1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Эта величина имеет функцию распределения 0 для x ∈ (−∞, 0];x для x ∈ (0, 1);Fα (x) = P{α < x} =(2.12)1 для x ∈ [1, +∞);и плотность распределенияfα (u) ≡ 1, 0 < u < 1(рис. 2.2).Несложно подсчитать математическое ожидание и дисперсию стандартной случайной величины α:Z 11 111.(2.13)ufα (u) du = ; Dα = Eα2 − (Eα)2 = − =Eα =234120Для обоснования алгоритмов Монте-Карло часто используется следующее свойство случайных точек, равномерно распределенных в ограниченных областях в Rl (в частности, случайной величины α).27Рис.
2.2. Функция и плотность распределения стандартной случайнойвеличины αУТВЕРЖДЕНИЕ 2.3 (см., например, [9, 13]). Если l-мерная случайная точка α равномернораспределена в области G(1) ⊂ Rl конечR(1)ного объема Ḡ= G(1) du, то она также равномерно распределенав любой подобласти G ⊆ G(1) объема Ḡ при условии попадания в этуподобласть.
В этом случае P{α ∈ G} = Ḡ/Ḡ(1) (рис. 2.3).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Плотность распределения случайной точкиα имеет вид1(1)fα (u) ≡ (1) , u ∈ G(1) .ḠРассмотрим произвольное борелевское подмножество A ⊆ G множества G и подсчитаем условную вероятностьP (α ∈ A) ∩ (α ∈ G)P{α ∈ A|α ∈ G} ==P{α ∈ G}RZ1duĀ1A Ḡ(1)R===du.1ḠḠduAG Ḡ(1)Используя определение 1.1 и произвольность множества A, получаем, что случайная точка α, при условии попадания в подобласть G,распределена в G равномерно согласно плотности распределенияfα (u|α ∈ G) ≡1, u ∈ G.ḠДля A = G получаем P{α ∈ G} = Ḡ/Ḡ(1) . Утверждение 2.3 доказано.Сформулируем также весьма важное и широко применимое следствие утверждения 2.3.28Рис. 2.3. Иллюстрации к утверждениям 2.3 и 2.4УТВЕРЖДЕНИЕ 2.4 (см., например, [9, 13]).
Пусть интервал (c, d)является подмножеством интервала (0, 1): (c, d) ⊆ (0, 1). Тогда стандартная случайная величина α равномерно распределена в интервале(c, d) при условии попадания в него иP {α ∈ (c, d)} = d − c(2.14)(рис. 2.3).2.5. Метод обратной функции распределения. Вернемся к решению проблемы 2.1.В дальнейшем будем предполагать, что плотность распределенияfξ (u) одномерной случайной величины ξ положительна (с точностьюдо множества меры нуль) на интервале (a, b) (а вне этого интервалатождественно равна нулю).
Это означает, что случайная величина ξраспределена на интервале (a, b) (обозначение ξ ∈ (a, b)).Последнее предположение выполняется на практике в подавляющемчисле случаев (т. е. распределения на объединении непересекающихсяинтервалов или распределения, не являющиеся абсолютно непрерывными, встречаются на практике крайне редко). Тем не менее, здесь уместно заметить, что приводимые далее рассуждения несложно распространить и на перечисленные нестандартные случаи, когда ξ ∈/ (a, b).В рассматриваемом случае ξ ∈ (a, b) функция распределенияZ xFξ (x) = P{ξ < x} =fξ (u) du−∞29(см., например, [14]) случайной величины ξ является непрерывной истрого возрастающей на интервале (a, b):Z x2Fξ (x2 ) − Fξ (x1 ) =fξ (u) du > 0 при a ≤ x1 < x2 ≤ b.x1Сформулируем стандартный алгоритм моделирования непрерывных случайных величин ξ ∈ (a, b) (метод обратнойфункции распределения).АЛГОРИТМ 2.4 (см., например, [9, 13]).
Для численного моделирования (реализации на компьютере) выборочного значения ξ0 случайнойвеличины ξ ∈ (a, b) используем формулуξ0 = Fξ−1 (α0 );(2.15)где α0 ∈ U (0, 1) – стандартное случайное число (рис. 2.4).Рис. 2.4. Иллюстрации к методу обратной функции распределенияОбоснование формулы (2.15) (а значит, и стандартного алгоритма 2.4) следует из того факта, что функции распределения случайныхвеличин ξ и ξ˜ = Fξ−1 (α) совпадают.Действительно, так как Fξ−1 (α) ∈ (a, b) (рис.
2.4), то при x ≤ aс очевидностью имеем Fξ̃ (x) = P{ξ˜ < x} = 0 = Fξ (x), а для x ≥ bполучаем Fξ̃ (x) = 1 = Fξ (x).Наконец, для a < x < b в силу монотонности функции Fξ (x) наинтервале (a, b) верны следующие равенства:Fξ̃ (x) = P{Fξ−1 (α) < x} = P {α < Fξ (x)} = Fξ (x);30здесь использовано соотношение (2.14) для c = 0 и d = Fξ (x).2.6. Элементарные плотности. На первый взгляд, алгоритм 2.4полностью решает проблему 2.1. Однако остается одна важная «техническая» проблема, связанная с использованием формулы (2.15) в прикладных компьютерных программах.ПРОБЛЕМА 2.2.
Представить соотношение ψ(x) = F −1 (x) в видекомпозиции доступных в данном языке программирования (конкретнее – элементарных) функций так, чтобы вычисление значения ψ(x)могло быть эффективно (экономично) реализовано на компьютере.Учитывая, что значения ξ0 и Fξ−1 (α0 ) принадлежат интервалу (a, b)(рис. 2.4), и функция Fξ (x) монотонно возрастает на этом интервале,мы можем переписать соотношение (2.15) в виде Fξ (ξ0 ) = α0 илиZ ξ0fξ (u) du = α0(2.16)a(рис. 2.4); здесь учтено, что fξ (u) = 0 при x ≤ a и что a < ξ0 < b.В случае, когда проблема 2.2 разрешима, будем называть плотностьраспределения fξ (u) случайной величины ξ элементарной (с точки зрения возможности численного моделирования выборочных значений, ноне с точки зрения какой-то «простоты» формы записи этой функции).Другими словами, на основании соотношения (2.16) мы вводим следующее определение.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3.
(см., например, [9, 13]). Плотность fξ (u) случайной величины ξ называется элементарной, если решение уравнения (2.16) (по отношению к верхнему пределу ξ0 интеграла в левойчасти этого уравнения) может быть представлено в виде ξ0 = ψ(α0 ),где ψ(x) – относительно простая композиция элементарных функций,для которой подсчет значения ψ(x) на компьютере достаточно эффективен (экономичен).Уравнение (2.16) может быть неразрешимо по двум причинам.Первая причина состоит в том, что интеграл в правой части уравнения (2.16) не берется аналитически (т.
е. не удается выразить соответствующую первообразную в виде композиции элементарных функций).В качестве примера можно упомянуть такое широко применимоераспределение, как стандартное нормальное распределение случайнойвеличины ξ (0,1) с плотностью (1.12) – см. рис. 1.2 (соответствующаяфункция распределения табулируется, что, в частности, усложняет процедуру построения доверительных интервалов в математической статистике).31Тем не менее, заметим, что для моделирования выборочного зна(0,1)чения ξ0случайной величины ξ (0,1) можно построить эффективныйспециальный алгоритм численного моделирования соответствующихвыборочных значений (формулы Бокса – Мюллера), связанный со свойствами изотропного вектора случайной длины – см., например, [9, 13],а также подразделы 6.3, 13.1, 13.2 данного пособия.Вторая причина, по которой та или иная плотность может быть неэлементарной, состоит в том, что даже если интеграл в левой частиуравнения (2.16) берется, получаемое после интегрирования уравнениенеразрешимо относительно ξ0 .В качестве примера приведем распределение с полиномиальной плотностьюMXfξ (u) =cm um , 0 < u < 1, M = 1, 2, ...(2.17)m=0Широкое применение распределения (2.17) связано с идеей замены«немоделируемых» плотностей распределения в конечных интервалахна моделируемые полиномиальные приближения этих плотностей.После подстановки плотности (2.17) в уравнение (2.16) получаем соотношения!Z ξ0 XMMXcm ξ0m+1m= α0 .cm udu = α0 илиm+10m=0m=0Последнее уравнение, вообще говоря, неразрешимо относительно ξ0при M ≥ 2 и cm 6= 0 (моделирующие формулы получаются только дляредких частных случаев – см., в частности, пример 2.2).ЗАМЕЧАНИЕ 2.4.
Практически для всех распределений с неэлементарными плотностями можно построить алгоритм моделирования выборочных значений – как минимум мажорантный метод исключения (ноэтот метод часто оказывается неэкономичным, см., например, [9, 13], атакже раздел 11 данного пособия), или специальный метод (использующий особенности моделируемого распределения; примеры таких алгоритмов приведены, в частности, в [9, 13], а также в разделах 12 и 13 данного пособия), или методы интегральной и дискретной суперпозиции(рандомизации) (см., например, [9, 13], а также разделы 3 и 11 данногопособия).В частности, для распределения (2.17) в [9, 13] и в разделе 11 (см.пример 11.8) приведены достаточно эффективные (экономичные) алго32ритмы метода дискретной суперпозиции (для случая cm ≥ 0) и мажорантного метода исключения (в произвольном случае).Теперь приведем примеры элементарных плотностей.ЗАМЕЧАНИЕ 2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
