1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогдаg(u) < g (1) (u) = 1, 1 e−2u .R +∞Несложно вычислить интеграл Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du = 1, 1/2. Плотность, пропорциональная мажоранте g (1) (u), является табличной (экспоненциальной): fξ(1) (u) = 2e−2u , u > 0 (см. пример 2.1 и замеча(1)ние 2.8); соответствующая моделирующая формула: ξ0 = −(ln α1 )/2;α1 ∈ U (0, 1) (см. формулу (2.20)).Алгоритм метода исключения включает следующие пункты.(1)(1)1.
Моделируем выборочное значение ξ0 по формуле ξ0 = −(ln α1 )/2,(1)(1)(1)а также величину η0 = α2 g (1) ξ0= 1, 1 α2 e−2ξ0 . Точка ξ0 , η0равномерно распределена в «подграфике» мажоранты g (1) (u).(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0или(1)5, 5 π α2 < 5π + arctg ξ0 .(14.47)(1)Если это неравенство выполнено, то точка ξ0 , η0 принадлежит«подграфику» функции g(u) и является равномерно распределенной вэтом множестве. Тогда в качестве выборочного значения ξ0 случайной(1)величины ξ берем ξ0 = ξ0 . Если же неравенство (14.47) не выполнено,то повторяем пункт 1 и т.
д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине(1)s (это среднее число попыток розыгрыша пар ξ0 , η0 до выполнениянеравенства (14.47)), которая оценивается сверху величинойs < 1, 1. Близость числа s к единице свидетельствует об эффективностииспользуемого алгоритма мажорантного метода исключения. Решениезадачи Г2 и описание примера Г2 закончены.ПРИМЕР Г3 (1,5 балла). Рассмотрим последний пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА Г3 [13]. Сформулируйте мажорантный метод исключения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочногозначения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения265fξ (u), пропорциональную функции! πu ln 1 + (e − 1)ug(u) = 4 +cos, 0 < u < 1.22Оцените сверху трудоемкость метода.РЕШЕНИЕ.
Несложно убедиться в том, что плотность fξ (u) не является элементарной (в первую очередь из-за того, что интеграл от функции g(u) не берется аналитически).Заметим, что g(u) = Y (u) g̃ (1) (u), гдеg̃ (1) (u) = cos(πu/2) и Y (u) = 4 + (1/2) ln 1 + (e − 1)u ,причем, в силу монотонности функции ln 1 + (e − 1)u на интервале(0, 1), выполнено неравенство 4 < Y (u) < 4, 5. Тогдаg(u) < g (1) (u) = 4, 5 cos(πu/2).R1Вычислим интеграл Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du = 4, 5×2/π.
Плотность, пропорциональная мажоранте g (1) (u) имеет вид: fξ(1) (u) = (π/2) cos(πu/2),0 < u < 1. Формула метода обратной функции распределения для выбо(1)рочного значения ξ0 случайной величины ξ (1) получается из цепочкиравенств (1) πu πu ξ0π(1)cosdu = α1 , sin= α1 и ξ0 = (2/π) arcsin α1 .222 00(14.48)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает ξ0 = (2/π) arcsin 0 = 0, а при α1 = 1имеем ξ0 = (2/π) arcsin 1 = 1.Алгоритм метода исключения включает следующие пункты.(1)1.
Моделируем выборочное значение ξ0 = (2/π) arcsin α1 , а также(1)(1)(1)η0 = α2 g (1) ξ0= 4, 5α2 cos πξ0 2 . Точка ξ0 , η0 равномерно распределена в «подграфике» мажоранты g (1) (u).(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0илиZ(1)ξ0(1) 9πα2 < 8 + ln 1 + (e − 1)ξ0 .(14.49)(1)Если это неравенство выполнено, то точка ξ0 , η0 принадлежит«подграфику» функции g(u) и является равномерно распределенной в266этом множестве. Тогда в качестве выборочного значения ξ0 случайной(1)величины ξ берем ξ0 = ξ0 . Если же неравенство (14.49) не выполнено,то повторяем пункт 1 и т.
д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине(1)s (это среднее число попыток розыгрыша пар ξ0 , η0 до выполнениянеравенства (14.49)), которая оценивается сверху величинойs < 4, 5/4 = 1, 125. Близость числа s к единице свидетельствует обэффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Решение задачи Г3 и описание примера Г3 закончены.Теперь обсудим выполнение пункта Г.1 семестрового домашнего задания (СДЗ).
