представлении (14.30) вспомогательная случайная величина η является дискретной целочисленной случайной величины с распределением P{η = i} = pi ; i = 1, 2, . .
. , M ; M ≤ ∞.При этом интеграл, зависящий от параметра, (14.30) превращаетсяв суммуMXfξ (u) =pi fi (u), u ∈ (a, b)(14.32)i=1(см. соотношение (11.2)), где fi (u) – моделируемые (в нашем случае– элементарные) плотности. Таким образом, (14.32) – это взвешеннаясумма (смесь) элементарных плотностей.Алгоритм моделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, распределенной согласно плотности (14.32), – см. алгоритм 11.1– состоит в выборе случайного номера η0 = m (по набору вероятностей{pi }) с последующим моделированием ξ0 методом обратной функциираспределения согласно плотности fm (u).Достаточно содержательные примеры применения метода дискретной суперпозиции можно получить для малого числа M слагаемых всумме (14.32) – в частности, для M = 2 ∨ 3). Такие примеры дает технология формирования смеси.ТЕХНОЛОГИЯ В [13].
Возьмем две [три] плотности элементарных распределений f1 (u), f2 (u)[, f3 (u)], определенные в интервале (a, b)и такие, что линейная комбинация с положительными коэффициентамиfξ (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u)[+p3 f3 (u)], u ∈ (a, b)(14.33)(здесь p1 , p2 [, p3 ] > 0 и p1 + p2 [+p3 ] = 1) не является плотностьюэлементарногораспределения(т. е.уравнениевида(14.1)R ξ0f(u)du=α,α∈U(0,1)неразрешимоотносительноξ).ξ000a251Такие плотности f1 (u), f2 (u)[, f3 (u)] можно получить с помощьюразнородных замен ϕi : (a, b) → (ci , di ); i = 1, 2[, 3] в технологии А.(i)Для выборочных значений ξ0 , реализуемых согласно плотностям(i)fi (u), выписываются моделирующие формулы ξ0 = ψi (α0 ), i = 1, 2[, 3];α0 ∈ U (0, 1).
Для плотности (14.33) можно построить алгоритм дискретной суперпозиции: если α1 < p1 , то значение η0 вспомогательной целочисленной случайной величины η равно единицеи выборочное значение ξ0 случайной величины ξ моделируетсяпо формуле ξ0 = ψ1 (α2 ), для α1 ≥ p1 [для p1 ≤ α1 < p1 + p2 ] имеемη0 = 2 и ξ0 = ψ2 (α2 ) [и, наконец, при α1 ≥ p1 + p2 имеем η0 = 3и ξ0 = ψ3 (α2 )]; здесь α1 , α2 ∈ U (0, 1) – стандартные случайныечисла.Отметим, что для плотности (14.33) эффективным оказываетсяследующий модифицированный метод суперпозиции (см.
подраздел 11.2 и алгоритм 11.3): если α0 < p1 , то η0 = 1 иξ0 = ψ1 (α0 /p1 ), дляα0 ≥ p1 [для p1 ≤ α0 < p1 + p2 ] имеем η0 = 2 иξ0 = ψ2 (α0 − p1 )/p2 [и,наконец, при α0 ≥ p1 + p2 имеем η0 = 3 иξ0 = ψ3 (α0 − p1 − p2 )/p3 ]; здесь α0 ∈ U (0, 1).Иллюстрациями применения технологии В являются примеры 11.1, 11.2 из подразделов 11.1, 11.2 данного пособия.Экзаменационные задачи по теме «Метод дискретной суперпозиции» сконструированы согласно технологии В. Можно отметить, чтов представлении (14.33) одна–две плотности являются табличными (сточностью до обозначений параметров λ, a, b) – см. замечание 2.8; здесьможно использовать формулы (2.20), (2.22), (2.23), не представляя преобразования соответствующего уравнения (14.1) и результаты проверки 2.1.В решении экзаменационных задач по теме должны быть отраженывсе этапы, отмеченные в замечании 11.2:– обоснование того, что исходная плотность fξ (u) не является элементарной и имеет смысл использовать метод дискретной суперпозиции;– выделение вероятностей {pi ; i = 1, 2[, 3]} (см.
замечание 11.1);– вывод моделирующих формул для плотностей {fi (u); i = 1, 2[, 3]} иформулировка метода дискретной суперпозиции и модифицированногометода суперпозиции для рассматриваемого случая.ПРИМЕР В2 (1,5 балла). Рассмотрим характерный пример экзаменационной задачи.252ЗАДАЧА В1 [13]. Сформулируйте метод дискретной суперпозициии модифицированный метод суперпозиции и продемонстрируйте этиметоды на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайнойвеличины ξ, имеющей плотность распределения√π213 cos u√+ 2, 0 < u <.fξ (u) =π48 uРЕШЕНИЕ. Данная плотность не является плотностью элементарного распределения, так как последовательные преобразования уравнения (14.1) видаZξ00√3 cos u1√+ 2 du = α0 ,π8 u ξ0√ ξ03 sin u u + 2 = α0 ,4π 0(14.34)0√приводят к соотношению (3 sin ξ0 )/4 + ξ0 /π 2 = α0 , которое неразрешимо относительно ξ0 . С учетом замечания 11.1 по аналогии с выкладками(14.34) вычисляемZp1 =0π 2 /4√√ π2 /433 cos u du3 sin u √= ,=448 u0Zπ 2 /4p2 =0du1=2π4и получаем представление fξ (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u), где√cos u4π2f1 (u) = √ , f2 (u) ≡ 2 , 0 < u <.π42 uС учетом выкладок (14.34) выведем моделирующую формулу дляплотности f1 (u).