1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Моделирование бета- и гамма-распределений дляцелых параметров. Рассмотрим распределение (12.1) для целыхµ, ν ∈ N при µ ≥ 2, ν ≥ 2.Здесь нам понадобятся следующие дополнительные рассуждения.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1 [35]. Пусть ξ (1) , . . . , ξ (n) – набор независимых,одинаково распределенных случайных величин. Вариационным рядом ξ 1(n) , . . . , ξ n(n) называется упорядоченный по возрастанию наборслучайных величин ξ (1) , . . .
, ξ (n) . При этом r-й член ξ r(n) вариационного ряда называется r-й порядковойстатистикой.В частности, ξ 1(n) = min ξ (1) , . . . , ξ (n) и ξ n(n) = max ξ (1) , . . . , ξ (n) .Справедливо следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 12.1 [5]. Пусть случайные величины ξ (1) , . . . , ξ (n)имеют функцию распределения Fξ (u) и плотность fξ (u). Тогда r-я порядковая статистика ξ r(n) имеет плотность распределенияr−1 r−1f r(n) (u) = n Cn−1Fξ (u) [1 − Fξ (u)]n−r fξ (u),(12.13)k= N !/[k!(N − k)!] – число сочетаний из N элементов по k.где CNРассмотрим случай {ξ (i) = α(i) ∈ U (0, 1)}, т. е. величины ξ (i) имеютплотность распределения fα (u) ≡ 1 и функцию распределенияFα (u) = u при 0 < u < 1 (см.
соотношения (2.12) и (9.5)). Здесь плотность (12.13) порядковой статистики ξ r(n) = αr(n) имеет видr−1 r−1fˆr(n) (u) = n Cn−1u(1 − u)n−r ,u ∈ (0, 1).(12.14)Сравнивая формулы (12.1) и (12.14) (с учетом соотношений (12.6),(12.10), (12.11)) для рассматриваемого случая µ, ν ∈ N, получаем, чтоβ (µ,ν) = αµ(µ+ν−1) – это µ-я порядковая статистика из (µ + ν − 1) стандартных случайных величин.Для численного моделирования (т.
е. для получения выборочного(µ,ν)µ(µ+ν−1)= α0) случайной величины β (µ,ν) = αµ(µ+ν−1)значения β0199можно использовать следующую процедуру – алгоритм, основанный на моделировании порядковых статистик, для бета-распределения с целыми параметрами.Предполагаем, что имеется эффективный алгоритм выбора максимального элемента ÃK и номера K соответствующей ячейки массиваà = ã(1) , . . . , ã(µ) , состоящего из µ компонент.АЛГОРИТМ 12.1 [9, 24]. 1.
Моделируем µ выборочных значенийA = (α1 , . . . , αµ ) стандартной случайной величины α, параллельно выбирая максимальный элемент AK получаемого массива A. Полагаем(µ,ν)сначала β0:= AK .2. Для s = µ + 1, . . . , µ + ν − 1 моделируем выборочные значения αs .Если αs < AK , то заменяем K-ю компоненту массива A: αK := αs инаходим максимальный элемент AK и номер K для преобразованного(µ,ν)массива A. Полагаем β0:= AK .Недостатком алгоритма 12.1 является необходимость проведениябольшого числа сравнений (порядка O(µ × [µ + ν − 1])).В работе [36] нами были подробно изучены возможные модификации алгоритма 12.1. Удалось выяснить, что для больших целых µ, ν ксущественному уменьшению числа сравнений может привести использование доверительных интервалов.В этой же работе [36] было показано, что алгоритм 12.1 и его возможные модификации превосходит по эффективности следующая формула, основанная на моделировании гамма-распределения, длябета-распределения с целыми параметрами:Qµln i=1 αi(µ,ν)µ(µ+ν−1)(12.15)β0= α0= Qµ+ν .ln i=1 αiАлгоритм (12.15) базируется на формулах (12.5), (12.9) и на следующей формуле, основанной на свойстве безграничной делимости, для гамма-распределения с целым параметром (распределения Эрланга):Qνln i=1 αiln ανln α1(λ,ν)− ...
−=−.(12.16)γ0=−λλλПри обосновании формулы (12.16) используется следующее важноесвойство гамма-распределения (12.2).УТВЕРЖДЕНИЕ 12.2 [14]. Если случайные величины γ (λ,ν1 ) и γ (λ,ν2 )независимы, то γ (λ,ν1 ) + γ (λ,ν2 ) = γ (λ,ν1 +ν2 ) ; равенство означает здесьсовпадение распределений соответствующих случайных величин.200Сформулированное свойство тесно связано со следующим понятием.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2 (см., например, [37]). Распределение случайной величины ξ называется безгранично делимым, если для любогонатурального n ∈ N справедливо представление ξ = ξ (1) + .
. . + ξ (n) , гдеξ (j) , j = 1, . . . , n – независимые и одинаково распределенные случайныевеличины.Индукцией по n несложно показать, что из утверждения 12.2 следует безграничная делимость гамма-распределения (12.2): здесь можно(j)взять ξ (j) = γ (λ,ν/n).(j)Pν В частности, для n = ν ∈ N имеем γ (λ,ν) = j=1 γ (λ,1), что в совокупности с соотношениями (12.5), (12.9) обосновывает моделирующиеформулы (12.15), (12.16).Следующие рассуждения из работ [5, 9, 23] существенно уточняютосновной вывод работы [36] (см. также книгу [24]) о том, что формула(12.15) является наиболее эффективной (экономичной) для моделирования бета-распределения с целыми параметрами µ и ν.Сформулируем следующее вспомогательное утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 12.3 [5, 9].
Пусть случайная величина ζ̃ распределена в интервале (0, A), 0 < A ≤ +∞ с плотностью f˜ζ̃ (u) такой,что f˜ζ̃ (A) = 0, и для некоторого a > −1 функция f˜ζ̃ (u) u−a абсолютнонепрерывна и монотонно убывает при u > 0.Предположим также, что случайная величина ξ˜(1) распределенас плотностью fξ̃(1) (u) = (a + 1) ua при 0 < u < 1, а величина ξ˜(2)распределена с плотностью0−ua+1 f˜ζ̃ (u) u−aпри 0 < u < A;fξ̃(2) (u) =a+1здесь штрих обозначает производную.Тогда справедливо представление ζ̃ = ξ˜(1) × ξ˜(2) .(µ,ν)Применим утверждение 12.3 для f˜ζ̃ (u) = fβ(u), A = 1 и(µ,ν)(1)(2)ˆa = µ − 1. Тогда ζ̃ = β= ξ × ξ , где случайная величина ξ (1) распределена с плотностью fξ(1) (u) = µ uµ−1 , 0 < u < 1, а ξˆ(2) распределенас плотностью0−ua+1 f˜ζ̃ (u) u−auµ (1 − u)ν−2ˆ=;fξ̂(2) (u) =a+1B(µ + 1, ν − 1)здесь использованы соотношения (12.6), (12.10), (12.11).201Вновь применяем утверждение 12.3 для f˜ζ̃ (u) = fˆξ̂(2) (u), A = 1 иa = µ.
Тогда ζ̃ = ξˆ(2) = ξ (2) × ξˆ(3) , где случайная величина ξ (2) распределена с плотностью fξ(2) (u) = (µ + 1) uµ , 0 < u < 1, а ξˆ(3) распределенас плотностьюuµ+1 (1 − u)ν−3, 0 < u < 1.fˆξ̂(3) (u) =B(µ + 2, ν − 3)Этот процесс продолжаем до тех пор, пока индекс j плотности fˆξ̂(j)не станет равным ν; при этом показатель степени при (1−u) в плотностиfˆξ̂(ν) будет равен нулю. Получаем представлениеβ (µ,ν) = ξ (1) × . .
. × ξ (ν) ,где случайные величины ξ (i) распределены со степенными плотностями вида (2.21):fξ(i) (u) = (µ + i − 1) uµ+i−2 , 0 < u < 1.Согласно формуле (2.22) (или (12.3)) для ξ (i) имеем моделирующие(i)1/(µ+i−1)формулы ξ0 = α0; i = 1, . . .
, µ. Таким образом получается формула, основанная на моделировании степенного распределения, для бета-распределения с целым параметром ν:(µ,ν)β0=νY1/(µ+i−1)αi.(12.17)i=1Формула (12.17) может быть эффективнее формулы (12.15) как минимум для случая µ ν, так как в формуле (12.17) имеется толькоν обращений к датчику стандартных случайных чисел, а в формуле(12.15) – (µ + ν) таких обращений (см. замечание 9.2).В случае µ ν (для µ ∈ N, µ ≥ 2) с учетом соотношений (12.12),(12.17) целесообразно использовать моделирующую формулу(µ,ν)β0(ν,µ)= 1 − β0=1−µY1/(ν+i−1)αi.(12.18)i=112.3.
Случаи нецелых параметров: «точные» формулы иметоды суперпозиции. Забегая вперед, отметим, что наиболее эффективными (экономичными) методами численного моделирования гамма- и бета-распределений с нецелыми параметрами µ и ν являются алгоритмы мажорантного метода исключения (см. далее подраздел 12.4).202Тем не менее, для случая нецелых µ и ν известен ряд «точных» (несвязанных с применением мажорантного метода исключения) формули алгоритмов.Так, например, рассуждения с использованием утверждения 12.3для получения формул (12.17) и (12.18) позволяют сформулировать следующие рекомендации.Для случая нецелого параметра µ > 0 и целого параметраν ≥ 2, ν ∈ N конструктивной «точной» моделирующей формулой для бета-распределения является (12.17).Для случая нецелого параметра ν > 0 и целого параметраµ ≥ 2, µ ∈ N конструктивной «точной» моделирующей формулой для бета-распределения является (12.18).Отметим, однако, что когда нецелый параметр (µ или ν) велик, ацелый невелик (близок к двойке), то вместо формул (12.17) или (12.18)целесообразней использовать мажорантный метод исключения (см.
далее алгоритмы 12.6, 12.7).В самом «трудном» случае, когда µ и ν одновременно не являются целыми числами, можно вновь учесть формулы (12.17), (12.18) ипредложить метод дискретной суперпозиции для моделирования бета-распределения, который строится следующим образом (см.также [9, 23]).Пусть s = [ν] + 1 − ν, где [ν] обозначает целую часть числа ν. Пред(µ,ν)ставим плотность fβ(u) следующим образом:(µ,ν)fβ(u) =uµ−1 (1 − u)[ν] (1 − u)−s,B(µ, ν)и разложим (1 − u)−s по формуле Тейлора – Маклорена (см., например,[21]):(1 − u)−s=∞XCi uii=0i!; C0 = 1, Ci = s (s + 1) × ... × (s + i − 1) =Γ(s + i),Γ(s)здесь i = 1, 2, . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