Можно заметить, что приводимые до этого примеры применения мажорантного метода исключения – примеры 11.6, 11.8, Г1–Г3 – имели относительно низкие оценки СДЗ. Причина в том, что в применявшейся для создания этих примеров технологии Г простыми являлись как плотности fξ(1) (u), пропорциональные мажорантам (они чаще всего являлись табличными), так и функции Y (u),определяющие вид мультипликативной «порчи».Для «усложнения» плотности fξ(1) (u) следует применять технологию А (см. замечание 14.2).«Усложнение» функции «порчи» Y (u) связано с необходимостьюнетривиального дополнительного исследования этой функции для поиска ее оценок сверху и снизу.Приведем соответствующие примеры.ПРИМЕР Г4 (2 балла; [13]). Пусть требуется построить алгоритммоделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения fξ (u), пропорциональную функцииg(u) =u21, 0 < u < 1.lg(u + 10) + 10R1Интеграл Ḡ = 0 (1/(u2 lg(u + 10) + 10)) du не берется аналитически,поэтому функция fξ (u) не является плотностью элементарного распределения.Заметим, что g(u) ≤ g (1) (u) = 1/(u2 + 10), т.
е. здесьY (u) =u2 + 1011, причем< Y (u) < 1.2u lg(u + 10) + 10lg 11 + 10(14.50)Последнее неравенство (14.50) следует из того, что разность междуположительными знаменателем и числителем дроби, представляющей267функцию Y (u), равная (u2 − 1) lg(u + 10), растет с ростом u. Поэтомуфункция Y (u) является убывающей и Y (1) < Y (u) < Y (0).Вычислим интеграл√√Z 1Z 1d(u/ 10)duarctg(1/ 10)1√√√=. (14.51)Ḡ(1) ==210 0 (u/ 10)2 + 1100 u + 10Таким образом,√10√fξ(1) (u) =, 0 < u < 1.arctg(1/ 10)(u2 + 10)Формула метода обратной функции распределения для выборочного(1)значения ξ0 случайной величины ξ (1) получается (с учетом выкладок (14.51)) из цепочки равенств√10√arctg(1/ 10)Z0(1)ξ0u2√√du(1)= α1 , arctg(ξ0 / 10) = α1 arctg(1/ 10)+ 10√ √(1)и, наконец, ξ0 = 10 tg α1 arctg(1/ 10) .√√ (1)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает ξ0 = 10 tg 0 × arctg(1/ 10) = 0, а√√(1)при α1 = 1 имеем ξ0 = 10 tg 1 × arctg(1/ 10) = 1.Тогда получаем алгоритм метода исключения, включающий следующие пункты.√√ (1)1.
Моделируем выборочные значения ξ0 = 10 tg α1 arctg(1/ 10) (1) 2и η0 = α2ξ0+ 10 .(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0или (1) 2(1)(1) 2α2 ξ0lg ξ0 + 10 + 10 < ξ0+ 10.Если это неравенство выполнено, то полагаем, что выборочное зна(1)чение ξ0 случайной величины ξ равно ξ0 = ξ0 , иначе повторяемпункт 1 и т. д.Согласно соотношениям (14.44) и (14.50), трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине s, которая оценивается сверхувеличиной s < (lg 11+10)/11 ≈ 1, 004. Близость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантногометода исключения. Описание примера Г4 закончено.268ПРИМЕР Г5 (2 балла; [41]). Пусть требуется построить алгоритммоделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения fξ (u), пропорциональную функцииg(u) =u eu, 0 < u < 1.(u + 1)2Заметим, чтоZḠ =1g(u) du =0и поэтомуfξ (u) =e−2eu 1, =u+1 022u eu, 0 < u < 1.(e − 2)(u + 1)2Плотность fξ (u) не является элементарной, так как уравнение (14.1)вида!Z ξ02eξ0pξ̂ (u) du = α0 , или− 1 = α0e − 2 ξ0 + 10неразрешимо относительно ξ0 .Заметим, чтоg(u) = Y (u) × g̃ (1) (u), где Y (u) =u, g̃ (1) (u) = eu .(u + 1)2Из неравенства (u − 1)2 ≥ 0 следует, что 4u ≤ u2 + 2u + 1, и поэтомуY (u) = u/(u + 1)2 ≤ 1/4.Выбираем в качестве мажоранты g(u) ≤ g (1) (u) = eu /4.
При этом(1)Ḡ = (e − 1)/4 и fξ(1) (u) = eu /(e − 1). Соответствующая моделирующая формула метода обратной функции распределения получается изсоотношенийZ0(1)ξ0(1)eu du(1)= α1 , или eξ0 − 1 = α1 (e − 1), или ξ0 = ln 1 + α1 (e − 1) .e−1(1)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает ξ0 = ln 1 + 0 × (e − 1) = ln 1 = 0, а(1)при α1 = 1 имеем ξ0 = ln 1 + 1 × (e − 1) = ln e = 1.Тогда получаем алгоритм метода исключения, включающий следующие пункты.269(1)1. Моделируем выборочные значения ξ0 = ln 1 + α1 (e − 1) и(1) η0 = α2 g (1) ξ0 .2. Проверяем неравенство2(1) (1)(1)η0 < g ξ0 , или α2 ξ0 + 1 < 4ξ0 .(1)Если это неравенство выполнено, то полагаем ξ0 = ξ0 , иначе повторяем пункт 1 и т.
д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величинеs, равнойe−1Ḡ(1)=≈ 1, 125.s=2(e − 2)ḠБлизость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Описаниепримера Г5 закончено.Теперь рассмотрим выполнение пункта Г.2 семестрового домашнего задания (СДЗ). Заметим, что алгоритм Г1 и технология Гприменимы и для многомерного (в частности двумерного) случая.ПРИМЕР Г6 (1,5 балла; [13]).
Пусть требуется построить алгоритмчисленного моделирования выборочного значения ξ 0 = ν0 , µ0 двумерного случайного вектора ξ = (ν, µ), имеющего плотность распределенияfξ (u, v), пропорциональную функцииg(u, v) = eu ev (sin u + sin v), 0 < u <ππ, 0<v< .22(14.52)Используя «симметрию» функции (14.52) относительно u, v и реализуя интегрирование по частям (см. также выкладки из примера 11.6),получаем!!Z π/2 Z π/2Z π/2Z π/2uvḠ =g(u, v) du dv = 2e du ×e sin v dv =0000π/2 π/2= eu × ev (sin v − cos v) = eπ/2 − 1 eπ/2 + 1 .00Аналогичные выкладки (см.
также рассуждения из примера 11.6)показывают, что ни одно из представлений вида (14.19) и (14.20) дляплотностиfξ (u, v) =ππeu ev (sin u + sin v), 0<u< , 0<v<(eπ − 1)22270не дает эффективных алгоритмов моделирования значений ν0 и µ0 .По аналогии с примером 11.6 в качестве мажоранты функции (14.52)берем2g(u, v) ≤ g (1) (u, v) = 2 eu ev , при этом Ḡ(1) = 2 eπ/2 − 1иeveu×, 0 < u < π/2, 0 < v < π/2,eπ/2 − 1 eπ/2 − 1т. е. соответствующий вектор ξ (1) = ν (1) , µ(1) имеет независимые одинаково распределенные компоненты с усеченными экспоненциальнымираспределениями(11.43) (при λ = 1) и моделирующими формуламивида ξ0 = ln 1 + eπ/2 − 1 α̃0 ; α̃0 ∈ U (0, 1) – см. пример 11.7.Тогда получаем алгоритм мажорантного метода исключения, включающий следующие пункты.1.
Численно моделируем выборочные значения (1) (1)ν0 = ln 1 + eπ/2 − 1 α1 , µ0 = ln 1 + eπ/2 − 1 α2 ,(1)(1) а также η0 = α3 g (1) ν0 , µ0 .(1)(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ν0 , µ0 илиfξ (1) (u, v) =(1)(1)2α3 < sin ν0 + sin µ0 .Если это неравенство выполнено, то полагаем, что выборочные(1)(1)значения ν0 , µ0 случайных величин ν и µ равны ν0 = ν0 , µ0 = µ0 ,иначе повторяем пункт 1 и т.
д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величинеs, равной2 eπ/2 − 1Ḡ(1)=≈ 1, 3.s=eπ/2 + 1ḠБлизость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Описаниепримера Г6 закончено.Невысокая оценка СДЗ за пример Г6 обусловлена следующими причинами:– этот пример является аналогом примера 11.6;– компоненты вектора ξ (1) = ν (1) , µ(1) независимы (к слову, впункте Г.2 этот недостаток считается намного менее значительным, чем в пункте Б);271– плотности распределения компонент ν (1) и µ(1) вектора ξ (1) «простоваты» – они являются одинаковыми усеченными экспоненциальными распределениями – см.