1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 36
Текст из файла (страница 36)
. . , k(i)(i)(здесь {α1 , α2 ∈ U (0, 1); i = 1, . . . , k} – стандартные случайные числа) и формируем выборочное значение d-мерного единичного изотропного случайного вектора!(2,1)(1,i)(2,i)(1,k)(2,k)(1,1)η0η0η0η0η0η0,,...,,,...,,;(13.5)ω0 =kη 0 k kη 0 kkη 0 k kη 0 kkη 0 k kη 0 kr22 2(2,1)(1,k)(2,k)+ η0+ . . . + η0+ η0.√Моделируем также выборочное значение ρ0 = R d α0 и полагаемξ 0 = ρ0 ω 0 .Для нечетной размерности d = 2k + 1; k = 2, 3, ... целесообразномоделировать (согласно формулам (13.4) и алгоритму 13.2) сразу двавыборочных значения изотропного случайного вектора η и получатьсоответствующую пару значений вектора ξ.Cуммируя рассуждения подразделов 6.4, 10.3, 10.6, 13.1, 13.2, получаем следующие наиболее эффективные формулы моделиро(1)(d) вания выборочного значения ω 0 = ω0 , .
. . , ω0для d-мерногоединичного изотропного случайного вектора ω:– для d = 1 это формула ω0 = 2[2α0 ] − 1 (это следствие формулы (10.18)) или формула ω0 = 2[α0 + 1/2] − 1 (это следствие формулыС. А. Роженко (10.10));– для d = 2 это формула (13.3);– для d = 3 это формулыrkη 0 k =(1)(1,1)η02ω0 = 1 − 2α1 ,(2)ω0 =215(1)1 − ω02sin 2πα2 ,r(3)ω0=2(1)1 − ω0cos 2πα2 ,(13.6)где α1 , α2 ∈ U (0, 1) – стандартные случайные числа (это следствие формул (6.34), (6.35));– для d ≥ 4 это формулы типа (13.5).В качестве альтернативного к перечисленным выше формулам моделирования единичного изотропного вектора часто рассматриваетсяследующий алгоритм метода исключения, основанный на утверждениях 2.3 и 6.1.АЛГОРИТМ 13.3 (см., например, [9, 24]). Моделируем d независимых значений, равномерно распределенных в интервале (−R, R) (согласно формуле (2.23)):ζ1 = R(2α1 − 1), .
. . , ζd = R(2αd − 1); αi ∈ U (0, 1), i = 1, ..., d.(13.7)Проверяем неравенство d2ζ = ζ12 + . . . + ζd2 < R2 (здесь dζ > 0). Еслионо выполнено, то, в силу утверждения 2.3, ζ = (ζ1 , . . . , ζd ) – точка,равномерно распределенная в d-мерном шаре B (d,0,R) , и тогда, согласноутверждению 6.1,!ζdζ1;,...,ω0 =dζdζиначе вновь реализуем вектор (13.7) и т.
д.В силу утверждения 2.3 и формулы (11.30), трудоемкость s̃ алгоритма 13.3 пропорциональна отношению объемов d-мерного куба (с ребром2R) и d-мерного шара B (d,0,R) радиуса R:s̃ ∼ s =(2R)dπ d/2 Rd /Γ(d/2+ 1)= (4/π)d/2 × Γ(d/2 + 1).Например, для d = 2k имеем s = (4/π)k × k!. Эта величина оченьбыстро возрастает.По сути алгоритм 13.3 используется только в случае d = 2 (здесьs ≈ 1, 27, а для d = 3 уже s ≈ 1, 91). Однако, как показали наши исследования, и при d = 2 алгоритм 13.3 оказывается менее экономичным,чем формулы (13.3).Упомянем также еще один «плохой» (неэффективный) способ моде(0,1)лирования выборочного значения ξ0стандартной гауссовской (нормальной) случайной величины ξ (0,1) , основанный на центральной предельной теореме (см., например, [14], а также утверждение 1.2).216Здесь используются соотношения (2.13) и приближенная формула:rn12 X 1(0,1)(n)ξ0; αi ∈ U (0, 1), i = 1, ..., n.(13.8)≈ ξ0 =αi −n i=12Согласно центральной предельной теореме, случайная величина ξ (n) ,(n)соответствующая выборочному значению ξ0 из (13.8), асимптотически(n)(n)нормальна, кроме того, Eξ = 0, Dξ = 1.Формула (13.8) особенно удобна для n = 12:(0,1)ξ0(12)≈ ξ0=12Xαi − 6.i=1Соотношения типа (13.8), в частности, «обрубают хвосты» распределения стандартной нормальной случайной величины ξ (0,1) (например,|ξ (12) | ≤ 6), и поэтому такие формулы обычно используют в случаях,когда большие значения величины |ξ (0,1) | не играют существенной роли.Недостатком формулы (13.8) является также необходимость реализации достаточно большого количества стандартных случайных чиселαi ∈ U (0, 1) (см.
замечание 9.2).13.3. Моделирование гауссовского случайного вектора сзаданной корреляционной структурой. Заметное место в теориии приложениях численного статистического моделирования занимаютспециальные численные модели случайных процессов и полей.В частности, в новосибирской школе методов Монте-Карло такие конструкции используются для описания метеорологических полей, длямоделирования облаков и морской поверхности, для представления стохастических сред различной природы и др.Чаще всего используются численные траектории гауссовских случайных процессов и полей.
Это связано со свойством безграничнойделимости нормального (гауссовского) распределения (см. определение 12.2) и с использованием центральной предельной теоремы (см.утверждение 1.2).В описанных приложениях в ряде случаев применяются численныемодели дискретных случайных процессов и полей. В качествеважной частной задачи здесь рассматривается проблема моделирова(1)(d) ния выборочного значения η 0 = η0 , .
. . , η0случайного вектора η, имеющего многомерное нормальное распределение с217плотностьюfη u(1) , ..., u(d)= −1 R (2π)d/2(−1)" Pdexpi,j=1u(i) − m(i)Riju(j) − m(j)#2(13.9)(см., например, [37]).Здесьзаданывекторматематическихожиданийm = m(1) , . . . , m(d) и корреляционная матрицаR11 R12 . . . R1d R21 R22 . . . R2d R=(13.10) .................... ,Rd1 Rd2 .
. . Rdd (−1) где Rij = E η (i) −m(i) η (j) −m(j) ; при этом матрица R−1 = Rijявляется обратной к матрице (13.10).АЛГОРИТМ 13.4 (см., например, [9]). Используя формулы Бокса –(1)(d) Мюллера (13.4), моделируем выборочное значение ξ 0 = ξ0 , . . . , ξ0вектора ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) , состоящего из независимых стандартныхнормальных величин ξ (i) .Полагаем η 0 = A ξ 0 + m, где A – нижняя треугольная матрицаa11 0... 0 a21 a22 .
. . 0 A= ................... .ad1 ad2 . . . addЭлементы матрицы A определяются с помощью следующей рекуррентной процедуры. Поскольку η (1) = a11 ξ (1) + m(1) , тоppa11 = R11 = Dη (1) .(13.11)Далее имеем η (2) = a21 ξ (1) + a22 ξ (2) + m(2) и поэтому2E a11 ξ (1) a21 ξ (1) + a22 ξ (2) = R12 , E a21 ξ (1) + a22 ξ (2) = R22 .Следовательно,a21R12R12=√,=a11R11sa22 =218R22 −2R12.R11(13.12)Общая рекуррентная формула такова:Pj−1Rij − k=1 aik ajkaij = q,Pj−1Rjj − k=1 a2jk(13.13)P0причем k=1 aik ajk = 0, 1 ≤ j ≤ i ≤ d.путем рассмотрения величины Формула (13.13) проверяетсяE η (i) − m(i) η (j) − m(j) сначала для i = j, а затем для j < i.Под знаком радикала в знаменателе выражения (13.13) стоит главный минор порядка j корреляционной матрицы (13.10).
