1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 37
Текст из файла (страница 37)
. . , g(xK ) ∈ YKдля всевозможных значений K и x1 , . . . , xK из X и борелевских множеств Y1 , . . . , YK из R (рис. 13.1).Рис. 13.1. Иллюстрация к определению цилиндрического множестваЕсли случайная функция ξ(x, ω) задана, то она определяет измеримое отображение пространства Ω с σ-алгеброй A(0) в пространство G(X)(0)с σ-алгеброй AG , так как, очевидно, ξ −1 (A) = {ω : ξ(x, ω) ∈ A} ∈ A(0)для любого цилиндрического множества A, и поэтому ξ −1 (B) ∈ A(0)(0)для любого B ∈ AG . Это отображение индуцирует распределение случайной функции Pξ {B} на G(X), определяемое равенствами(0)Pξ {B} = P{ξ −1 (B)} для всевозможных B ∈ AG .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.3 (см, например, [39]). Пространство G(X) с(0)σ-алгеброй AG и мерой Pξ {B} называется выборочным вероятностным пространством.221Еще раз подчеркнем, что элементарный исход «ω̃» для выборочноговероятностного пространства отождествляется с траекторией процесса;не следует путать его с элементом ω из пространства элементарныхсобытий Ω, которому принадлежит значение случайной величины ξ(x0 )для фиксированного x0 .Для случайных функций с непрерывным временем в качестве G(X)будем рассматривать пространство C(X).
Это множество непрерывных(0)на X функций, причем σ-алгебра AC совпадает в этом пространстве сσ-алгеброй, порожденной множествами, открытыми относительно равномерной метрикиρC (g1 , g2 ) = sup g1 (x) − g2 (x), g1 , g2 ∈ C(X).x∈XПри определении и моделировании случайных функций важным также является следующее понятие. Если при рассмотрении случайнойфункции ξ(x) зафиксировать значения x1 , . . . , xK из X, то мы получим многомерную случайную величину (случайный вектор) ξ(x1 ), . . . , ξ(xK ) .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.4 (см, например, [39]).
Распределения случайных векторов ξ(x1 ), . . . , ξ(xK ) для различных K и различных наборовx1 , . . . , xK называют конечномерными распределениями случайной функции.Случайная функция, как правило, задается своими конечномернымираспределениями. При этом они должны удовлетворять специальнымусловиям согласованности [38, 39]. Кроме того, следует учитывать, чтоесли не дается дополнительной информации о свойствах траекторийфункции, то данный набор конечномерных распределений задает целый класс стохастически эквивалентных случайных функций.
Однакоесли потребовать, чтобы траектории случайной функции принадлежали пространству C(X), то конечномерные распределения определяютслучайную функцию однозначно.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.5 (см, например, [39]). Функция m(x) = Eξ(x)называется функцией математического ожидания случайнойфункции, а функция двух переменныхR(x1 , x2 ) = E ξ(x1 ) − m(x1 ) ξ(x2 ) − m(x2 ) –(13.14)корреляционной функцией.
Для комплекснозначных функций ξ(x)эта функция имеет вид∗R(x1 , x2 ) = E ξ(x1 ) − m(x1 ) ξ(x2 ) − m(x2 ) ,(13.15)222где знак «∗» обозначает комплексное сопряжение. ВыражениеD(x) = R(x, x) определяет функцию дисперсии случайной функции.В некоторых работах функция вида (13.14) (или (13.15)) называетсяавтокорреляционной функцией, ковариационной функцией, автоковариационной функцией.Функции m(x) и R(x1 , x2 ) являются усредненными характеристиками одномерных и двумерных распределений и, вообще говоря, полностью не задают случайную функцию. Имеется один важный (в томчисле, для данного раздела) частный случай, когда функции m(x) иR(x1 , x2 ) полностью определяют случайное поле ξ(x) (случайный процесс ξ(x)).ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.6 (см, например, [39]).
Действительное случайное поле (процесс) называется гауссовским, если все его согласованные конечномерные распределения являются гауссовскими (см. формулу (13.9)). Комплекснозначное случайное поле ξ(x) = ξ1 (x) + iξ2 (x),x ∈ Rl называется гауссовским, если пара ξ1 (x), ξ2 (x) образует действительное двумерное гауссовское поле.На практике во многих случаях имеется информация только о функции математического ожидания и корреляционной функции изучаемогослучайного поля.
Поэтому достаточно часто делается предположение огауссовости этого поля. В связи с этим в литературе по численномустатистическому моделированию (и в данном разделе) особое вниманиеуделяется построению моделей именно гауссовских случайных функций(см. далее подраздел 13.5, а также книги [7–9, 26, 40]). Важным аргументом в пользу использования гауссовских случайных моделей является возможность применения центральной предельной теоремы (см.,например, [14, 39], а также утверждение 1.2) при изучении сходимости конечномерных распределений конструируемых моделей (см.
