Главная » Просмотр файлов » 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b

1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 41

Файл №844202 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (Войтишек - Лекции по численным методам Монте-Карло) 41 страница1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202) страница 412021-07-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

подраздел 2.7 данного пособия). Здесь плотностьfξ (u; λ) = λe−λu , u > 0, представляет собой табличную экспоненциальную плотность (2.18) с моделирующей формулой (2.20). Также табличной является и плотность fη (v) ≡ 1/2; v ∈ (0, 2) ⊂ (0, +∞) (этоплотность равномерного распределения (2.23)). Соответствующая совместная плотность (14.25) имеет вид (14.23).Соответствующая версия алгоритма(14.24) имеет следующий простой вид: η0 = 2α1 ; ξ0 = − ln α2 η0 . Представление (14.19) для плотности (14.25) не дает эффективного (экономичного) алгоритма моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) (подробности см. в описаниипримера 2.3).Отметим, что технология Б активно используется на практике привыборе переходных функций прикладных цепей Маркова (см., в частности, рассуждения из раздела 6 данного пособия).Теперь разберем экзаменационные задачи по теме «Моделирование двумерного вектора».

Эти задачи сконструированы согласно технологии Б или ее аналогу из замечания 14.3.ЗАМЕЧАНИЕ 14.4. При решении экзаменационных задач по теме«Моделирование двумерного вектора» следует понять, какое из представлений данной в задаче совместной плотности f(ξ,η) (u, v) – (14.19) или(14.20) – дает эффективный алгоритм моделирования. Это понимание тесно связано с ответом вопрос «По какой переменной функция f(ξ,η) (u, v)может быть проинтегрирована аналитически?», ответ на которыйвполне очевиден.Можно отметить, что в выбранном представлении (14.19) или (14.20)одна плотность, как правило, является табличной (с точностью до обозначений параметров λ, a, b) – см. замечание 2.8; здесь можно использовать формулы (2.20), (2.22), (2.23), не представляя преобразованиясоответствующего уравнения (14.1) и результаты проверки 2.1.ПРИМЕР Б1 (1,5 балла). Рассмотрим характерный пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА Б1 [13]. Сформулируйте стандартный метод моделирования случайного вектора и продемонстрируйте его на примере дву-243мерного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределенияf(ξ,η) (u, v) =e−4uv,v4u > 0,v>1.2(14.26)РЕШЕНИЕ.

Согласно замечанию 14.4, нужно определить, какое изпредставлений данной плотности f(ξ,η) (u, v) из соотношения (14.26) даетэффективный алгоритм моделирования. Очевидно, что интегрированиеэтой функции по переменной v затруднено, и поэтому представление(14.19) не дает простых алгоритмов моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) случайного вектора (ξ, η).Рассмотрим представление (14.20). ИмеемZfη (v) =0+∞+∞11e−4uv du−4vu = 5,=×(−e)v44v 54v0fξ (u|v) =f(ξ,η) (u, v)= 4ve−4vu ,fη (v)v>1,2u > 0.Выведем формулу метода обратной функции распределения для компоненты η.

Преобразуя соответствующее уравнение (14.1) (см. такжесоотношение (2.16)), последовательно получаем:Z η0dv11 η01= α1 ,;=α,−= 1−α1 и, наконец, η0 =1405416 v 1/216η02(α1 )1/41/2 4vздесь α10 = 1 − α1 . Проверка 2.1 при α1 = 0 дает α10 = 1 и η0 = 1/2, апри α1 = 1 имеем α10 = 0 и η0 = +∞.Для моделирования выборочного значения ξ0 компоненты ξ используем табличную формулу типа (2.20) (см. пример 2.1 и замечание 2.8):ξ0 = −(ln α2 )/(4η0 ). Решение задачи Б1 закончено.При конструировании плотности (14.26) использована версия технологии Б из замечания 14.3: для компоненты ξ была выбрана экспоненциальная плотность (2.18) с параметром 4λ вида fξ (u; λ) = 4λe−4λu ,u, λ > 0, а для компоненты η, отражающей рандомизацию параметраλ, взята плотность fη (v) = 1/(4v 5 ), v ∈ (1/2, +∞) ⊂ (0, +∞). Описаниепримера Б1 закончено.ПРИМЕР Б2 (1,5 балла).

Рассмотрим еще одну экзаменационнуюзадачу.244ЗАДАЧА Б2 [13]. Сформулируйте стандартный метод моделирования случайного вектора и продемонстрируйте его на примере двумерного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределения3f(ξ,η) (u, v) = 3 u2 (u + 1) v u e−u ,u > 0, 0 < v < 1.(14.27)РЕШЕНИЕ.

На этот раз интеграл по u функции f(ξ,η) (u, v) из соотношения (14.27) аналитически не берется, поэтому представление (14.20)не дает простых алгоритмов моделирования выборочного значения(ξ0 , η0 ) случайного вектора (ξ, η).Рассмотрим представление (14.19). ИмеемZ 113333 u2 (u + 1) v u e−u dv = 3 u2 e−u × (v u+1 ) = 3 u2 e−ufξ (u) =00при u > 0 иfη (v|u) =f(ξ,η) (u, v)= (u + 1) v u , 0 < v < 1.fξ (u)Выведем формулу метода обратной функции распределения для компоненты ξ.