Если эта матрица оценивается статистически, то возможны отрицательные значения главных миноров. В этом случае целесообразно найти такую ортогональную матрицу Q, что R = Q diag(r1 , r2 , . . . , rd )QT (здесь T –знак транспонирования), а для моделирования использовать уточненную корреляционную матрицуR̃ = Q diag(|r1 |, |r2 |, . .
. , |rd |) QT .Если ri = 0, то осуществляется замена ri → ε > 0.Дополнительно отметим, что выполнено равенство R = AAT , которое принято называть разложением Холесского.ПРИМЕР 13.1 [9]. Пусть требуется построить моделирующие фор(1) (2) (3) мулы для выборочного значения η 0 = η0 , η0 , η0трехмерного нормального случайного вектора η с параметрами9 0 03m = 2 , R = 0 4 2 .0 2 34Используем алгоритм 13.4. Здесь для матрицы A преобразованияη 0 = A ξ 0 + m, согласно формулам (13.11) и (13.12) (примененным дляa11 , a22 и для a32 , a33 соответственно), имеемppa12 = a13 = a21 = a31 = a23 = 0, a11 = R11 = 3, a22 = R22 = 2,s√R23R2= 1, a33 = R33 − 23 = 2,a32 = √R22R22и тогда√ (3)(3)(2)(1)(2)(2)(1)η0 = 3ξ0 + 3, η0 = 2ξ0 + 2, η0 = ξ0 + 2ξ0 + 4,219(1)(2)(3)где значения ξ0 , ξ0 , ξ0 моделируются по формулам Бокса – Мюллера(13.4).
Описание примера 13.1 закончено.13.4. Общие сведения из теории случайных функций. Продолжая рассуждения о численном моделировании случайных процессови полей, отметим следующее.Имеются определенные трудности изучения и использования теории случайных процессов и полей, которые связаны, прежде всего, стем обстоятельством, что само понятие случайной функции является вомногом более сложным для изучения математическим объектом, чемпонятие случайной величины.
Здесь уместно сравнение понятий «функция» и «вещественное число» (в смысле объема и сложности изучения)в «обычном» (нестохастическом) математическом анализе.Традиционные (неспециализированные) курсы теории вероятностейпосвящены, как правило, изучению только случайных величин (см, например, [14]). В связи с этим нам необходимо ввести начальные понятиятеории случайных процессов и полей [38, 39].ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1 (см, например, [39]). Случайной функциейназывается семейство случайных величин ξ(x) = ξ(x, ω), заданных наодном вероятностном пространстве Ω ⊆ Rs (как правило, s = 1) сσ-алгеброй A(0) точечных или борелевских множеств из Rs и меройP(A), A ⊆ Ω и зависящих от параметра x, принимающего значенияиз некоторого множества X. Если X есть счетное множество в R,то ξ(x) – случайный процесс с дискретным временем (примерами таких процессов служат случайные последовательности,цепи Маркова, мартингалы и др.), а если X = (a, b) ⊆ R, то ξ(x) –случайный процесс с непрерывным временем.
Если X являетсяподмножеством Rl , то ξ(x) называют случайным полем размерности l.В дальнейшем для случайных процессов и полей с непрерывнымвременем в качестве X будем рассматривать выпуклую ограниченнуюобласть с границей в Rl (для процессов это просто отрезок [a, b]). Отметим также, что если значения ξ(x) принадлежат Rs при s > 1, токо всем введенным понятиям добавляется прилагательное «векторный»(векторный случайный процесс, векторное случайное поле и т. п.) и используется обозначение ξ(x).Если зафиксировать ω0 ∈ Ω, то мы получаем неслучайную функциюξ(x, ω0 ) = ξ0 (x), x ∈ X.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.2 (см, например, [39]). Функция ξ0 (x) называется траекторией, или выборочной функцией, или реализацией220случайной функции ξ(x).Таким образом, в роли случайных величин выступают функции.Рассмотрим пространство G(X) функций g(x), x ∈ X, в которомс вероятностью единица лежат траектории случайной функции ξ(x).(0)Обозначим через AG σ-алгебру подмножеств из G(X), порожденную(с помощью операций объединения и пересечения) так называемымицилиндрическими множествами видаA = g(x) ∈ G(X) : g(x1 ) ∈ Y1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
