1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Имеется возможность конструирования неограниченного количества элементарных плотностей. Такую возможность дает, в частности, технология последовательных (вложенных) замен (технология А), подробно представленная в [13] и далее в подразделе 14.2данного пособия.В связи с замечанием 2.5 имеет смысл рассматривать здесь лишь«знаменитые» элементарные плотности, используемые в содержательных прикладных задачах.Отметим, что в приводимых здесь и далее примерах моделируемыхтем или иным методом плотностей распределения после слова «Пример» в круглых скобках приводится индекс типа алгоритма (буквыот «А» до «Д») и оценка за такой пример (в дробных баллах от «0»до «3») семестрового домашнего задания (см. далее подраздел 14.1).В частности, буква «А» относит тот или иной пример к теме «Методобратной функции распределения».ПРИМЕР 2.1 (А; 0,5 балла; см., например, [9, 13]).
Рассмотрим экспоненциальное (показательное) распределение (см., например, [14]) сплотностьюfξ (u) = λ e−λ u , u > 0; λ > 0.(2.18)Спектр применимости этого распределения поистине огромен (см.,например, [9]). На основе этого распределения формируются пуассоновские потоки, применяемые в численных моделях теории массовогообслуживания, при решении стохастических дифференциальных уравнений, при моделировании пробегов частиц различной природы, при построении моделей прикладных случайных процессов и полей и др.Решая уравнение (2.16) для плотности (2.18)Z ξ0λ e−λ u du = α00 ,(2.19)0последовательно получаемξ 0− ln(1 − α00 ).−e−λ u = α00 , 1 − e−λ ξ0 = α00 и, наконец, ξ0 =λ0Заметим, случайная величина α = 1 − α0 равномерно распределенав интервале (0, 1) (так же, как случайная величина α0 из соотношения(2.19)).33Действительно, так как α0 ∈ (0, 1), то мы имеем Fα (x) = 0 = Fα0 (x)для x ∈ (−∞, 0] и Fα (x) = 1 = Fα0 (x) для x ∈ [1, +∞).
Наконец, дляx ∈ (0, 1) получаемFα (x) = P{1 − α0 < x} = P{α0 > 1 − x} = 1 − (1 − x) = x = Fα0 (x);здесь использовано соотношение (2.14) для α0 и для c = 1 − x, d = 1.Таким образом, случайная величина α = 1 − α0 имеет распределение(2.12).При обращении к генератору стандартных случайных чисел типаRAN D или RAN DOM , мы можем предположить, что на компьютеререализуется значение α0 = 1 − α00 ∈ U (0, 1).Таким образом, моделирующая формула для экспоненциального распределения имеет видln α0.(2.20)ξ0 = −λОписание примера 2.1 закончено.ЗАМЕЧАНИЕ 2.6. Последнее, на первый взгляд, незначительное замечание о замене (1 − α00 ) на α0 на самом деле имеет большое практическоезначение. В связи с малой скоростью сходимости метода Монте-Карлочисло n обращений к моделирующей формуле типа (2.20) бывает оченьбольшим (n 1), и небольшая экономия ε, связанная с рассматриваемойзаменой, может дать существенное уменьшение вычислительных затрат навеличину n × ε.ЗАМЕЧАНИЕ 2.7.
При практическом применении моделирующих формул в трудоемких «промышленных» расчетах следует тщательно выверять их, представляя в наиболее экономичной для компьютерных вычислений форме.Например, соотношение (2.20) может быть представлено в следующих эквивалентных (с точки зрения элементарной математики) формах:ln(1/α0 )ξ0 =или ξ0 = ln(α0 )−1/λ .λОднако с вычислительной точки зрения эти формы хуже, чем формула(2.20) (ведь операция вычитания экономичнее деления и взятия дробнойстепени).ПРИМЕР 2.2 (А; 0,5 балла; см., например, [9, 13]).
Рассмотрим степенное распределение с плотностьюfξ (u) = (λ + 1)uλ , 0 < u < 1, λ > 0.34(2.21)Распределение (2.21) используется, в частности, при построении алгоритмов дискретной суперпозиции и мажорантного метода исключения для распределения с полиномиальной плотностью (2.17) (см.
[9, 13]и пример 11.8 из подраздела 11.7 данного пособия).Решая уравнение (2.16) для плотности (2.21), получаем1/(λ+1)ξ0λ+1 = α0 или ξ0 = α0.(2.22)Описание примера 2.2 закончено.ЗАМЕЧАНИЕ 2.8. Далее будем называть распределения (2.18), (2.21)и соответствующие моделирующие формулы (2.20), (2.22) табличными(не требующими вывода для конкретных положительных значений параметра λ). Также табличными мы будем называть плотность и формулумоделирования равномерного распределения в конечном (ограниченном)интервале (a, b):fξ (u) ≡1; −∞ < a < u < b < +∞; ξ0 = a + (b − a)α0 .b−a(2.23)ЗАМЕЧАНИЕ 2.9. Для относительно сложных элементарных плотностей fξ (u) (получаемых в том числе при выполнении семестрового домашнего задания – см. раздел 14 данного пособия) при решении уравнения(2.16) для получения моделирующей формулы вида ξ0 = ψξ (α0 ) могут возникнуть ошибки (неточности).
В подавляющем числе случаев эти ошибкиможно обнаружить с помощью следующей незамысловатой процедуры.ПРОВЕРКА 2.1. Подставим в соотношение ξ0 = ψξ (α0 ), полученное в результате решения уравнения (2.16), значение α0 = 0. В этомслучае мы должны получить ξ0 = ψξ (0) = a. Соответственно, дляα0 = 1 должно получаться значение ξ0 = ψξ (1) = b (см. рис. 2.4).Студентам и специалистам, использующим методы Монте-Карло, настоятельно рекомендуется применять проверку 2.1 для выводимых ими моделирующих формул метода обратной функции распределения.Например, для простейшей формулы (2.22) проверка 2.1 при α0 = 0дает ξ0 = 01/(λ+1) = 0, а для α0 = 1 имеем ξ0 = 11/(λ+1) = 1.Для формулы (2.23) проверка 2.1 при α0=0 даетξ0 = a + (b − a) × 0 = a, а для α0 = 1 имеем ξ0 = a + (b − a) × 1 = b.Некоторые особенности имеет проверка 2.1 при наличии заменыα0 = 1 − α00 .
Здесь при α0 = 0 имеем ξ0 = b, а для α0 = 1 получаемξ0 = a.35Так, для формулы (2.20) проверка 2.1 для α0 = 0 даетξ0 = (− ln 0)/λ = +∞, а для α0 = 1 имеем ξ0 = (− ln 1)/λ = 0.2.7. Пример моделирования двумерного вектора. В связи салгоритмами 2.1–2.3 возникает следующая проблема.ПРОБЛЕМА 2.3. Выбрать ту перестановку (i1 , . . . , id ) номеров(1, . .
. , d), которая дает наиболее эффективный (экономичный) алгоритм 2.3.Нюансы этой проблемы проявляются уже в двумерном случае (примеры моделирования двумерного вектора помечаются здесь и далее буквой «Б»).ПРИМЕР 2.3 (Б; 1 балл; [9, 13]). Пусть требуется смоделировать наЭВМ выборочное значение ξ 0 = (ξ0 , η0 ) двумерного случайного вектораξ = (ξ, η), имеющего совместную плотность распределения1fξ (u, v) = ve−uv ,2u > 0, 0 < v < 2.Здесь и далее при рассмотрении двумерных векторов в примерах мы будем использовать обозначение ξ = (ξ, η) (т.
е. ξ вместо ξ (1) и η вместо ξ (2) – см. формулы (2.4)–(2.7)), чтобы не использовать лишние верхние индексы.Рассмотрим соответствующий аналог разложения (2.6), (2.7):Zfξ (u, v) = fη (v) fξ (u|v); fη (v) =fξ (u|v) =fξ (u, v)fη (v)0+∞1 −uv1vedu = , 0 < v < 2;22= ve−vu , u > 0.Функция fη (v) является табличной плотностью равномерного распределения в интервале (0, 2).
Соответствующая моделирующая формула для выборочного значения η0 случайной величины η имеет видη0 = 2α1 , где α1 ∈ U (0, 1) (см. формулу (2.23)).Функция fξ (u|η0 ) (т. е. условная плотность fξ (u|v) при фиксированном ξ = v = η0 ) также является табличной плотностью экспоненциального распределения с параметром λ = η0 (см. соотношение (2.18)),поэтому соответствующая моделирующая формула имеет вид (2.20):ξ0 = −(ln α2 )/η0 , где α2 ∈ U (0, 1).Теперь рассмотрим аналог разложения (2.4), (2.5): fξ (u, v) = fξ (u)×36×fη (v|u). Интегрируя по частям, получаемZ 21 −uv1 − (2u + 1)e−2ufξ (u) =,vedv =2u20 2fη (v|u) =u > 0;fξ (u, v)u2 ve−uv, 0 < v < 2.=fξ (u)1 − (2u + 1)e−2uДостаточно очевидно то, что обе эти плотности не являются элементарными.
Таким образом, для этого примера разложение (2.4), (2.5)оказалось хуже (в смысле применения алгоритмов 2.1 и 2.2), чем представление (2.6), (2.7). Описание примера 2.3 закончено.ЗАМЕЧАНИЕ 2.10. Содержательные примеры ситуаций, когда одноиз разложений (2.4), (2.5) или (2.6), (2.7) является «моделируемым», авторое – нет, дает технология распределенного (взвешенного) параметрадля конструирования моделируемых распределений двумерных случайныхвекторов с зависимыми компонентами (технология Б), представленная далее в подразделе 14.3 данного пособия.2.8.
О выборе плотностей распределения при численномрешении прикладных задач. Моделирование траекторийцепей Маркова. Вернемся к обсуждению проблемы 2.3.Для произвольной неотрицательной функции fξ (x), имеющей свойства плотности (1.4)–(1.6), часто ни одна из перестановок (i1 , . . . , id ),упомянутых в формулировке проблемы 2.3, не дает удовлетворительную версию алгоритма 2.3 (например, интегралы (2.11) не берутся аналитически).Однако для большинства прикладных проблем, в которых используются численные методы Монте-Карло, выбор или конструированиеплотности fξ (x) производится самим пользователем соответствующих численных схем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
