1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТА. В. ВойтишекЛЕКЦИИ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАММОНТЕ-КАРЛОУчебное пособиеНовосибирск2018УДК 519.676ББК 22.193В 654Рецензентканд. физ.-мат. наук Н. В. ТрачеваВойтишек, А. В.В 654 Лекции по численным методам Монте-Карло: учеб.
пособие /А. В. Войтишек; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск: ИПЦ НГУ,2018. – 314 с.ISBN 978-5-4437-0812-6В книге представлены подходы к компьютерной реализации стандартных случайных чисел, алгоритмы численного моделирования случайных величин и векторов, методы построения весовых оценивателей (монте-карловских оценок) для задач численного интегрирования(включая приближения специальных сумм интегралов бесконечно возрастающей кратности, связанных с решением интегральных уравненийФредгольма второго рода). Приведены важнейшие примеры практического использования алгоритмов метода Монте-Карло.
Книга содержитбольшое количество иллюстративных примеров и упражнений. Пособие предназначено для студентов старших курсов бакалавриата и магистрантов естественнонаучных направлений классических и инженерныхуниверситетов.УДК 519.676ББК 22.193ISBN 978-5-4437-0812-6c Новосибирский государственныйуниверситет, 2018c А. В.
Войтишек, 2018ПредисловиеВ данном пособии предложен новый, методически обоснованный порядок представления материалов по теории методов Монте-Карло длястудентов старших курсов бакалавриата и магистрантов естественнонаучных направлений классических и инженерных университетов.В первых разделах 1–5 представлены основные идеи построения,реализации на компьютере и оптимизации простейшей схемы методаМонте-Карло. Здесь особое внимание уделено основным алгоритмам моделирования случайных величин и векторов, идеям рандомизации алгоритмов и способам уменьшения трудоемкости (на примере «методической» задачи приближенного вычисления многократного интеграла).Далее в разделах 6–8 на примере простейшей односкоростной модели переноса излучения (частиц) рассмотрены проблемы компьютерногорешения практически значимой задачи.
Вводится аппарат марковскихи произвольных интегральных уравнений Фредгольма второго рода иисследуется основной весовой оцениватель (или монте-карловская оценка по столкновениям) и его приложения.Наконец, в разделах 9–14 представлены детали алгоритмов численного моделирования случайных величин и векторов (включая вопросыпостроения и реализации генераторов стандартных случайных чисел).Оcобо отметим, что в данном учебнике существенно увеличено (по сравнению с известными пособиями по методам Монте-Карло) количествополезных иллюстративных примеров и упражнений.В пособии введен ряд новых терминов и понятий, предлагаемых кширокому использованию: «мера управляемости численных итерационных процессов» (в приложении, в частности, к реализации на ЭВМстандартных случайных чисел), «технологии построения моделируемых плотностей», «альтернативные методы широкого применениядля моделирования случайных величин» (обобщающий термин для методов интегральной, дискретной суперпозиции и мажорантного метода исключения), «моделируемые аппроксимационные базисы», «вычислимое моделируемое преобразование координат для случайного вектора», «прикладная цепь Маркова» и связанное с ним «марковское интегральное уравнение», «условная оптимизация численных алгоритмов»,«дискретно-стохастические численные методы», и, наконец, «оцениватель» (от англоязычного «estimator») вместо (или в качестве синонима) «монте-карловской оценки».3Материал пособия разбит на разделы.
Предполагается, что при чтении соответствующего курса представление каждого раздела занимаетприблизительно одну лекцию. В разделе 14 отмечено, что представленный там материал может служить основой для проведения семинаров(примерный план таких семинаров дан в приложении 3 данного пособия).Материалы пособия опробованы автором при чтении потокового курса «Методы Монте-Карло» (4-й курс механико-математического факультета Новосибирского государственного университета, направление«Прикладная математика и информатика»), магистерского курса (навыбор) «Символьные и численные расчеты в физических приложениях»(магистратура физического факультета НГУ, первый год обучения),а также курса «Методы Монте-Карло (базовый курс) / Monte Carlomethods (basic course)» англоязычной магистерской программы ММФНГУ «Численное статистическое моделирование / Numerical StatisticalModelling».41. Развитие и основные областиприложения численного статистическогомоделирования.
Общая схема методаМонте-Карло1.1. Разработка теории и приложений алгоритмов методаМонте-Карло. С развитием вычислительной техники возрастает рольчисленных методов решения прикладных задач. Важное место в этомпроцессе занимают алгоритмы численного статистического моделирования или методы Монте-Карло. Особое место этих методов связано с простотой и естественностью их распараллеливания с целью эффективного применения современных многопроцессорных компьютерных систем.Под численным статистическим моделированием обычно понимают реализацию с помощью компьютера вероятностной модели того илииного объекта с целью оценивания изучаемых интегральных параметров (средних значений нужных характеристик) на основе закона больших чисел.Исторически интенсивное развитие теории и приложений методаМонте-Карло было связано с разработкой численных моделей ядерных процессов (при создании соответствующих военных и техническихустройств – бомб, реакторов и т.
п.) в СССР и США в 50-е годы XXвека.Разработка теории метода связана с фундаментальными работамиДж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса [1], Н. И. Бусленко [2],Дж. М. Хеммерсли [3], Дж. Спанье [4], И. М. Соболя [5], С. М. Ермакова[6, 7], Г. А. Михайлова [7–9], Г. И. Марчука [10], М. Кейлоса [11],К. К. Сабельфельда [12] и др.В последние шестьдесят лет область применения численного статистического моделирования значительно расширилась. Была разработана содержательная теория вероятностных представлений решенийзадач математической физики.