Преобразуя соответствующее уравнение (14.1), последовательно получаем:Z ξ0p33 ξ 03 u2 e−u du = α1 , −e−u = α1 и, наконец, ξ0 = 3 − ln α10 ;00здесь α10 = 1 − α1 . Проверка 2.1 при α1 = 0 дает α10 = 1 и ξ0 = 0, а приα1 = 1 имеем α10 = 0 и ξ0 = +∞.Для моделирования выборочного значения η0 компоненты η, имеющей (при фиксированном ξ = ξ0 ) степенное распределение (2.21), используем табличную формулу типа (2.22) (см. пример 2.2 и замеча1/(ξ +1)ние 2.8): η0 = α2 0 . Решение задачи Б2 закончено.При конструировании плотности (14.27) использована технология Б: для компоненты η была выбрана табличная плотность степенногораспределения (2.21) fη (v; λ) = (λ + 1)uλ , 0 < u < 1, λ > 0, а для компоненты ξ, отражающей рандомизацию параметра λ, взята плотность3fξ (u) = 3u2 e−u , u ∈ (0, +∞).В свою очередь, последняя плотность получена с помощью технологии А из табличной плотности fθ (w) = e−w с использованием заменыw = u3 .

Описание примера Б2 закончено.245ПРИМЕР Б3 (1,5 балла). Приведем еще один пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА Б3 [13]. Сформулируйте стандартный метод моделирования случайного вектора и продемонстрируйте его на примере двумерного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределенияf(ξ,η) (u, v) = 4 uv−1 ln3 v, 0 < u < 1, 1 < v < e.(14.28)РЕШЕНИЕ. Очевидно, что интеграл по v от функции (14.28) аналитически не берется, поэтому представление (14.19) не дает простыхалгоритмов моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) случайноговектора (ξ, η).Рассмотрим представление (14.20). ИмеемZfη (v) =14 uv−1 ln3 v du =0fξ (u|v) =14 ln3 v4 ln3 v× (v uv−1 ) =, 1 < v < e,vv0f(ξ,η) (u, v)= v uv−1 , 0 < u < 1.fη (v)Выведем формулу метода обратной функции распределения для компоненты η.

Преобразуя соответствующее уравнение (14.1), последовательно получаем:Z1η0 η0√4 ln3 v dv4= α1 , ln4 v = α1 , и, наконец, η0 = e α1 .v1Проверка 2.1 при α1 = 0 дает η0 = 1, а при α1 = 1 имеем η0 = e.Для моделирования выборочного значения ξ0 компоненты ξ используем табличную формулу типа (2.22) (см. пример 2.2 и замечание 2.8):1/ηξ0 = α2 0 . Решение задачи Б2 закончено.При конструировании плотности (14.28) использована версия технологии Б из замечания 14.3: для компоненты ξ был выбран аналогтабличной плотности степенного распределения (2.21) fξ (u; λ) = λuλ−1 ,0 < u < 1, λ > 1, а для компоненты η, отражающей рандомизациюпараметра λ, взята плотность fη (v) = (4 ln3 v)/v, v ∈ (1, e) ⊂ (1, +∞).В свою очередь, последняя плотность получена с помощью технологии А из табличной плотности fθ (w) = 4w3 с использованием заменыw = ln v.

Описание примера Б3 закончено.246Теперь обсудим выполнение пункта Б семестрового домашнего задания (СДЗ). Можно заметить, что приводимые до этого примеры по этому пункту – примеры 2.3, Б1–Б3 имели невысокие оценки СДЗ. Причина в том, что частные плотности для компонент ξ и ηпредставляли простые (часто – табличные) плотности. Даже небольшое«усложнение» этих частных плотностей с помощью технологии А (см.замечание 14.2) позволяет повысить оценку СДЗ.ПРИМЕР Б4 (2 балла; [13]). Пусть требуется построить эффективный алгоритм моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) двумерногослучайного вектора (ξ, η) с плотностью распределенияf(ξ,η) (u, v) =1π3 v sin v e−3uv, 0<u< , 0<v< .−v1−e32(14.29)Очевидно, что интеграл по v от этой функции аналитически не возьмется, поэтому представление (14.19) не дает простых алгоритмов моделирования случайного вектора (ξ, η).Рассмотрим представление (14.20).

ИмеемZ1/3fη (v) =03 v sin v e−3uv du= sin v ×1 − e−v−e−3vu1 − e−v 1/3= sin v0для 0 < v < π/2 иfξ (u|v) =f(ξ,η) (u, v)3 v e−3uv1=, 0<u< .−vfη (v)1−e3Выведем соответствующие формулы метода обратной функции распределения. Для выборочного значения η0 последовательно получаем:Z η0 η0sin v dv = α1 , − cos v = α1 и, наконец, η0 = arccos α10 ;00здесь α10 = 1 − α1 .Для выборочного значения ξ0 последовательно получаем:Z ξ03 η0 e−3η0 u du= α2 , 1 − e−3η0 ξ0 = α2 (1 − e−η0 )1 − e−η00ln 1 − α2 (1 − e−η0 )и, наконец, ξ0 = −.3η0247Проверка 2.1 при α1 = 0 дает α10 = 1 и η0 = arccos 1 = 0, а при α1 = 1имеем α10 = 0 и η0 = arccos 0 = π/2.

При α2 = 0 получаем ξ0 = − ln 1 − 0 ×(1 − e−η0 ) (3η0 ) = 0, а приα2 = 1 имеем ξ0 = − ln 1 − 1 × (1 − e−η0 ) (3η0 ) = η0 /(3η0 ) = 1/3.При конструировании плотности (14.29) использована версия технологии Б из замечания 14.3: для компоненты ξ была выбранаплотностьусеченногоэкспоненциальногораспределенияfξ (u; λ) = 3λe−3λu (1 − e−λ ), 0 < u < 1/3, λ > 0, а для компоненты η,отражающей рандомизацию параметра λ, взята плотностьfη (v) = sin v, v ∈ (0, π/2) ⊂ (0, +∞).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6710
Авторов
на СтудИзбе
287
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее