1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1. Используя наиболее эффективный (экономичный) из алгоритмов моделирования целочисленной случайной величины с распределением (10.5) (см. алгоритмы 10.2–10.8), моделируем значение η0 = m.2. Моделируем выборочное значение ξ 0 случайного вектора (случайной величины) ξ согласно плотности fm (u).Алгоритм 11.1 называется методом дискретной суперпозицииили просто методом суперпозиции.Особо отметим, что на первом и втором шагах алгоритма 11.1 используются разные наборы стандартных случайных чисел.ПРИМЕР 11.1 (В.2; 1 балл; см., например, [9, 13]).
Пусть требуетсяпостроить алгоритм моделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =3(1 + u2 ), −1 < u < 1.8(11.3)Соотношение (11.3) представляет так называемый закон Релея молекулярного рассеяния фотонов в атмосфере, используемый в теориипереноса излучения [10].Решение задачи построения алгоритма метода дискретной суперпозиции для моделирования ξ0 состоит из трех этапов.Во-первых, следует убедиться в том, что данная функция (11.3) неявляется плотностью элементарного распределения. Для этого рассмотрим основное уравнение (2.16) метода обратной функции распреRξделения: −10 fξ (u) du = α0 .
Оно сводится к соотношениюξ03 + 3ξ0 − 8α0 + 4 = 0,(11.4)которое не дает эффективной моделирующей формулы для ξ0 .Второй этап состоит в выделении вероятностей и плотностей дляполучения соотношения вида (11.2). ИмеемZ 1Z 13 du3u 133u2 duu3 11p1 ===(11.5) = ; p2 = =8 −1488 −14−1 8−1(см. далее замечание 11.1), и плотность (11.3) представима в видеfξ (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u); f1 (u) ≡13u2; f2 (u) =; −1 < u < 1. (11.6)22169Третий этап – вывод частных моделирующих формул метода обратной функции распределения для распределений с плотностями f1 (u) иf2 (u).Функция f1 (u) является плотностью равномерного распределенияв интервале (−1, 1), которой соответствует табличная моделирующаяформула вида (2.23): ξ0 = −1 + 2α2 .Для плотности f2 (u) имеем уравнение вида (2.16):ξ0√ξ3(−1)33u2 du= α2 , или 0 −= α2 , или ξ0 = 3 2α2 − 1.
(11.7)222−1√Проверка√2.1 для α2 = 0 дает ξ0 = 3 2 × 0 − 1 = −1, а для α2 = 1имеем ξ0 = 3 2 × 1 − 1 = 1.Для моделирования номера плотности (первого или второго) используем алгоритм 10.3.Искомый алгоритм метода дискретной суперпозиции выглядит следующим образом.АЛГОРИТМ11.2 (А).
Если α1 < 3/4, то ξ0 = 2α2 − 1, иначе√ξ0 = 3 2α2 − 1.Описание примера 11.1 закончено.ЗАМЕЧАНИЕ 11.1 [13]. Пусть вместо представления (11.2) исходнаяплотность задана в видеZfξ (u) =MXhi (u), u ∈ X,(11.8)i=1где hi (u) – положительные (почтивсюду в X) функции.RВычисляя интегралы pi = X hi (u) du, перепишем плотность (11.8) ввидеMXhi (u)fξ (u) =pi ×.(11.9)pii=1Тогда функции{fi (u) = hi (u)/pi } являются плотностями (ведьRfi (u) ≥ 0 и X fi (u) du = 1), а числа {pi } – вероятностями: они неотPMрицательны и i=1 pi = 1. Действительно,Z1=Xfξ (u) du =MXZpii=1170XMhi (u) du X=pi .pii=1Таким образом, представление (11.9) плотности (11.8) имеет вид (11.2).Замечание 11.1 обосновывает, в частности, переход от соотношения(11.3) к представлению (11.5), (11.6) в примере 11.1.ЗАМЕЧАНИЕ 11.2 [13].
При описании примеров, связанных с построением алгоритмов метода дискретной суперпозиции для одномерных случайных величин ξ с плотностями распределения fξ (u); u ∈ (a, b), требуется представлять результаты интегрирования на трех этапах этого построения:– при обосновании того, что исходная плотность не является элементарRξной (т.
