1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 39
Текст из файла (страница 39)
приведенные здесьпримеры, а также замечание 2.5).Заметим, что при обосновании элементарности плотности (14.3) используется по сути фрагмент доказательства одномерной версии утверждения 6.2 (теоремы о замене случайных переменных).ЗАМЕЧАНИЕ 14.1. При применении технологии А можно применятьне возрастающую, а убывающую функцию ϕ(x) ↓: (a, b) → (c, d), длякоторой ϕ(a) = d, ϕ(b) = c. При этом аналог плотности (14.3) строится поформулеfξ (u) = fη (ϕ(u)) |ϕ0 (u)|, u ∈ (a, b),(14.5)а аналог выкладок, приводящих к моделирующей формуле (14.4), выглядит следующим образом:Z ξ0Z ϕ(a)0fη (ϕ(u)) |ϕ (u)| du = α0 , илиfη (v) dv = α0 , илиaZ1−ϕ(ξ0 )ϕ(ξ0 )fη (v) dv = α0 , или ϕ(ξ0 ) = ψη (1−α0 ), или ξ0 = ϕ−1 (ψη (α00 )),c(14.6)где α00 = 1 − α0 .Иллюстрацией применения технологии А является выбор плотностиfµ(m) (u) =1 − c203/22 (1 + c20 − 2 c0 u)при u, c0 ∈ (−1, +1)(14.7)случайного косинуса угла рассеяния µ(m) в индикатрисе Хеньи – Гринстейна (см.
подраздел 6.5 и формулу (6.44)). Здесь исходным является232аналог усеченного распределения Парето с плотностьюfη (v) = cs ds /(ds − cs ) sv −s−1 , 0 < c < v < d,s>0при c = (1−|c0 |)2 , d = (1+|c0 |)2 , s = 1/2 (для классического распределения Паретоc = 1, d = +∞) и c моделирующей формулойpη0 = cd/ s ds − (ds − cs )α0 . Использована замена v = ϕ(u) = 1+c20 −2c0 u,приводящая к плотности (14.7) и моделирующей формуле"2 #211−c(m)0µ0 =1 + c20 −,2 c02 c0 α 0 + 1 − c0см. подраздел 6.5.Продемонстрируем еще один пример применения технологии А.ПРИМЕР А1 (1 балл; [9, 13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) = exp u × exp(− exp u), −∞ < u < +∞.(14.8)Это плотность экстремального (точнее, минимального) распределения (см., например, [35]), описывающая одно из трех возможных асимптотических распределений линейных комбинаций видаan min η (1) , .
. . , η (n) + bn(14.9)при an 6= 0, n → ∞; здесь an , bn – числовые последовательности, аη (i) – независимые одинаково распределенные случайные величины.Выведем моделирующую формулу для выборочного значения ξ0 . Решая уравнение (14.1) для плотности (14.8), последовательно получаем:Zξ0Zexp u exp(− exp u) du = α0 ,−∞exp ξ0exp(−v) dv = α0 ,0− exp(− exp ξ0 ) + 1 = α0 и, наконец, ξ0 = ln(− ln α00 ),(14.10)где α00 = 1 − α0 .В этом разделе, как и ранее, мы будем следовать замечанию 2.9 идля каждой формулы, полученной методом обратной функции распределения (кроме табличных – см. замечание 2.8) проводить проверку 2.1, связанную с подстановкой в формулу вида (14.2)233α0 = 0 (при этом должно получиться ξ0 = a) и α0 = 1 (при этом должнополучиться ξ0 = b).В частности, для полученной в этом примере формулы (14.10) проверка 2.1 при α0 = 0 дает α00 = 1 и ξ0 = ln(− ln 1) = −∞, а при α0 = 1имеем α00 = 0 и ξ0 = ln(− ln 0) = +∞.Применение технологии А для плотности (14.8) можно описать следующим образом.
Исходным являлось экспоненциальное распределение(2.18) для случая λ = 1, т. е. fη (v) = e−v , v > 0; соответствующая моделирующая формула имеет вид (2.20): η0 = − ln α00 . Затем использованазамена v = ϕ(u) = eu , −∞ < u < +∞.Заметим также, что два других (отличных от (14.8)) возможныхасимптотических распределения линейных комбинаций вида (14.9) (см.,например, [35]) также являются элементарными. Это распределение Вейбулла с плотностьюfξ(1) (u) = c uc−1 exp(−uc ), u > 0, c > 0(14.11)(1)и моделирующей формулой ξ0 = (− ln α0 )1/c , а также распределение сплотностьюfξ(2) (u) = c (−u)c−1 exp(−(−u)c ), u < 0, c > 0(2)(14.12)и моделирующей формулой ξ0 = −(− ln α0 )1/c .Применение технологии А для плотностей (14.11) и (14.12) можно описать следующим образом.
Исходным, как и для распределенияс плотностью (14.8), являлось экспоненциальное распределение (2.18):fη (v) = e−v , v > 0 с моделирующей формулой (2.20): η0 = − ln α0 . Затем использованы замены: для плотности (14.11) v = ϕ(u) = uc , u > 0,а для плотности (14.12) v = ϕ(u) = (−u)c , u < 0. Описание примера А1закончено.Теперь разберем экзаменационные задачи по теме «Методобратной функции распределения». Эти задачи сконструированысогласно технологии А.
Соответственно, при их решении нужно найтифункцию ϕ(u), определяющую нужную замену переменных, и проделать выкладки вида (14.4) или (14.6). Окончательные моделирующиеформулы следует проверять (как минимум с помощью проверки 2.1 –см. замечание 2.9), а также представлять в наиболее экономичном длярасчетов виде (см. замечания 2.6, 2.7).ПРИМЕР А2 (1,5 балла).
Рассмотрим характерный пример экзаменационной задачи.234ЗАДАЧА А1(1). Сформулируйте метод обратной функции распределения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияπ(14.13)fξ (u) = 3 sin 2u sin4 u, 0 < u < .2РЕШЕНИЕ. Преобразуя соответствующее уравнение (14.1) для плотности (14.13), последовательно получаемZξ04ξ0Z3 sin 2u sin u du = α0 ,00 ξ06 sin5 u cos u du = α0 , sin6 u = α0 ,0√6sin6 ξ0 = α0 и, наконец, ξ0 = arcsin α0 .√Проверка2.1 при α0 = 0 дает ξ0 = arcsin 6 0 = 0, а при α0 = 1 имеем√ξ0 = arcsin 6 1 = π/2.
Решение задачи А1(1) закончено.Применение технологии А для плотности (14.13) можно описать следующим образом. Исходным являлось степенное распределение (2.21):√fη (v) = 6v 5 ; 0 < v < 1 с моделирующей формулой (2.22): η0 = 6 α0 , азатем использовано преобразование, описываемое возрастающей функцией ϕ(u) ↑= sin u; 0 < u < π/2. Кроме того, использована формуладвойного угла sin 2u = 2 sin u cos u.Рассмотрим также следующий аналог задачи А1(1).ЗАДАЧА А1(2) [13]. Сформулируйте метод обратной функции распределения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияπfξ (u) = 3 sin 2u cos4 u, 0 < u < .(14.14)2РЕШЕНИЕ.
Преобразуя соответствующее уравнение (14.1) для плотности (14.14), последовательно получаемZ0ξ03 sin 2u cos4 u du = α0 ,Z0ξ0 ξ06 cos5 u sin u du = α0 , − cos6 u = α0 ,0α00 , где α00 = 1 − α0 .√Проверка 2.1 при α0 = 0 дает α00 √= 1 и ξ0 = arccos 6 1 = 0, а приα0 = 1 имеем α00 = 0 и ξ0 = arccos 6 0 = π/2.
Решение задачи А1(2)закончено.cos6 ξ0 = 1 − α0 и, наконец, ξ0 = arccos235p6Применение технологии А для плотности (14.14) практически полностью аналогично задаче А1(1), только на сей раз использована убывающая функция ϕ(u) ↓= cos u; 0 < u < π/2. Таким образом, задача А1(2) является иллюстрацией для замечания 14.1 и соответствующих формул (14.5), (14.6). Описание примера А2 закончено.ПРИМЕР А3 (1,5 балла). Рассмотрим еще один пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА А2 [13].
Сформулируйте метод обратной функции распределения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения1e5 ln4 5u,<u< .(14.15)fξ (u) =u55РЕШЕНИЕ. Преобразуя соответствующее уравнение (14.1) для плотности (14.15), последовательно получаемZξ01/55 ln4 5u du= α0 ,uZ15ξ0 ξ0= α0 ,5 ln4 w d(ln w) = α0 , ln5 5u1/55ln 5ξ0 = α0 , и, наконец, ξ0 =√5e√5α05.Проверка 2.1 при α0 = 0 дает ξ0 = e 0 5 = 1/5, а при α0 = 1 имеем√5ξ0 = e 1 5 = e/5.
Решение задачи А3 закончено.Применение технологии А для плотности (14.15) можно описать следующим образом. Исходным являлось степенное распределение (2.21):√fη (v) = 5v 4 ; 0 < v < 1 с моделирующей формулой (2.22): η0 = 5 α0 ,а затем использовано преобразование, описываемое функциейϕ(u) = ln 5u; 0 < u < e/5. Описание примера А3 закончено.ПРИМЕР А4 (1,5 балла). Рассмотрим заключительный пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА А3 [13].
Сформулируйте метод обратной функции распределения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения√4u3fξ (u) = √, 0 < u < 2.(14.16)44u + 9236РЕШЕНИЕ. Преобразуя соответствующее уравнение (14.1) для плотности (14.16), последовательно получаем√dw4u4 + 9 ξ0√ = α0 , = α0 ,2w090rqq24 (2α0 + 3) − 94ξ04 + 9 = 2α0 + 3, и, наконец, ξ0 == 4 α02 + 3α0 .4√42Проверка√ 2.1 при α0 =√0 дает ξ0 = 0 + 3 × 0 = 0, а при α0 = 1имеем ξ0 = 4 12 + 3 × 1 = 2. Решение задачи А3 закончено.Применение технологии А для плотности (14.16) можно описать следующим образом.Исходным являлось степенное распределение√fη (v) = 1/(4 v); 9 < v < 25 с моделирующей формулой η0 = (2α0 + 3)2 ,а затем использовано √преобразование, описываемое функциейϕ(u) = 4u4 + 9; 0 < u < 1/ 2.
Описание примера А4 закончено.Теперь обсудим выполнение пункта А семестрового домашнего задания (СДЗ). Можно заметить, что приводимые до этого примеры по этому пункту – примеры 2.1, 2.2, 11.7, А1–А4 (за исключением плотности (14.7) и соответствующей ей моделирующей формулы) –имели относительно низкие оценки СДЗ. Причина в том, что соответствующие примеры представляли либо табличные плотности (как впримерах 2.1, 2.2 – см. замечание 2.8), либо экзаменационные задачи(как в примерах А2–А4).Важными при выполнении СДЗ являются следующие соображения.ЗАМЕЧАНИЕ 14.2 [13] При выполнении СДЗ элементарные плотности нужны не только в пункте А, непосредственно посвященном методу обратной функции распределения, но и во всех остальных пунктах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