далееподраздел 13.5).Приведем еще одно важное понятие.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.7 (см, например, [39]). Случайный процесс ξ(x),x ∈ R называется стационарным (в узком смысле), если при любых K и x1 , . . . , xK из X распределениемногомерной случайной величины ξ(x1 + u), . . . , ξ(xK + u) не зависит от u. При этом m(x) = const,а корреляционная функция R(x1 , x2 ) ≡ R(u) зависит только от разности u = x1 − x2 . Последние два свойства определяют стационарность в широком смысле случайных процессов и полей, причем дляполей вместо термина «стационарность в широком смысле» используют термин однородность.22313.5. Основные идеи построения численных моделей однородных гауссовских случайных полей. Основой представленных вэтом подразделе численных моделей служат конструкции корреляционной теории стационарных (в широком смысле) случайныхфункций.При внимательном рассмотрении эта теория по своей сути является вероятностным аналогом теории гильбертова пространства L2 (X)(где вместо модуля |f (x)| в области значений «обычных» функций рассматривается конструкция E|ξ(x)|2 для случайных функций – получается «математический анализ в среднеквадратическом» [9, 25]); приэтом роль скалярного произведения выполняет корреляционная функция (см.
формулы (13.14) и (13.15)).Здесь нам потребуются соображения о преобразовании Фурье в упомянутом «математическом анализе в среднеквадратическом». Для компактности обозначений приведем эти соображения для случая комплекснозначных случайных функций. Прежде всего упомянем теоремуБохнера – Хинчина.УТВЕРЖДЕНИЕ 13.3 (см, например, [39]). Для того чтобы функция R(u) была корреляционной функцией комплекснозначного однородного случайного поля (стационарного в широком смысле случайногопроцесса) с непрерывным временем, необходимо и достаточно, чтобыона допускала представление видаZR(u) =ei(u,λ) F (dλ),(13.16)Λгде (u, λ) обозначает скалярное произведение векторов u и λ из Rl :(u, λ) = u(1) λ(1) + . .
. + u(l) λ(l) , а F (λ) – некоторую конечную меру наборелевских множествах спектрального пространства Λ ⊆ Rl .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.8 (см, например, [39]). Соотношение (13.16) называется спектральным разложением корреляционной функцииR(u). Мера F (λ) из (13.16) называется спектральнойR мерой. Если спектральная мера абсолютно непрерывна F (A) = A f (λ) dλ, тофункцию f (λ) называют спектральной плотностью.Согласно приводимому ниже утверждению 13.4, для комплекснозначных стационарных в широком смысле случайных функций с непрерывными траекториями справедливо соотношениеZξ(x) = m +ei λ,t dΨ(λ),(13.17)Λ224где m ≡ E ξ(x), а Ψ(λ) – случайная функция с некоррелированнымиприращениями и нулевым средним такая, что для любых борелевскихмножеств A1 и A2 из Λ выполненоZ∗ZE(13.18)dΨ(λ)dΨ(λ) = F (A1 ∩ A2 ).A1A2Интеграл в (13.17) понимается как предел в среднеквадратическомсоответствующих интегральных сумм (см. далее утверждение 13.4).В дальнейшем полагаем m(x) ≡ 0 и D(x) ≡ 1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.9 (см, например, [39]).
Соотношение (13.17) называется спектральным представлением стационарной случайной функции ξ(x).Для вещественнозначных случайных функций ξ(x) спектральная плотность f (λ) является четной по каждой координате функцией:f (λ) = f λ(1) , . . . , λ(i−1) , λ(i) , λ(i+1) , . . . , λ(l) == f λ(1) , . . . , λ(i−1) , −λ(i) , λ(i+1) , .
. . , λ(l) .Кроме того, мнимая часть Ψ(λ) – нечетная, а действительнаячасть – четная функция от λ, т. е. для симметричных относительно начала координат∗ A1 и A2 (λ ∈ A1 ⇐⇒ −λ ∈ A2 ) выполненоR областейRdΨ(λ) = A2 dΨ(λ) , причем для сохранения некоррелированноA1сти необходимо, чтобы случайные величиныZZψ (1) = RedΨ(λ) и ψ (2) = ImdΨ(λ)A1A1были независимы для любого λ ∈ Λ иEψ (1) = Eψ (2) = 0, Dψ (1) = Dψ (2) =12Zf (λ) dλ.A1Тогда выражения (13.16) и (13.17) имеют вид:ZZR(u) =cos(u, λ) f (λ) dλ = 2cos(u, λ) f (λ) dλ,ΛZξ(x) =Λ+cos(x, λ) dΨ(1) (λ) +ZΛ+Λ+225sin(x, λ) dΨ(2) (λ),(13.19)где Λ+ = λ = λ(1) , . . .
, λ(l) : λ(i) ≥ 0 , а Ψ(1) (λ) и Ψ(2) (λ) – вещественные случайные функции с некоррелированными приращениями исовпадающими дисперсиями приращений, причемΨ(λ) =Ψ(1) (λ) − Ψ(2) (λ)при λ ∈ Λ+ .2Последние соотношения показывают, что в вещественнозначном случае формулы для спектрального разложения корреляционной функциии для спектрального представления случайной функции действительноявляются более громоздкими, чем в комплекснозначном случае.Утверждение о существовании спектрального представления (13.17)формулируется следующим образом.УТВЕРЖДЕНИЕ 13.4 (см, например, [39]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
