1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Составная плотность (11.13) является элементарной тогда и только тогда, когда плотности {fˆi (u)} – элемен(i)тарные (т. е. имеются моделирующие формулы ξˆ0 = ψi (α0 )).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Рассмотрим уравнение (2.16)для плотности (11.13):ξ̂0ZaZfˆξ̂ (u) du = α0 илиMξ̂0 Xapi fˆi (u)χ[ai ,bi ) (u) du = α0 .(11.14)i=1Найдем номер m такой, что α0 ∈ ∆m =hPm−1i=1pi ,Pmi=1pi . В этомслучае ξ0 ∈ [am , bm ) и уравнение (11.14) будет иметь видb1Zp1 fˆ1 (u) du + . .
. +a1Zξ0bm−1Zpm−1 fˆm−1 (u) du +am−1Zhfˆm (u) du = α0 −amb1Zξ̂0pm fˆm (u) du = α0 илиamp1 fˆ1 (u) du − . . . −a1Zbm−1ipm−1 fˆm−1 (u) du p−1mam−1(11.15)илиZξ̂0fˆm (u) du = β0 (α0 ), где β0 (α0 ) =α0 −amm−1X!pip−1m .(11.16)i=1Из утверждения 11.1 следует, что β0 (α0 ) является стандартным случайным числом, а значит (в силу элементарности плотности fˆm (u))уравнение (11.16) (как и в целом уравнение (11.14)) разрешимо относительно ξˆ0 в элементарныхфункциях и дает моделирующую формулуξˆ0 = ψm β0 (α0 ) , что и требовалось доказать.Достаточность. Производимрассуждения«от противного». Пустьхотя бы одна из плотностей fˆi (u) , например плотность fˆm (u), не является элементарной, т. е. уравнениеZ(m)ξ̂0fˆm (u) du = α0am175(11.17)(m)неразрешимо относительно верхнего предела ξˆ0для любой правойчасти α0 ∈ (0, 1).Рассмотрим уравнение (11.14).равной pm , можетhP С вероятностью,Pmm−1случиться событие α0 ∈ ∆m =i=1 pi ,i=1 pi , и тогда ξ0 ∈ [am , bm ).Повторяя выкладки (11.15), приходим к уравнению (11.16) и, учитывая,что уравнение (11.17) неразрешимо для любой правой части из (0, 1),получаем, что уравнение (11.14) в рассматриваемом случае неразрешимо и, значит, составная плотность (11.13) не является элементарной.Утверждение 11.2 доказано.Сравнивая формулы метода обратной функции распределения (11.14)–(11.16) и алгоритм 11.3, получаем следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 11.3 [9, 24].
Метод обратной функции распределения для случайной величины ξˆ с составной плотностью вида (11.13)совпадаетсмодифицированнымметодомсуперпозиции(алгоритм 11.3) с определением номера m согласно стандартному алгоритму 10.2 моделирования целочисленной случайной величины.Для небольших M утверждение 11.3 упрощает вывод формул методаобратной функции распределения для случайных величин с плотностьюраспределения вида (11.13).ПРИМЕР 11.3 (А; 2,5 балла; [9, 24]). Пусть требуется построить алгоритм моделирования выборочного значения ξˆ0 случайной величиныˆ имеющей плотность распределения видаξ,fˆξ̂ (u) = C uν−1 χ(0,1) (u) + e−λ u χ[1,∞) (u) , u > 0; 0 < ν < 1, λ > 0,(11.18)где C = λ/(λ ν −1 + e−λ ).Распределение (11.18) будет использовано в разделе 12 при построении мажорантного метода исключения для гамма-распределения (см.алгоритм 12.4).Выделим вероятности (см.
замечание 11.1):Z 1λλ ν −1=;p1 =Cuν−1 du =−1λ ν + e−λλ + ν e−λ0Z +∞e−λ−e−λ u +∞p2 ==.Ce−λ u du =λ ν −1 + e−λ 1λ ν −1 + e−λ1Перепишем плотность (11.18) в виде (11.13):fˆξ̂ (u) = p1 × fˆ1 (u) × χ(0,1) (u) + p2 × fˆ2 (u) × χ[1,∞) (u).176Здесь функция fˆ1 (u) = νuν−1 , 0 < u < 1 является степенной плотностью (2.21) при λ = ν − 1; соответствующая моделирующая формула(1)1/νимеет вид (2.22): ξˆ0 = α̃0 , α̃0 ∈ U (0, 1).Функция fˆ2 (u) = λ e−λu /e−λ , u ≥ 1 является плотностью усеченного экспоненциального распределения. По аналогии с примером 2.1(2)несложно получить моделирующую формулу ξ0 = 1 − ln(1 − α̃0 )/λ.Алгоритм 11.3 выглядит здесь следующим образом.АЛГОРИТМ 11.5. Моделируем стандартное случайное числоα0 ∈ U (0, 1).Если α0 < p1 = λ/(λ + ν e−λ ), то β0 (α0 ) = α0 /p1 и"ξ0 =1/νβ0 (α0 )α0 λ + ν e−λ=λ #1/ν,иначе β0 (α0 ) = (α0 − p1 )/p2 иln 1 − β0 (α0 )ln (1 − α0 ) e−λ + λ ν −1ξ0 = 1 −=−.λλ(11.19)Проверка 2.1 для α0 = 0 дает ξ0 = 0, для α0 = p1 = λ/(λ + ν e−λ )получаем ξ0 = 1, а для α0 = 1 имеем ξ0 = +∞.Заметим, что в отличие от формулы (2.20) замена α00 = 1 − α0 в последнем соотношении невозможна, так как формула (11.19) верна только при условии α0 ≥ p1 .
Описание примера 11.3 закончено.Для случая M 1 (вплоть до M = ∞) использование вместо метода обратной функции распределения (11.14)–(11.16) эквивалентного(согласно утверждению 11.3) алгоритма 11.3 является по сути необходимым из-за возможности использования существенно более экономичного, чем алгоритм 10.2, метода выбора номера η0 = m (алгоритмы 10.5–10.7 и др.).ПРИМЕР 11.4 (см., например, [9, 24]). Пусть требуется построитьалгоритм моделирования выборочного значения ξˆ0 случайной величиныˆ имеющей кусочно-постоянную плотность распределенияξ,fˆξ̂ (u) = vi , ai ≤ u < bi ; i = 1, .
. . , M ;a = a1 < b1 = a2 < b2 < . . . < bM −1 = aM < bM = b;значения {vi } в формуле (11.20) положительны.177(11.20)Вычислим вероятностиZ bivi du = vi bi − ai ; i = 1, . . . , Mpi =(11.21)aiи представим плотность (11.20) в виде (11.13) с вероятностями (11.21)и частными плотностями равномерного распределения1(i)и моделирующими формулами ξˆ0 = ai + bi − ai α̃0 ;fˆi (u) ≡bi − ai(11.22)см.
замечание 2.8 и табличную формулу (2.23).АЛГОРИТМ 11.6. 1. Моделируем стандартное случайное числоα0 ∈ U (0, 1) и, используя наиболее эффективный (экономичный) из методов моделирования целочисленной случайной величины с распределением (10.5), (11.21) (алгоритмы 10.2, 10.5 – 10.8), получаем значениеη0 = m.2. Моделируем выборочное значение ξˆ0 по формуле вида (11.22):ξˆ0 = am + bm − am β0 (α0 ),Pm−1 где β0 (α0 ) = α0 − i=1 pi p−1m для алгоритмов 10.2, 10.6, 10.7 иβ0 (α0 ) = M α0 − m + 1 для алгоритмов 10.5, 10.8 (см. замечание 11.3).Описание примера 11.4 закончено.Отметим, что идеология примера 11.4 является основой построения «универсального» алгоритма (типа алгоритма 11.6) для моделирования выборочного значения ξ0 одномерной случайной величины ξ,распределенной на конечном интервале (a, b) c произвольной кусочнонепрерывной плотностью fξ (u).
Функция fξ (u) может быть приближенафункцией (11.20) с vi = fξ (ai ), и для M 1 алгоритм 11.6 будет даватьвыборочное значение ξˆ0 , близкое по распределению к ξ0 .Определенным «пределом» при увеличении M такого приближенияможет стать примитивное табулирование (дискретизация) непрерывного распределения с плотностью fξ (u) (при этом пункт 2 в соответствующем алгоритме 11.6 пропадает).Рассмотрим также следующий аналог примера 11.4.ПРИМЕР 11.5 (см., например, [9, 24]).
Пусть требуется построитьалгоритм моделирования выборочного значения ξˆ0 случайной величиныˆ имеющей кусочно-линейную плотность распределенияξ,vi − vi−1, ai ≤ u < bi ; i = 1, . . . , M ; (11.23)fˆξ̂ (u) = vi−1 + (u − ai )bi − a i178a = a1 < b1 = a2 < b2 < . . . < bM −1 = aM < bM = b;значения {vi } в формуле (11.23) положительны.Вычислим вероятности (это площади трапеций с основаниями vi−1и vi и высотой bi − ai ):!Z bivi−1 + vi bi − aivi − vi−1vi−1 +(u−ai )du =; i = 1, .
. . , M.pi =bi − ai2ai(11.24)Представим плотность (11.23) в виде (11.13) с вероятностями (11.24)и частными линейными плотностями2 vi−1 bi − vi ai2 vi − vi−1ˆfi (u) = Ai u+Bi ; Ai =2 , B i =2 .vi−1 + vi bi − aivi−1 + vi bi − aiВыведем формулу метода обратной функции распределения для плотности fˆi (u):Z(i)ξ̂0ai u2ξ̂0(i)= α̃0 ,Ai u + Bi du = α̃0 , или Ai+ Bi u 2ai(i)или Ai ξˆ02(i)+ 2Bi ξˆ0 − Ai a2i − 2Bi ai − 2α̃0 = 0,p−Bi + Bi2 + A2i a2i + 2Ai Bi ai + 2Ai α̃0(i)ˆили ξ0 =Aiq2−Bi +Bi + Ai ai + 2Ai α̃0(i)или ξˆ0 =, α̃0 ∈ U (0, 1).(11.25)AiАЛГОРИТМ 11.7.
1. Моделируем стандартное случайное число α0 ∈U (0, 1) и, используя наиболее эффективный (экономичный) из методовмоделирования целочисленной случайной величины с распределением(10.5), (11.24) (алгоритмы 10.2, 10.5 – 10.8), получаем значение η0 = m.2. Моделируем выборочное значение ξˆ0 по формуле вида (11.25):q2Bm + Am am + 2Am β0 (α0 )−Bm +,ξˆ0 =AmPm−1 где β0 (α0 ) = α0 − i=1 pi p−1m для алгоритмов 10.2, 10.6, 10.7 иβ0 (α0 ) = M α0 − m + 1 для алгоритмов 10.5, 10.8 (см.
замечание 11.3).17911.4.Плотностираспределения,пропорциональныеприближениям неотрицательных функций. «Моделируемые»функциональные базисы. В ряде приложений алгоритмов численного статистического моделирования нужно решать следующую задачу.ПРОБЛЕМА 11.1.
Построить алгоритм численного моделированиявыборочного значения ξ 0 случайного вектора ξ, имеющего плотностьраспределенияfξ (u) = C L(M ) g(u),1; g(u) ≥ 0.(M ) g(v) dvLXC=R(11.26)В формуле (11.26) L(M ) g обозначает аппроксимацию (или интерполяцию) функции gg(u) ≈ L(M ) g(u) =MXw(i) χ(i) (u),(11.27)i=1на компактном множестве X ⊂ Rd (см. также формулу (8.27)).«Базисные»(какправило,полиномиальные)функцииΞ(M ) = {χ(1) , . .
. , χ(M ) } и коэффициенты W (M ) = {w(1) , . . . , w(M ) }определенным образом связаны с узлами сетки V (M ) = {v1 , . . . , vM }(см. также формулу (8.30)).В частности, коэффициенты W (M ) являются, как правило, комбинациями значений {g(v1 ), . . . , g(vM )}; чаще всего w(i) = g(vi ) (см. формулу (8.30)); реже в качестве w(i) рассматриваются функционалы (g, χ(i) )(см. формулу (8.25)).Заметим, что кусочно-постоянная и кусочно-линейная плотности(11.20) и (11.23) (из примеров 11.4 и 11.5) являются частными случаями плотности вида (11.26), (11.27), где w(i) = g(ai ) и χ(i) (u) = fˆi (u)(т.
е. речь идет о кусочно-постоянном и кусочно линейном приближении неотрицательной функции одного переменного g(x)).В качестве примера ситуаций, где требуется решение проблемы 11.1,можно упомянуть [17, 23]:– приближение «сложных» плотностей, т. е. замена «немоделируемых» плотностей на близкие «моделируемые»;– построение эффективных дискретно-стохастических алгоритмоввыборки по важности для вычисления многократного интеграла (здесьg(u) из соотношений (11.26), (11.27) является модулем подынтегральнойфункции);180– практически полезное использование гистограмм и полигонов частот в качестве плотностей для моделирования тех или иных параметров прикладных моделей (здесь пригодны приближения (11.26),(11.27) в виде (11.20) и (11.23));– построение мажорант в виде сеточных приближений «сверху»исходной «немоделируемой» плотности в мажорантном методе исключения (см. следующие подразделы 11.5, 11.6) и др.Пусть для плотности (11.26), (11.27) выполнены соотношенияχ(i) (u) ≥ 0 для u ∈ Rd и w(i) ≥ 0,i = 1, .
. . , M.(11.28)Тогда можно записать эту плотность в видеfξ (u) =MXi=1pi fi (u);χ(i) (u),fi (u) =YiZYi =χ(i) (w) dw,pi = Cw(i) Yi .(11.29)Выберем функциональный базис Ξ(M ) таким образом, что для случайных величин ξ (i) , распределенных согласно плотностям {fi } из соотношения (11.29), имеются эффективные алгоритмы численного статистического моделирования. Тогда возникает следующий алгоритм метода суперпозиции (см. алгоритм 11.1).АЛГОРИТМ 11.8. 1. Используя наиболее эффективный (экономичный) из алгоритмов моделирования целочисленной случайной величины с распределением (10.5), (11.29) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
