Главная » Просмотр файлов » 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b

1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 45

Файл №844202 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (Войтишек - Лекции по численным методам Монте-Карло) 45 страница1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202) страница 452021-07-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Тогдаg(u) < g (1) (u) = 1, 1 e−2u .R +∞Несложно вычислить интеграл Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du = 1, 1/2. Плотность, пропорциональная мажоранте g (1) (u), является табличной (экспоненциальной): fξ(1) (u) = 2e−2u , u > 0 (см. пример 2.1 и замеча(1)ние 2.8); соответствующая моделирующая формула: ξ0 = −(ln α1 )/2;α1 ∈ U (0, 1) (см. формулу (2.20)).Алгоритм метода исключения включает следующие пункты.(1)(1)1.

Моделируем выборочное значение ξ0 по формуле ξ0 = −(ln α1 )/2,(1)(1)(1)а также величину η0 = α2 g (1) ξ0= 1, 1 α2 e−2ξ0 . Точка ξ0 , η0равномерно распределена в «подграфике» мажоранты g (1) (u).(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0или(1)5, 5 π α2 < 5π + arctg ξ0 .(14.47)(1)Если это неравенство выполнено, то точка ξ0 , η0 принадлежит«подграфику» функции g(u) и является равномерно распределенной вэтом множестве. Тогда в качестве выборочного значения ξ0 случайной(1)величины ξ берем ξ0 = ξ0 . Если же неравенство (14.47) не выполнено,то повторяем пункт 1 и т.

д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине(1)s (это среднее число попыток розыгрыша пар ξ0 , η0 до выполнениянеравенства (14.47)), которая оценивается сверху величинойs < 1, 1. Близость числа s к единице свидетельствует об эффективностииспользуемого алгоритма мажорантного метода исключения. Решениезадачи Г2 и описание примера Г2 закончены.ПРИМЕР Г3 (1,5 балла). Рассмотрим последний пример экзаменационной задачи.ЗАДАЧА Г3 [13]. Сформулируйте мажорантный метод исключения и продемонстрируйте его на примере моделирования выборочногозначения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения265fξ (u), пропорциональную функции! πu ln 1 + (e − 1)ug(u) = 4 +cos, 0 < u < 1.22Оцените сверху трудоемкость метода.РЕШЕНИЕ.

Несложно убедиться в том, что плотность fξ (u) не является элементарной (в первую очередь из-за того, что интеграл от функции g(u) не берется аналитически).Заметим, что g(u) = Y (u) g̃ (1) (u), гдеg̃ (1) (u) = cos(πu/2) и Y (u) = 4 + (1/2) ln 1 + (e − 1)u ,причем, в силу монотонности функции ln 1 + (e − 1)u на интервале(0, 1), выполнено неравенство 4 < Y (u) < 4, 5. Тогдаg(u) < g (1) (u) = 4, 5 cos(πu/2).R1Вычислим интеграл Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du = 4, 5×2/π.

Плотность, пропорциональная мажоранте g (1) (u) имеет вид: fξ(1) (u) = (π/2) cos(πu/2),0 < u < 1. Формула метода обратной функции распределения для выбо(1)рочного значения ξ0 случайной величины ξ (1) получается из цепочкиравенств (1) πu πu ξ0π(1)cosdu = α1 , sin= α1 и ξ0 = (2/π) arcsin α1 .222 00(14.48)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает ξ0 = (2/π) arcsin 0 = 0, а при α1 = 1имеем ξ0 = (2/π) arcsin 1 = 1.Алгоритм метода исключения включает следующие пункты.(1)1.

Моделируем выборочное значение ξ0 = (2/π) arcsin α1 , а также(1)(1)(1)η0 = α2 g (1) ξ0= 4, 5α2 cos πξ0 2 . Точка ξ0 , η0 равномерно распределена в «подграфике» мажоранты g (1) (u).(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0илиZ(1)ξ0(1) 9πα2 < 8 + ln 1 + (e − 1)ξ0 .(14.49)(1)Если это неравенство выполнено, то точка ξ0 , η0 принадлежит«подграфику» функции g(u) и является равномерно распределенной в266этом множестве. Тогда в качестве выборочного значения ξ0 случайной(1)величины ξ берем ξ0 = ξ0 . Если же неравенство (14.49) не выполнено,то повторяем пункт 1 и т.

д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине(1)s (это среднее число попыток розыгрыша пар ξ0 , η0 до выполнениянеравенства (14.49)), которая оценивается сверху величинойs < 4, 5/4 = 1, 125. Близость числа s к единице свидетельствует обэффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Решение задачи Г3 и описание примера Г3 закончены.Теперь обсудим выполнение пункта Г.1 семестрового домашнего задания (СДЗ).

