1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если Λ1 , . . . , Λn – разбиение спектрального пространства Λ на простые пространственноодносвязные области такие, что Λi ∩Λj = ∅ при i 6= j; Λn = {|λ| ≥ tn },а Λ1 , . . . , Λn−1 разбивают область {|λ| < tn } так, что при n → ∞ одновременно выполненоtn → +∞ иmax1≤k≤n−1то имеет место соотношениеZn Xi t,λedΨ(λ) = l.i.m.n→∞eiΛdiam Λk → 0,t,λkEei t,λdΨ(λ) −Λn Xei t,λk(13.21)Λkk=1"ZdΨ(λ) илиZ(13.20)Z #2dΨ(λ)→ 0 при n → ∞;Λkk=1здесь λk ∈ Λk .Утверждение 13.4 доказывается с помощью предельного переходаот случая конечного спектра (который соответствует стохастическойинтегральной сумме из правой части равенства (13.21)).Утверждение 13.4 наводит на мысль использовать в качествечисленной модели однородного случайного поля ξ(x) с нулевымсредним и единичной дисперсией допредельную интегральную суммуZnXξ (x) =θ ei t,λk , θ =dΨ(λ).(13.22)nkkΛkk=1226Модель такого вида мы назовем спектральной.Обычно спектральная модель (13.22) используется для моделирования только гауссовских случайных полей.
Это связано с тем, что моделируемые на ЭВМ выборочные значения θk из (13.22) независимы, ав этом случае при выполнении условий (13.20) конечномерные распределения модели (13.22) сходятся к гауссовским распределениям вида(13.9) при n → ∞ (это следует из центральной предельной теоремы дляслучайных функций [38, 39]).Поэтому уже в допредельных выражениях вида (13.22) берутZ√ (0,1)f (λ) dλ.(13.23)θk = pk ξ˜k , pk =Λk(0,1)ξ˜kЗдесь– независимые стандартные нормальные комплексные случайные величины.Для вещественнозначных функций вида (13.19) аналог модели (13.22),(13.23) имеет видξn (x) =nX√ 1(0,1)2(0,1)pk ξkcos(x, λk ) + ξksin(x, λk ) ; λk ∈ Λk .
(13.24)k=1Заметим также, что если для моделирования пары значенийиспользовать формулы Бокса – Мюллера (13.4), то соотношение (13.24) приобретает следующий, удобный для непосредственныхвычислений на ЭВМ, вид:1(0,1) 2(0,1)ξk, ξkξn (x) =nX(−2 pk ln αk,1 )1/2 cos (λk , x) − 2 π αk,2 ; αk,1 , αk,2 ∈ U (0, 1).k=1(13.25)Модели (13.22)–(13.25) воспроизводят одномерное распределение:при фиксированном x0 случайная величина ξn (x0 ) имеет гауссовскоераспределение (ведь выражения (13.22), (13.24) представляют собой линейные комбинации стандартных гауссовских случайных величин).Несложно убедиться в том, что Eξn (x0 ) = 0 и Dξn (x0 ) = 1.Многомерные распределения полей (13.22)–(13.25) являются гауссовскими, однако эти распределения не совпадают с соответствующими конечномерными распределениями поля ξ(x).
Можно лишь утверждать, что при n → ∞ и pk → 0 все конечномерные распределениямоделей (13.22)–(13.25) сходятся к соответствующим распределениямгауссовского случайного поля ξ(x) [9, 26].227В качестве иллюстрации несовпадения конечномерных распределений полей ξn (x) и ξ(x) можно использовать соотношения (13.16) иRξn (u) =nXpk ei u,λk,k=1показывающие, что характеристики двумерных распределений этих полей – корреляционные функции Rξn (u) и R(u), вообще говоря, не равны.Тем не менее, имеется прием (предложенный в свое времяГ.
А. Михайловым), позволяющий добиться совпадения корреляционныхфункций Rξn (u) и R(u).В каждом элементе Λk разбиения спектрального пространства реализуем выборочное значение λk , распределенное согласно усеченномураспределению:f (λ).(13.26)λk ∼ fk (λ) =pkДля полученного набора {λ1 , . . . , λn } моделируем траекторию случайного поля ξn (x) по формуле (13.22).Соотношения (13.22), (13.26) определяют рандомизированнуюспектральную модель однородного гауссовского случайногополя.Учитывая соотношение (13.26) и описанные выше свойства случайной меры Ψ(λ) (в частности, соотношение (13.18)), имеем:!∗ ZZnXRξn (x1 , x2 ) = Eλ,Ψ ei λk ,x1 −i λj ,x2dΨ(λ)dΨ(λ) =Λkk,j=1= Eλ,ΨnXi=1 Zλk ,x1 −x2eΛkk=1ZΛk2dΨ(λ) ×!n ZXf (λ)dλ =ei λ,x1 −x2 f (λ) dλ =ei λ,x1 −x2pkΛkk=1 ΛkZ=ei λ,x1 −x2 f (λ) dλ = R(x1 − x2 ).Z×2 ! Xn=EΨdΨ(λ)ΛjΛУсловное одномерное распределение рандомизированной модели(13.22), (13.26) при фиксированных значениях {λ1 , . .
. , λn } является228стандартным гауссовским; следовательно, одномерное распределениерандомизированного поля ξn (x) тоже стандартно.Аналогичные соображения показывают, что многомерные распределения рандомизированной модели (13.22), (13.26) не являются гауссовскими. Поле ξn (x) однородно, но не эргодично. Эти недостатки ослабевают при n → ∞ и при равномерном измельчении спектрального пространства Λ.Отметим также, что в книге [40] представлены содержательные примеры использования спектральных моделей вида (13.24), (13.25) (в частности, для моделирования морской поверхности, кучевой облачности идр.).14. Технологии конструированиямоделируемых вероятностных плотностей.Экзаменационные и домашние задания14.1.
Формирование «банка» моделируемых плотностей.Экзаменационные задачи. Семестровое домашнее задание.Возвращаясь к рассуждениям подраздела 2.8, отметим, что при использовании практически всех алгоритмов численного статистическогомоделирования происходит выбор или конструирование моделируемыхвероятностных распределений.В связи с этим целесообразно заняться созданием «банка» (объемного набора) распределений, допускающих построение эффективных алгоритмов численного моделирования.Формированию этого набора могут существенно помочь представленные в этом разделе технологии конструирования моделируемых вероятностных плотностей.Исторически эти технологии разрабатывались для создания экзаменационных задач данного курса.
Задачи создавались по пяти темам:А) «Метод обратной функции распределения»,Б) «Моделирование двумерного вектора»,В) «Метод дискретной суперпозиции»,Г) «Мажорантный метод исключения»,Д) «Выборка по важности».Кроме того, опыт преподавания теории методов Монте-Карло на физическом и механико-математическом факультетах Новосибирского государственного университета показал полезность выполнения студен229тами следующего творческого домашнего задания по перечисленнымтемам А–Д.СЕМЕСТРОВОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ [13, 41].
Приведите kпримеров d-мерных случайных величин, выборочные значения которыхцелесообразно получать:А) методом обратной функции распределения, k = 2, d = 1;Б) стандартным методом моделирования многомерной случайнойвеличины, k = 2, d = 2;В.1) методом интегральной суперпозиции, k = 1, d = 1;В.2) методом дискретной суперпозиции, k = 2, d = 1;Г.1) мажорантным методом исключения, k = 2, d = 1;Г.2) мажорантным методом исключения, k = 1, d = 2.Опишите соответствующие алгоритмы, а для пунктов Г.1, Г.2 оцените сверху трудоемкость построенных алгоритмов.Д) Приведите три примера четырехкратных интегралов, которые целесообразно вычислять методом Монте-Карло с использованиемвыборки по важности.
Оцените сверху дисперсию соответствующихстохастических оценок метода Монте-Карло.Примеры выполнения задания и рекомендации по конструированиютаких примеров приведены далее в материалах данного раздела 14.Задачи оцениваются от нуля до трех баллов (таким образом, максимальный суммарный балл за все задание – 39). Примеры такого оценивания приведены в тексте данного пособия после заголовков примерови задач.
Студенты, набравшие 20 и более баллов, заслуживают поощрения в конце семестра (допуск до досрочного экзамена, отсутствие задачи в экзаменационном билете и т. п.). Лучшие примеры, составленныестудентами, могут быть использованы преподавателем при подготовкеэкзаменационных задач.Если курс подразумевает семинары, то содержание данного разделацелесообразно обсуждать на этих семинарах (в связи с этим материалраздела 14 дан «с избытком» – по объему больше того, что можно разобрать за два академических часа). Возможный план таких семинаровприведен в приложении 3. Особо отметим, что целесообразным является организация одного из семинаров в компьютерном классе с цельюизучения «правильности» полученных студентами в ходе выполнениядомашнего задания моделируемых распределений (с помощью построения гистограмм этих распределений).23014.2. Технология последовательных (вложенных) замен.Решение и конструирование задач по теме «Метод обратнойфункции распределения».
Первым делом рассмотрим возможностиконструирования элементарных одномерных плотностей fξ (u) непрерывной случайной величины ξ ∈ (a, b) (см. подраздел 2.6 данного пособия), для которых уравнениеZ ξ0fξ (u) du = α0 , α0 ∈ U (0, 1)(14.1)a(см. также соотношение (2.16)) разрешимо относительно верхнего предела интеграла ξ0 в элементарных функциях:ξ0 = ψξ (α0 ),(14.2)где ψξ (.) – композиция элементарных функций или преобразований, эффективно реализуемых на ЭВМ, а α0 ∈ U (0, 1) – стандартное случайноечисло.
Здесь возможно эффективное применение следующей технологии последовательных (вложенных) замен.ТЕХНОЛОГИЯ А [9, 13]. Пусть fη (v) – плотность случайной величины η, имеющей элементарное распределение в интервале (c, d), т. е.из соотношения вида (14.1)Z η0fη (v) dv = α0 , α0 ∈ U (0, 1)cдля соответствующего выборочного значения η0 случайной величиныη можно получить формулу вида (14.2): η0 = ψη (α0 ), где ψη (w) – простая композиция элементарных функций.Рассмотрим взаимно-однозначное преобразование, задаваемое монотонно возрастающей дифференцируемой функцией ϕ(u) ↑ и переводящее интервал (a, b) в интервал (c, d); при этом ϕ(a) = c, ϕ(b) = d.Полагаем также, что саму функцию ϕ(u), ее производную ϕ0 (u) и обратную к функцию ϕ−1 (y) можно представить в виде простых композиций элементарных функций.Пусть случайная величина ξ имеет плотность распределенияfξ (u) = fη (ϕ(u)) ϕ0 (u),u ∈ (a, b).(14.3)При сделанных выше предположениях можно утверждать, чтоfξ (u) является плотностью элементарного распределения, т.
е. уравнение (14.1) разрешимо относительно ξ0 в элементарных функциях,и справедлива формула ξ0 = ϕ−1 [ψη (α0 )].231Действительно, записывая уравнение (14.1) для плотности (14.3),имеемZ ξ0Z ϕ(ξ0 )0fη (ϕ(u)) ϕ (u) du = α0 , илиfη (v) dv = α0 ,aϕ(a)или ϕ(ξ0 ) = ψη (α0 ), или ξ0 = ϕ−1 (ψη (α0 )).(14.4)Название технология последовательных (вложенных) замен длятехнологии А здесь связано с тем, что, полученную плотность (14.3)можно взять в качестве исходной плотности fη (v) и осуществить ещеодно взаимно-однозначное преобразование типа ϕ(u). С помощью таких вложенных замен можно получать неограниченное количество новых плотностей элементарных распределений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