На базе этой теории были построеныэффективные (экономичные) оцениватели метода Монте-Карло.Алгоритмы численного статистического моделирования конструируются и используются также для решения задач статистической физики (схема Метрополиса – Хастингса, модель Изинга и др.), физическойи химической кинетики (многочастичные схемы, численные методы решения уравнений Больцмана и Смолуховского, моделирование реакцийи фазовых переходов, построение вероятностных клеточных автоматов5и др.), теории массового обслуживания (марковские модели с пуассоновскими потоками заявок), финансовой математики (вероятностныеформулы и итерационные процессы, алгоритмы решения стохастических дифференциальных уравнений и др.), теории турбулентности,математической биологии и т. д.
Особое развитие получают также численные модели случайных процессов и полей (с применениями в метеорологии, физике атмосферы и океана и других областях), а также смешанные рандомизированные проекционные и дискретно-стохастическиечисленные схемы (включая функциональные алгоритмы).1.2. Новосибирская школа методов Монте-Карло.
В России(и в Советском Союзе) наиболее интенсивное развитие теории и приложений алгоритмов численного статистического моделирования происходило в Санкт-Петербурге (группа профессора С. М. Ермакова) и Москве(группа профессора И. М. Соболя); можно упомянуть также ряд разработок в закрытых ядерных центрах страны.Однако лидирующую роль в России (и, пожалуй, в мире) занимаетгруппа ученых, неформально объединенных в Отдел статистического моделирования в физике (СМФ) (три лаборатории) Института вычислительной математики и математической геофизики (ИВМиМГ,бывшего Вычислительного центра) Сибирского отделения РоссийскойАкадемии наук в Новосибирске.
Именно этой группе принадлежит значительная часть перечисленных выше новых результатов в теории иприложениях метода Монте-Карло.Отдел СМФ был создан по инициативе академика Г. И. Марчука, который в середине 60-х годов XX столетия пригласил в новосибирскийАкадемгородок выдающегося ученого Геннадия Алексеевича Михайлова, который собрал и возглавил (и до сих пор возглавляет) коллективновосибирских специалистов по методам Монте-Карло.В отделе продолжают работать и получать заметные результаты втеории и приложениях численного статистического моделирования такие известные специалисты как K.
К. Сабельфельд, Б. А. Каргин,С. М. Пригарин, В. А. Огородников, А. В. Войтишек, С. В. Рогазинский,С. А. Ухинов,В. С. Антюфеев,М. А. Марченко,С. А. Гусев,Т. А. Аверина,И. А. Шалимова,Е. В. Шкарупа,Г. З. Лотова,А. И. Левыкин, И. Н. Медведев, О. А. Махоткин, А. В. Бурмистров,Е. Г. Каблукова, М. А. Коротченко, Н. В. Трачева, Н. А. Каргаполова,А. Е. Киреева, О. С. Ухинова и др.К слову, при чтении данного курса целесообразно представлять дополнительную лекцию, включающую обзор задач, исследованных и ис6следуемых в новосибирской школе численного статистического моделирования.1.3. О преподавании теории и приложений методов МонтеКарло в НГУ. Практически все перечисленные сотрудники отделаСМФ ИВМиМГ СО РАН работают по совместительству в высших учебных заведениях Новосибирска, в первую очередь, в Новосибирском государственном университете.
На механико-математическом факультете НГУ была разработана и реализована (в том числе на английскомязыке) специальная магистерская программа «Численное статистическое моделирование / Numerical Statistical Modelling» (руководитель– проф. А. В. Войтишек). Кроме того, на механико-математическом ифизическом факультетах НГУ читаются многочисленные обязательныеи специальные курсы по методам Монте-Карло. Большое количествостудентов и аспирантов НГУ специализируются и проводят исследования по численному статистическому моделированию в отделе СМФИВМиМГ СО РАН.Особо отметим, что в данном курсе (и в данном пособии) представлены лишь основы теории и возможных приложений алгоритмов численного статистического моделирования. Для более глубокого изучения этой тематики можно воспользоваться как многочисленными пособиями и монографиями, разработанными сотрудниками отдела СМФИВМиМГ СО РАН (укажем прежде всего учебник [9]), так и непосредственными консультациями у перечисленных выше сотрудников (вплотьдо специализации по методам Монте-Карло).1.4.ОбщаясхемаметодаМонте-Карло.Понятиеоценивателя (монте-карловской оценки).
В самом общем виде схема метода Монте-Карло выглядит следующим образом (см., например, [9, 13]).Пусть требуется приближенно вычислить на компьютере некоторуювеличину I. Предполагается, что можно построить (выбрать) случайную величину ζ, математическое ожидание Eζ которой равно I (илидостаточно близко к этой величине), дисперсия Dζ = E(ζ − Eζ)2 конечна, и кроме того, выборочные значения ζi случайной величиныζ могут быть достаточно эффективно (экономично) численносмоделированы (реализованы на компьютере).Здесь и далее греческая буква с нижним индексом (например, ζi )обозначает смоделированное выборочное значение, в то время как этаже буква без индекса (например, ζ) обозначает саму моделируемую случайную величину.7АЛГОРИТМ 1.1 (см., например, [9, 13]).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