е. уравнение вида a 0 fξ (u) du = α0 неразрешимо в элементарныхфункциях относительно ξ0 ) – см., например, соотношение (11.4) в примере 11.1;Rb– при выделении вероятностей pi = a hi (u) du (см. замечание 11.1 исоотношение (11.5) в примере 11.1);– при выводе формул метода обратной функции распределения дляплотностей {fi (u)} – см., например, соотношение (11.7) в примере 11.1.Однако несложно заметить, что во всех трех случаях используютсяодни и те же первообразные (с точностью до умножения на константыи подстановки различных пределов интегрирования). Учет этого обстоятельства позволяет существенно упростить соответствующие вычисленияи выводы формул.11.2. Модифицированный метод суперпозиции. В этом и следующем подразделах рассматривается численное моделирование выборочного значения ξ0 одномерной случайной величины ξ ∈ (a, b).Предположим сначала, что плотность распределения ξ имеет вид(11.2):MXfξ (u) =pi fi (u), u ∈ (a, b);(11.10)i=1причем функции {fi (u)} являются элементарными плотностями.Предположим также, что значение ξ0 моделируется с помощью алгоритма 11.1, при этом применяются:– на первом шаге: стандартный алгоритм 10.2 или его модификации(алгоритмы 10.6 и 10.7), определяющие номер m полуинтервала" m−1!mXX∆m =pi ,pi ,i=1i=1в который попадает первое стандартное случайное число α1 ;171– на втором шаге: экономичная формула метода обратной функцииξ0 = ψm (α2 ), получаемая из уравнения вида (2.16):ξ0Zfm (u) du = α2 .(11.11)aСогласно утверждению 2.4, случайная величина α1 ∈ U (0, 1) равномерно распределена в ∆m , и справедливо следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ11.1 (см., например, [9, 24]).
Случайная величинаPm−1 −1β(α) = α − i=1 pi pm равномерно распределена в интервале (0, 1)для α ∈ U (0, 1) при условии, что α ∈ ∆m .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу того, что α ∈ ∆m , имеем β(α) ∈ [0, 1),и поэтому Fβ(α) (x) = P{β(α) < x} = 0 при x ≤ 0 и Fβ(α) (x) = 1 приx ≥ 1.Далее, для 0 < x < 1, используя соотношение (9.6), получаем P (β(α) < x) ∩ (α ∈ ∆m )Fβ(α) (x) = P β(α) < x|α ∈ ∆m ==P{α ∈ ∆m }()Pm−1Pm−1Pi=1 pi ≤ α <i=1 pi + x pm==pmPm−1=i=1pi + x pm −pmPm−1i=1pi= x,т. е. функция Fβ(α) (x) совпадает с функцией распределения Fα (x) стандартной случайной величины α ∈ U (0, 1) (см. соотношения (2.12) и(9.5)).
Утверждение 11.1 доказано.Утверждение 11.1 обосновывает следующую модификацию алгоритма 11.1.АЛГОРИТМ 11.3 (см., например, [9, 24]). 1. Моделируем стандартное случайное число α0 ∈ U (0, 1) и, используя алгоритм 10.2 или егомодификации (алгоритмы 10.6, 10.7 и др.), получаем значение η0 = m.2.
Моделируем выборочное значение ξ0 по формуле ξ0 = ψm [β0 (α0 )],полученной с помощью решения уравнения!Z ξ0m−1Xfm (u) du = β0 (α0 ), β0 (α0 ) = α0 −pi p−1(11.12)mai=1172относительно переменной ξ0 .Модификация состоит в замене α2 на β0 (α0 ) в уравнении (11.11). Этопозволяет ликвидировать одну из двух трудоемких операций обращенияк генератору стандартных случайных чисел RAN DOM (см. замечание 9.2).ЗАМЕЧАНИЕ 11.3. В случае, если в формуле (11.10) все вероятностиодинаковы: p1 = .
. . = pM = 1/M , в первом пункте алгоритма 11.3 можноиспользовать алгоритм 10.5: m = [M α0 ] + 1, а во втором – число вида(10.21) из замечания 10.2: β0 (α0 ) = M α0 − m + 1.К слову, это же число (10.21) можно использовать в модифицированном алгоритме 11.3 в случае, когда на первом шаге этого алгоритма используется метод Уолкера (алгоритм 10.8).Для примера 11.1 при m = 1 величина β0 (α0 ) равна (4/3)α0 , а приm = 2 имеем β0 (α0 ) = (α0 − 3/4)/(1/4) = 4α0 − 3, отсюда получаемследующий модифицированный метод суперпозиции (алгоритм 11.3).АЛГОРИТМ 11.2 (Б). Если α0 < 43 , то ξ0 = 2 × 4α3 0 − 1 = 8α3 0 − 1,p√иначе ξ0 = 3 2 × (4α0 − 3) − 1 = 3 8α0 − 7.ПРИМЕР 11.2 (В.2; 1,5 балла; [5, 9, 23]). Пусть требуется построитьалгоритм моделирования выборочного значения ξ0 случайной величиныξ, имеющей плотность распределения5fξ (u) =1 + (u − 1)4 , 0 < u < 2.12Эта функция не является плотностью элементарного распределения,Rξтак как соотношение 0 0 fξ (u) du = α0 равносильно уравнению(ξ0 − 1)5 + 5ξ0 = 12α0 − 1,которое неразрешимо относительно ξ0 .Выделим вероятности (см.
замечание 11.1):Z 2Z 25 du5u 255(u − 1)4 du(u − 1)5 21p1 === = ; p2 = = .1212 0612126000Таким образом, плотность fξ (u) представима в виде (11.6):fξ (u) = p1 f1 (u)+p2 f2 (u); p1 =1155, p2 = ; f1 (u) ≡ , f2 (u) = (u−1)4 .6622Функция f1 (u) является плотностью равномерного распределения винтервале (0, 2), которой соответствует табличная моделирующая формула вида (2.23): ξ0 = 2α2 .173Для плотности f2 (u) имеем уравнение вида (2.16):ξ0Z05(u − 1)4 du(ξ0 − 1)5(−1)5= α2 , или−= α2 ,222или ξ0 = 1 + (2α2 − 1)1/5 .Проверка 2.1 для α2 = 0 дает ξ0 = 1 + (0 − 1)1/5 = 0, а для α2 = 1имеем ξ0 = 1 + (2 − 1)1/5 = 2.Искомый алгоритм метода дискретной суперпозиции выглядит следующим образом.АЛГОРИТМ 11.4(А).
Если α1 < 5/6, то ξ0 = 2α2 , иначеξ0 = 1 + (2α2 − 1)1/5 .Для модифицированного метода суперпозиции величина β0 (α0 ) равна (6/5)α0 при m = 1 и β0 (α0 ) = 6α0 − 5 при m = 2, отсюда получаемследующий алгоритм.0АЛГОРИТМ 11.4(Б). Если α0 < 5/6, то ξ0 = 12α5 , иначеξ0 = 1 + (12α0 − 11)1/5 .Модифицированный метод (алгоритм 11.4(Б)) имеет для этого примера преимущество по сравнению с алгоритмом 11.4(А), так как при егоприменении не требуется реализовывать второе стандартное случайноечисло α2 ∈ U (0, 1) (а затраты на остальные операции у стандартного и модифицированного методов практически совпадают).
Описаниепримера 11.2 закончено.11.3. Моделирование случайных величин с составнымиплотностями. Рассмотрим случайную величину ξˆ ∈ [a, b), имеющуюсоставную плотностьfˆξ̂ (u) =MXpi fˆi (u)χ[ai ,bi ) (u),u ∈ [a1 = a, b1 )∪[a2 , b2 )∪. . .∪[aM , bM = b).i=1(11.13)Здесь χ(A) (u) – индикатор множества A; функции fˆi (u) – это плотности случайных величин ξˆ(i) , распределенных в полуинтервалах [ai , bi )(здесь ai < bi ≤ ai+1 ; для простоты полагаем, что bi = ai+1 ), а числаPM{pi } – это вероятности: pi > 0;i=1 pi = 1.Отличие распределения случайной величины ξ, имеющей плотностьраспределения (11.10), от случайной величины ξˆ с распределением(11.13) состоит в том,что случайныевеличины ξ (i) , имеющие плотности распределения fi (u) из (11.10), принимают значения на одном174 и том же интервале (a, b), а случайные величины ξˆ(i) , имеющиеплотности распределения fˆi (u) из(11.13), распределены на разных,не пересекающихся полуинтервалах [ai , bi ) , объединение которых составляет полуинтервал [a, b).УТВЕРЖДЕНИЕ 11.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