Можно заметить, что приводимые до этого примеры применения мажорантного метода исключения – примеры 11.6, 11.8, Г1–Г3 – имели относительно низкие оценки СДЗ. Причина в том, что в применявшейся для создания этих примеров технологии Г простыми являлись как плотности fξ(1) (u), пропорциональные мажорантам (они чаще всего являлись табличными), так и функции Y (u),определяющие вид мультипликативной «порчи».Для «усложнения» плотности fξ(1) (u) следует применять технологию А (см. замечание 14.2).«Усложнение» функции «порчи» Y (u) связано с необходимостьюнетривиального дополнительного исследования этой функции для поиска ее оценок сверху и снизу.Приведем соответствующие примеры.ПРИМЕР Г4 (2 балла; [13]). Пусть требуется построить алгоритммоделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения fξ (u), пропорциональную функцииg(u) =u21, 0 < u < 1.lg(u + 10) + 10R1Интеграл Ḡ = 0 (1/(u2 lg(u + 10) + 10)) du не берется аналитически,поэтому функция fξ (u) не является плотностью элементарного распределения.Заметим, что g(u) ≤ g (1) (u) = 1/(u2 + 10), т.

е. здесьY (u) =u2 + 1011, причем< Y (u) < 1.2u lg(u + 10) + 10lg 11 + 10(14.50)Последнее неравенство (14.50) следует из того, что разность междуположительными знаменателем и числителем дроби, представляющей267функцию Y (u), равная (u2 − 1) lg(u + 10), растет с ростом u. Поэтомуфункция Y (u) является убывающей и Y (1) < Y (u) < Y (0).Вычислим интеграл√√Z 1Z 1d(u/ 10)duarctg(1/ 10)1√√√=. (14.51)Ḡ(1) ==210 0 (u/ 10)2 + 1100 u + 10Таким образом,√10√fξ(1) (u) =, 0 < u < 1.arctg(1/ 10)(u2 + 10)Формула метода обратной функции распределения для выборочного(1)значения ξ0 случайной величины ξ (1) получается (с учетом выкладок (14.51)) из цепочки равенств√10√arctg(1/ 10)Z0(1)ξ0u2√√du(1)= α1 , arctg(ξ0 / 10) = α1 arctg(1/ 10)+ 10√ √(1)и, наконец, ξ0 = 10 tg α1 arctg(1/ 10) .√√ (1)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает ξ0 = 10 tg 0 × arctg(1/ 10) = 0, а√√(1)при α1 = 1 имеем ξ0 = 10 tg 1 × arctg(1/ 10) = 1.Тогда получаем алгоритм метода исключения, включающий следующие пункты.√√ (1)1.

Моделируем выборочные значения ξ0 = 10 tg α1 arctg(1/ 10) (1) 2и η0 = α2ξ0+ 10 .(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ξ0или (1) 2(1)(1) 2α2 ξ0lg ξ0 + 10 + 10 < ξ0+ 10.Если это неравенство выполнено, то полагаем, что выборочное зна(1)чение ξ0 случайной величины ξ равно ξ0 = ξ0 , иначе повторяемпункт 1 и т. д.Согласно соотношениям (14.44) и (14.50), трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величине s, которая оценивается сверхувеличиной s < (lg 11+10)/11 ≈ 1, 004. Близость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантногометода исключения. Описание примера Г4 закончено.268ПРИМЕР Г5 (2 балла; [41]). Пусть требуется построить алгоритммоделирования выборочного значения ξ0 случайной величины ξ, имеющей плотность распределения fξ (u), пропорциональную функцииg(u) =u eu, 0 < u < 1.(u + 1)2Заметим, чтоZḠ =1g(u) du =0и поэтомуfξ (u) =e−2eu 1, =u+1 022u eu, 0 < u < 1.(e − 2)(u + 1)2Плотность fξ (u) не является элементарной, так как уравнение (14.1)вида!Z ξ02eξ0pξ̂ (u) du = α0 , или− 1 = α0e − 2 ξ0 + 10неразрешимо относительно ξ0 .Заметим, чтоg(u) = Y (u) × g̃ (1) (u), где Y (u) =u, g̃ (1) (u) = eu .(u + 1)2Из неравенства (u − 1)2 ≥ 0 следует, что 4u ≤ u2 + 2u + 1, и поэтомуY (u) = u/(u + 1)2 ≤ 1/4.Выбираем в качестве мажоранты g(u) ≤ g (1) (u) = eu /4.

