1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 4
Текст из файла (страница 4)
определение 1.1) для каждого фиксированного u = u0 ; это означает, чтоZ (2)P ξ ∈ B u0 =fξ(2) v|u0 dv.BТогда функция fξ(2) (v|u) = fξ(2) v|ξ (1) = u называется условной плотностью распределения случайной величины ξ (2) при условии,что ξ (1) = u.Другими словами, измеримая (по переменным u и v) функцияfξ(2) (v|u) является условной плотностью случайной величины ξ (2) приусловии, что ξ (1) = u, если1) для любых борелевских множеств A и B выполнено соотношениеZ Znofξ(2) (v|u) dv P ξ (1) ∈ du = P ξ (1) ∈ A ∩ ξ (2) ∈ B ; (2.2)AB2) для любого фиксированного u = u0 функция fξ(2) (v|u) являетсявероятностной плотностью распределения.Если вдобавок и случайная величина ξ (1) является абсолютно непрерывной и имеет плотность fξ(1) (u) (см. определение 1.1), то соотношение(2.2) может быть представлено в видеZ Znofξ(2) (v|u) fξ(1) (u) du dv = P ξ (1) ∈ A ∩ ξ (2) ∈ B .(2.3)ABСоотношение (2.3) означает, что в R2 определено абсолютно непрерывное совместное распределение случайных величин ξ (1) и ξ (2)Z Zno(1)(2)P ξ ∈A ∩ ξ ∈B =fξ (u, v) du dv,ABс совместной плотностью, представленной в виде разложенияfξ (u, v) = fξ(1) (u) × fξ(2) (v|u);(2.4)здесь, как и ранее, ξ = ξ (1) , ξ (2) ; см.
определение 1.1 и рис. 2.1.21Рис. 2.1. Иллюстрация к определению совместной плотности fξ (u, v)Справедливо также обратное утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1 (см., например, [14]). Если совместное распределение случайных величин ξ (1) и ξ (2) имеет плотность fξ (u, v) в R2 ,то функцияfξ(2) (v|u) =fξ (u, v)fξ(1) (u)Z, где fξ(1) (u) =fξ (u, v) dv,(2.5)является условной плотностью случайной величины ξ (2) при условии,что ξ (1) = u, а функция fξ(1) (u) – «безусловная» (обычная) плотностьраспределения случайной величины ξ (1) .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Утверждение относительно плотности fξ(1) (u)очевидно в силу того, что для любого борелевского множества AZno Z Z(1)fξ (u, v) du dv =fξ(1) (u) duP ξ ∈A =AA(см. определение 1.1).Осталось показать, что функция fξ(2) (v|u) = fξ (u, v)/fξ(1) (u) удовлетворяет определению 2.2. Действительно, следуя определению 1.1 и22соотношениям (2.5), имеемno Z Z f (u, v)ξ(1)fξ(2) (v|u) dv P ξ ∈ du =du fξ(1) (u) dv =fBA B ξ (1) (u)Z ZA= P{ξ ∈ A × B} = Pnoξ (1) ∈ A ∩ ξ (2) ∈ B ,т. е. соотношение (2.3) выполнено.АналогичноZnofξ(2) (v|u0 ) dv = P ξ (1) = u0 ∩ ξ (2) ∈ B ,Bт.
е. для любого фиксированного u = u0 функция fξ(2) (v|u) являетсявероятностной плотностью распределения. Утверждение 2.1 доказано.ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. По аналогии с предыдущими рассуждениями может быть построено второе представление совместной плотности видаfξ (u, v) = fξ(2) (v) × fξ(1) (u|v);(2.6)здесьZfξ(2) (v) =fξ (u, v) du и fξ(1) (u|v) =fξ (u, v)fξ(2) (v)(2.7)являются «безусловной» плотностью распределения случайной величиныξ (2) и условной плотностью случайной величины ξ (1) при условии, чтоξ (2) = v, соответственно.ЗАМЕЧАНИЕ 2.2.
Представления (2.4)–(2.7) справедливы идля той ситуации, когда ξ (1) является k-мерным случайнымвектором, а ξ (2) – m-мерным случайным вектором; здесь соответствующее совместное распределение вектора ξ рассматривается в Rd ,где d = k + m.ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. Из соотношений (2.1)–(2.3) следует равенство P ξ (2) ∈ B ∩ ξ (1) ∈ du (2)= P ξ (2) ∈ B ξ (1) ∈ du ;P ξ ∈ B u0 =(1)P ξ ∈ du(2.8)здесь du обозначает бесконечно малую окрестность точки u0 .232.2. Алгоритм численного моделирования двумерногослучайного вектора. Выберем представление (2.4), (2.5) совместнойплотности fξ (u, v) двумерного случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) и рассмотрим следующий алгоритм численного моделирования выборочного(1) (2) значения ξ 0 = ξ0 , ξ0этого вектора.АЛГОРИТМ 2.1 (см., например, [9, 13]).
1. Численно моделируем(1)(реализуем на компьютере) выборочное значение ξ0 случайной вели(1)чины ξ согласно плотности fξ(1) (u).(2)2. Моделируем выборочное значение ξ0 случайной величины ξ (2) со(1) (1)(1) гласно плотности fξ(2) u|ξ0 = fξ ξ0 , u fξ(1) ξ0 .УТВЕРЖДЕНИЕ 2.2 (см., например, [5]). Совместное распределе(1) (2) ние случайной точки ξ 0 = ξ0 , ξ0 , реализуемой с помощью алгоритма 2.1, имеет плотность распределения fξ (u, v) вида (2.6).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя определения вероятностной плотности (см.
определение 1.1 и замечание 1.2) и условной плотности (см.(1)определение 2.2), имеем, что для фиксированного ξ (1) = ξ0 с точностью до бесконечно малых второго порядка выполнено равенство (1) (1) (2)P ξ0 ∈ dv ξ0= fξ(2) v ξ0 dv;(2.9)здесь и далее du и dv обозначают бесконечно малые окрестности точекu и v соответственно.Используя формулу умножения вероятностей (см., например, [14]),получаемn (1)o (1) (2)(1)(2)P ξ0 ∈ du ∩ ξ0 ∈ dv = P ξ0 ∈ du × P ξ0 ∈ dv ξ0 ∈ du .Учитывая соотношения (2.8), (2.9) и замечание 1.2 (см. такжерис.
2.1), имеемn (1) o (1) (2)(1)(2)P ξ0 ∈ du ∩ ξ0 ∈ dv = P ξ0 ∈ du × P ξ0 ∈ dv ξ0== fξ(1) (u) du × fξ(2) (v|u) dv = fξ (u, v) du dv.Из того же замечания 1.2 следует, что функция fξ (u, v) является(1) (2) плотностью распределения случайной точки ξ 0 = ξ0 , ξ0 . Утверждение 2.2 доказано.24Аналогично при выборе представления (2.6), (2.7) можно построитьи обосновать следующий алгоритм численного моделирования выбороч(1) (2) ного значения ξ 0 = ξ0 , ξ0случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) .АЛГОРИТМ 2.2 (см., например, [9, 13]). 1.
Моделируем выборочное(2)значение ξ0 случайной величины ξ (2) согласно плотности fξ(2) (u).(1)2. Моделируем выборочное значение ξ0 случайной величины ξ (1) со (2) (2) (2) fξ(2) ξ0 .гласно плотности fξ(1) uξ0 = fξ u, ξ02.3. Стандартный алгоритм моделирования случайноговектора. Исследуем сформулированную выше проблему 1.4. Принимая во внимание соотношение (1.2), мы можем утверждать, что задачаконструирования алгоритмов численного моделирования (реализациина компьютере) выборочных значенийζ1 = q(ξ 1 ), . . .
, ζn = q(ξ n )сводится к вопросумоделирования d-мерного случайного вектораξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) , распределенного согласно заданной (выбранной) совместной плотности fξ (x) = f x(1) , . . . , x(d) .Используя рассуждения подраздела 2.1 (в том числе замечание 2.2) иметод математической индукции по размерности d, несложно показатьвозможность построения d! представлений совместной плотности fξ (x):fξ (x) = fξ(i1 ) x(i1 ) fξ(i2 ) x(i2 ) x(i1 ) fξ(i3 ) x(i3 ) x(i1 ) , x(i2 ) × ...×fξ(id−1 ) x(id−1 ) x(i1 ) , .., x(id−2 ) fξ(id ) x(id ) x(i1 ) , x(i2 ) , .., x(id−1 ) , (2.10)где (i1 , . .
. , id ) – это перестановка номеров (1, . . . , d) (число таких перестановок как раз равно d!; см., например, [14]) иfξ(i1 ) x(i1 ) =ZZ...fξ x(1) , . . . , x(d) dx(i2 ) . . . dx(id ) ,fξ x(1) , .., x(d) dx(i3 ) ..dx(id )x= fξ(i2 ) xξ=x=,fξ(i1 ) x(i1 )RR. . . fξ x(1) , . .
. , x(d) dx(i4 ) . . . dx(id )(i3 ) (i1 )(i2 ) ,(2.11)xx ,x=f (i1 ) x(i1 ) f (i2 ) x(i2 ) x(i1 )Rfξ(i2 ) x(i2 ) (i1 ) (i2 ) (i1 )fξ(i3 )ξ·····..(i1 ) Rξ··25·····fξ x(1) , .., x(d) dx(id ),xx , .., x=fξ(i1 ) x(i1 ) ..fξ(id−2 ) x(id−2 ) x(i1 ) , .., x(id−3 )fξ x(1) , . . . , x(d)(id−1 ) (id ) (i1 ).x , .., x=xfξ(i1 ) x(i1 ) ..fξ(id−1 ) x(id−1 ) x(i1 ) , .., x(id−2 )Rfξ(id−1 )fξ(id )(id−1 ) (i1 )(id−2 ) Для каждого разложения (2.10) индукцией по d, используя утверждение 2.2 и замечание 2.2, несложно обосновать следующий алгоритмчисленного моделирования (реализации на компьютере) выборочного(1)(d) значения ξ 0 = ξ0 , . .
. , ξ0случайного вектора ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) .АЛГОРИТМ 2.3 (см., например, [9, 13]). 1. Моделируем выборочное(i )значение ξ0 1 компоненты ξ (i1 ) случайного вектора ξ согласно плотности fξ(i1 ) (u).(i )2. Моделируем выборочное значение ξ0 2 случайной величины ξ (i2 ) (i ) согласно плотности fξ(i2 ) uξ0 1 .(i )3. Моделируем выборочное значение ξ0 3 случайной величины ξ (i3 ) (i ) (i ) согласно плотности fξ(i3 ) uξ0 1 , ξ0 2 .········(i )····d. Моделируем выборочное значение ξ0 d случайной величины ξ (id ) (i )(i)согласно плотности fξ(id ) uξ0 1 , ..., ξ0 d−1 .Таким образом, на каждом шаге алгоритма 2.3 формирование вероятностной плотности очередной моделируемой компоненты происходитс помощью подстановки в условие соответствующей условной плотностивыборочных значений, смоделированных на предыдущих шагах.Отметим также, что выполнение пунктов алгоритмов 2.1–2.3 связаносо следующей проблемой.ПРОБЛЕМА 2.1.
Построить эффективный (экономичный) алгоритм численного моделирования (реализации на компьютере) выборочного значения ξ0 одномерной случайной величины ξ, распределеннойсогласно заданной плотности fξ (u).2.4. Использование стандартных случайных чисел αi .Алгоритм, позволяющий решить сформулированную проблему 2.1, какправило, состоит из двух шагов:1) на компьютере реализуется одно стандартное случайное(псевдослучайное) число α0 (реже – несколько стандартных случайных [псевдослучайных] чисел α1 , .
. . , αk ), представляющее собой выборочное значение стандартной случайной величины α, равно26мерно распределенной в интервале (0, 1) (обозначениеα ∈ U (0, 1)); при этом используется доступный генератор (датчик) случайных (псевдослучайных) чисел – специальная компьютерная программа (называемая в компьютерных языках RAND илиRANDOM) или устройство;2) с использованием преобразований полученного стандартного случайного (псевдослучайного) числа α0 (или значений α1 , . . . , αk ) моделируется требуемое выборочное значение ξ0 одномерной случайной величины ξ, распределенной согласно заданной плотности fξ (u).Особенности построения генераторов стандартных случайных и псевдослучайных чисел (в первую очередь, мультипликативного методавычетов и его модификаций, используемых в новосибирской школе методов численного статистического моделирования) будут представленыдалее в разделе 9.Суммируя сказанное в этом разделе, можно дать очередное определение методам Монте-Карло, определив их как науку о преобразованиях стандартной случайной величины α ∈ U (0, 1), позволяющих численно решать актуальные прикладные задачи.В связи с этим целесообразно сформулировать (напомнить) основные свойства стандартной случайной величины α.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
