1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Описаниепримера 11.7 закончено.11.7. Сравнительный анализ моделирующих алгоритмов дляслучайнойвеличинысполиномиальнойплотностьюраспределения. Вопросы соотношения стандартного алгоритма (метода обратной функции распределения), рассмотренного в разделе 2, иальтернативных алгоритмов широкого применения (метода дискретной суперпозиции, мажорантного метода исключения), рассмотренных в данном разделе 11, удобно обсуждать на следующем примере.ПРИМЕР 11.8 (А, В, Г; 0,5 балла; [9, 13]). Пусть требуется построитьалгоритм моделирования выборочного значения ξ0 случайной величиныξ, имеющей полиномиальную плотность распределенияfξ (u) =MXcm um , 0 < u < 1m=0(см.
также формулу (2.17) из подраздела 2.6 данного пособия).193(11.44)Здесь используются различные алгоритмы в зависимости от видакоэффициентов {cm }.Так, метод обратной функции распределения (см. алгоритм 2.4) заведомо реализуем для M = 0 (приpэтом fξ (u) ≡ 1, 0 < u < 1 и ξ0 = α0 ),для M = 1 (при этом ξ0 = (−c0 + c20 + 2c1 α0 )/c1 ), а также для случаяcm = (m + 1) и cj = 0 при j 6= m (см. пример 2.2); при этом1/(m+1)fξ (u) = (m + 1)um и ξ0 = α0=√m+1α0 .(11.45)В общем случае (при M > 1 и при наличии достаточно большого числа ненулевых коэффициентов cm ) попытка применить метод обратнойPMm+11= α0 ,функции распределения приводит к уравнению m+1m=0 ci ξ0которое, как правило, неразрешимо относительно ξ0 и нужно пытатьсяиспользовать альтернативные алгоритмы моделирования (метод суперпозиции, метод исключения и др.
– см. замечание 2.4 из подраздела 2.6данного пособия).Для случая cm ≥ 0, в частности, удается представить плотность(11.44) в видеfξ (u) =MXm=0pm fm (u); pm =cm,m+1fm (u) = (m + 1)um ,(11.46)и построить следующий модифицированный метод дискретной суперпозиции (см. алгоритм 11.3).АЛГОРИТМ 11.16. 1.
Моделируем стандартное случайное числоα0 ∈ U (0, 1) и, используя наиболее эффективный (экономичный) из методовмоделированияцелочисленнойслучайнойвеличиныс распределением (10.5) при pi = ci /(i + 1); i = 0, 1, ... (алгоритмы 10.2, 10.5–10.8), получаем значение η0 = m.2. Моделируем выборочное значениеξ0 по формулевида (11.45):pPm−1 ξ0 = m+1 β0 (α0 ), где β0 (α0 ) = α0 − i=0 pi p−1дляалгоритmмов 10.2, 10.6, 10.7 и β0 (α0 ) = M α0 − m + 1 для алгоритмов 10.5, 10.8(см. замечание 11.3).В случае наличия отрицательных чисел среди коэффициентов {cm }величины {pm } из соотношения (11.46) нельзя считать вероятностями,так как они не являются положительными числами (хотя соотношениеPMm=0 pm = 1 выполнено в любом случае).194Для функции (11.44) можно построить мажорантуfξ (u) ≤ g (1) (u) =MXmc+mu ,(11.47)m=0+где c+m = cm при cm ≥ 0 и cm = 0 при cm < 0 (т.
е. мы убираем изсуммы (11.44) слагаемые с отрицательными коэффициентами cm ; приэтом сама сумма увеличивается).Тогда можно предложить следующий алгоритм мажорантного метода исключения (см. алгоритм 11.10).АЛГОРИТМ 11.17. 1. Моделируем выборочное значение случайной(1)величины ξ0 , распределенной согласно плотностиfξ(1) (u) =MXp+m fm (u), гдеm=0p+m =c+c+mm=,R1PM(m + 1) j=0 (c+(m + 1) 0 g (1) (w) dwj /(j + 1))при этом используем метод дискретной суперпозиции – алгоритм 11.16(здесь используется одно стандартное случайное число α1 , обозначенное в алгоритме 11.16 как α0 ).(1) 2. Моделируем также значение η0 = α2 g (1) ξ0 .(1) 3.
Проверяем неравенство η0 < fξ ξ0 . Если оно выполнено, то полагаем, что выборочное значение ξ0 случайной величины ξ равно(1)ξ0 = ξ0 , иначе повторяем пункты 1, 2 и т. д.Трудоемкость этого алгоритма (среднее число повторений(1) пунктов 1 и 2 до выполнения неравенства η0 < fξ ξ0 ) пропорциональR1PMна величине s(1) = 0 g (1) (w) dw = m=0 [c+m /(m + 1)] (см.
соотношение(11.36)).Выбор мажоранты вида (11.47) неоднозначен. Можно, например,PNрассмотреть функцию g (2) (u) = i=0 |ci |ui и использовать для нее ал(1)(2)горитм 11.17 с заменой ξ на ξ .Такой выбор мажоранты заведомо хуже, чем (11.47), так какR1PM(2)g (u) > g (1) (u) и s(2) = 0 g (2) (w) dw = m=0 [|cm |/(m + 1)] > s(1) .Однако несложно построить пример, в котором мажоранта (11.47)не является лучшей.195Рассмотрим случайную величину ξ с квадратичной плотностью распределения fξ (u) = 6u − 6u2 , 0 < u < 1. В этом случае функция g (1) (u)из соотношения (11.47) равна g (1) (u) = 6u и трудоемкость соответствуR1ющего алгоритма 11.17 пропорциональна величине s(1) = 0 6w dw = 3(это очень много!).С другой стороны, для метода исключения с постоянной мажорантой (т. е.
для метода Неймана – см. алгоритм 11.12 из подраздела 11.6) 13g (3) (u) ≡ max fξ (u) = fξ=22u∈(0,1)имеем s(3) = 3/2. Эта величина в два раза меньше, чем s(1) .Однако и этот вариант выбора мажоранты может быть не лучшим,так как есть варианты построения более близких к функции (11.44)кусочно-постоянных мажорант (см. тот же подраздел 11.6) и т. п.Описание примера 11.8 закончено.12. Моделирование бета- и гаммараспределений12.1. Бета- и гамма-распределения и их частные случаи.Существует достаточно устойчивое (и в целом – ошибочное) мнениеученых, занимающихся вопросами конструирования прикладных вероятностных моделей (в том числе компьютерных), о том, что если требуется ввести одномерный случайный параметр, распределенный в конечном интервале, то (с точностью до линейного преобразования) следуетиспользовать случайную величину β (µ,ν) , имеющую плотность бетараспределения(µ,ν)fβ(u) =uµ−1 (1 − u)ν−1, 0<u<1B(µ, ν)(12.1)со специально подобраннымиположительными параметрами µ > 0 иR1ν > 0; здесь B(µ, ν) = 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt – бета-функция (см., например, [22]).Если же требуется ввести случайный параметр, распределенный вполубесконечном интервале (полуоси), то (с точностью до линейногопреобразования) рассматривается (и тоже – не вполне оправдано) случайная величина γ (λ,ν) , имеющая плотность гамма-распределенияfγ(λ,ν) (u) =λν uν−1 e−λ u,Γ(ν)196u>0(12.2)со специальноподобранными положительными λ > 0 и ν > 0; здесьR +∞Γ(ν) = 0 tν−1 e−t dt – гамма-функция (см., например, [22]).Наконец, если требуется использовать случайный параметр, распределенный на всей числовой прямой, то чаще всего используется (с точностью до линейного преобразования) случайная величина ξ (0,1) , имеющая плотность стандартного нормального (гауссовского) распределения – см.
формулу (1.12), а также соотношение (13.2) и раздел 13.В этом разделе мы изучим алгоритмы численного моделирования(µ,ν)(λ,ν)выборочных значений β0и γ0случайных величин с распределениями (12.1) и (12.2). Сразу отметим, что, как и в примере 11.8, дляэтих распределений можно построить целый спектр моделирующих алгоритмов: от стандартного метода обратной функции распределениядо альтернативных алгоритмов широкого применения (мажорантныхметодов исключения, алгоритмов метода дискретной суперпозиции) испециальных методов (использующих специальные свойства гамма- ибета-распределений).Метод обратной функции распределения для плотностей (12.1) и(12.2) применим только тогда, когда один из параметров µ и ν (илиоба сразу) равен единице; при этом получаются распределения с другими названиями.Так, при µ = ν = 1 плотность бета-распределения (12.1) превращается в плотность равномерного распределения в интервале (0, 1)(1,1)fβ(1,1)(u) = fα (u) ≡ 1, 0 < u < 1, с моделирующей формулой β0= α0 ,где α0 ∈ U (0, 1) – стандартное случайное число.При ν = 1 и µ 6= 1 вместо плотности бета-распределения (12.1) получаем плотность степенного распределения (2.21) для λ = µ − 1, т.
е.(µ6=1,1)fβ(u) = µuµ−1 , 0 < u < 1 с табличной моделирующей формулойвида (2.22):(µ6=1,1)1/µβ0= α0 .(12.3)Аналог степенного распределения получается и в случае µ = 1 и(1,ν6=1)ν 6= 1; здесь плотность (12.1) имеет вид fβ(u) = ν(1 − u)ν−1 ,0 < u < 1, а моделирующая формула –(1,ν6=1)β01/ν= 1 − α0 .(12.4)Наконец, для ν = 1 плотность гамма-распределения (12.2) превращается в элементарную плотность экспоненциального распределения, т. е.197(λ,1)fγ (u) = λe−λu , u, λ > 0 (см. также формулу (2.18)) с моделирующейформулой вида (2.20):ln α0(λ,1)γ0=−.(12.5)λДля µ 6= 1, ν 6= 1 плотности (12.1), (12.2) не являются элементарными (в этом причина ошибочности их широкого использования).Здесь для построения моделирующих алгоритмов требуются специальные подходы (они описаны далее в подразделах 12.2–12.4).Отметим, что еще (кроме случая ν = 1) имеются случаи, когда плотность гамма-распределения (12.2) имеет специальные названия.Так, при целом положительном ν = n > 1 соотношение (12.2) иногданазывают распределением Эрланга [14].
Учитывая, чтоΓ(n) = (n − 1)!,n∈N(12.6)(см., например, [22]), плотность (12.2) в этом случае можно представитьв видеfγ(λ,n) (u) =λn un−1 e−λ u,(n − 1)!u > 0,n > 1,n ∈ N.(12.7)При λ = 1/2, ν = d/2 и целом положительном d ∈ N соотношение(12.2) является плотностью распределения случайной величины χ2(d) ,имеющей χ2 -распределение с d степенями свободы:fγ(1/2,d/2) (u) = fχ2(d) (u) =ud/2−1 e−u/2,2d/2 Γ(d/2)u > 0.(12.8)Для дальнейших рассуждений полезной окажется формула, связывающая случайные величины с бета- и гамма- распределениями (12.1)и (12.2) [14]:γ (λ,µ);(12.9)β (µ,ν) = (λ,µ)γ+ γ (λ,ν)здесь случайные величины γ (λ,µ) и γ (λ,ν) имеют гамма-распределение(12.2) и независимы.В дальнейшем нам будет также полезна формула, связывающая значения бета- и гамма-функцийB(µ, ν) =Γ(µ)Γ(ν)= B(ν, µ)Γ(µ + ν)198(12.10)и свойства гамма-функции (12.6) иΓ(ν) = (ν − 1)Γ(ν − 1) для ν > 1;(12.11)см., например, [22].Заметим также, что с помощью замены переменных w = 1 − uнесложно показать, чтоβ (µ,ν) = 1 − β (ν,µ) .(12.12)12.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