При этом(1)Ḡ = (e − 1)/4 и fξ(1) (u) = eu /(e − 1). Соответствующая моделирующая формула метода обратной функции распределения получается изсоотношенийZ0(1)ξ0(1)eu du(1)= α1 , или eξ0 − 1 = α1 (e − 1), или ξ0 = ln 1 + α1 (e − 1) .e−1(1)Проверка 2.1 при α1 = 0 дает ξ0 = ln 1 + 0 × (e − 1) = ln 1 = 0, а(1)при α1 = 1 имеем ξ0 = ln 1 + 1 × (e − 1) = ln e = 1.Тогда получаем алгоритм метода исключения, включающий следующие пункты.269(1)1. Моделируем выборочные значения ξ0 = ln 1 + α1 (e − 1) и(1) η0 = α2 g (1) ξ0 .2. Проверяем неравенство2(1) (1)(1)η0 < g ξ0 , или α2 ξ0 + 1 < 4ξ0 .(1)Если это неравенство выполнено, то полагаем ξ0 = ξ0 , иначе повторяем пункт 1 и т.

д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величинеs, равнойe−1Ḡ(1)=≈ 1, 125.s=2(e − 2)ḠБлизость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Описаниепримера Г5 закончено.Теперь рассмотрим выполнение пункта Г.2 семестрового домашнего задания (СДЗ). Заметим, что алгоритм Г1 и технология Гприменимы и для многомерного (в частности двумерного) случая.ПРИМЕР Г6 (1,5 балла; [13]).

Пусть требуется построить алгоритмчисленного моделирования выборочного значения ξ 0 = ν0 , µ0 двумерного случайного вектора ξ = (ν, µ), имеющего плотность распределенияfξ (u, v), пропорциональную функцииg(u, v) = eu ev (sin u + sin v), 0 < u <ππ, 0<v< .22(14.52)Используя «симметрию» функции (14.52) относительно u, v и реализуя интегрирование по частям (см. также выкладки из примера 11.6),получаем!!Z π/2 Z π/2Z π/2Z π/2uvḠ =g(u, v) du dv = 2e du ×e sin v dv =0000π/2 π/2= eu × ev (sin v − cos v) = eπ/2 − 1 eπ/2 + 1 .00Аналогичные выкладки (см.

также рассуждения из примера 11.6)показывают, что ни одно из представлений вида (14.19) и (14.20) дляплотностиfξ (u, v) =ππeu ev (sin u + sin v), 0<u< , 0<v<(eπ − 1)22270не дает эффективных алгоритмов моделирования значений ν0 и µ0 .По аналогии с примером 11.6 в качестве мажоранты функции (14.52)берем2g(u, v) ≤ g (1) (u, v) = 2 eu ev , при этом Ḡ(1) = 2 eπ/2 − 1иeveu×, 0 < u < π/2, 0 < v < π/2,eπ/2 − 1 eπ/2 − 1т. е. соответствующий вектор ξ (1) = ν (1) , µ(1) имеет независимые одинаково распределенные компоненты с усеченными экспоненциальнымираспределениями(11.43) (при λ = 1) и моделирующими формуламивида ξ0 = ln 1 + eπ/2 − 1 α̃0 ; α̃0 ∈ U (0, 1) – см. пример 11.7.Тогда получаем алгоритм мажорантного метода исключения, включающий следующие пункты.1.

Численно моделируем выборочные значения (1) (1)ν0 = ln 1 + eπ/2 − 1 α1 , µ0 = ln 1 + eπ/2 − 1 α2 ,(1)(1) а также η0 = α3 g (1) ν0 , µ0 .(1)(1) 2. Проверяем неравенство η0 < g ν0 , µ0 илиfξ (1) (u, v) =(1)(1)2α3 < sin ν0 + sin µ0 .Если это неравенство выполнено, то полагаем, что выборочные(1)(1)значения ν0 , µ0 случайных величин ν и µ равны ν0 = ν0 , µ0 = µ0 ,иначе повторяем пункт 1 и т.

д.Трудоемкость построенного алгоритма пропорциональна величинеs, равной2 eπ/2 − 1Ḡ(1)=≈ 1, 3.s=eπ/2 + 1ḠБлизость числа s к единице свидетельствует об эффективности используемого алгоритма мажорантного метода исключения. Описаниепримера Г6 закончено.Невысокая оценка СДЗ за пример Г6 обусловлена следующими причинами:– этот пример является аналогом примера 11.6;– компоненты вектора ξ (1) = ν (1) , µ(1) независимы (к слову, впункте Г.2 этот недостаток считается намного менее значительным, чем в пункте Б);271– плотности распределения компонент ν (1) и µ(1) вектора ξ (1) «простоваты» – они являются одинаковыми усеченными экспоненциальными распределениями – см.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6710
Авторов
на СтудИзбе
287
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее