1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так,для каждого примера пунктов Б, В.1 СДЗ при использовании технологии Б (см. далее подразделы 14.3, 14.4) требуются две элементарныеплотности (одна из которых – с параметром); также два моделируемыхраспределения, сосредоточенных на одном и том же интервале, нужныпри применении технологии В (см. далее подраздел 14.4) в пункте В.2;элементарная плотность, пропорциональная мажоранте, выбирается приприменении технологии Г (см. далее подраздел 14.5) в пункте Г.1 СДЗ,а в соответствующем двумерном случае (пункт Г.2 СДЗ) требуются дваэлементарных распределения; наконец, в пункте Д СДЗ в каждом примере выбираются по четыре элементарных плотности распределения (длякомпонент используемого четырехмерного случайного вектора).Zξ04u3 du√= α0 ,4u4 + 914Z4ξ04 +9237Итого требуется около трех десятков элементарных плотностей,причем для получения высокой оценки за задание следует стремиться ктому, чтобы все эти функции были разными и отличались от элементарных плотностей, используемых в известных пособиях.Такую возможность дает последовательное применение преобразований ϕ(u) в технологии А (недаром это технология последовательных,вложенных замен).
Здесь, однако, не следует использовать более трехвложенных замен (желательно, чтобы и сами плотности, и моделирующие формулы оставались «обозримыми», компактными).Приведем примеры плотностей, которые можно оценить высокимибаллами в рамках СДЗ.ПРИМЕР А5 (2,5 балла; [13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределения√π3 3 cos u, 0<u< .(14.17)fξ (u) =2π(sin2 u + sin u + 1)Выведем моделирующую формулу для ξ. Решая уравнение (14.1) дляплотности (14.17), последовательно получаем:√√Z ξ0Z ξ03 3 cos u du3 3 d(sin u + 1/2) = α0 ,= α0 ,π (sin u + 1/2)2 + 3/4π(sin2 u + sin u + 1)006πZ√√Z6 2(sin ξ0 +1/2)/ 3 dwd(2v/ 3)√= α0 ,= α0 ,π 1/√3w2 + 1(2v/ 3)2 + 126161arctg √− arctg √ = α0 ,sin ξ0 +π2π3321πsin ξ0 +arctg √= (α0 + 1)263sin ξ0 +1/21/2и, наконец,"√# 13 πξ0 = arcsintg(α0 + 1) −.(14.18)262√Проверка 2.1 при α0 = 0 дает ξ0 = arcsin ( 3/2) tg(π/6) − 1/2 =√arcsin 0 = 0, а при α0 = 1 имеем ξ0 = arcsin ( 3/2) tg(π/3) − 1/2 =arcsin 1 = π/2.238Схема «сочинения» плотности (14.17) такова.
Берем исходную плотность√61fθ (w) =, √ <w< 3π(w2 + 1)3с моделирующей формулой θ0 = tg π(α0 + 1)/6 . Используя линейное√преобразование ϕ(1) (v) = (2/ 3)(v + 1/2), получаем плотность√4 3√, 0 < v < 1fη (v) = π (2(v + 1/2)/ 3)2 + 1√и моделирующую формулу η0 =3 tg π(α0 + 1)/6 − 1 /2. Наконец,преобразование ϕ(2) (u) = sin u дает плотность (14.17) и моделирующуюформулу (14.18). Описание примера А5 закончено.Отметим, что порядок преобразований при «сочинении» плотностиявляется обратным к порядку замен при выводе элементарной моделирующей формулы.
В дальнейшем, если плотность конструируетсясогласно технологии А, мы будем приводить только вывод моделирующих формул, не формулируя достаточно очевидных соображений о«сочинении» плотности.Внимание: при выполнении семестрового домашнего задания не нужно описывать процедуры «сочинения» элементарных плотностей на основе последовательных замен ϕ(u), т. е.соответствующие примеры должны быть оформлены, как следующиепримеры А6 и А7.ПРИМЕР А6 (3 балла; [13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =3√, 0 < u < 3.(u + 3) 9 − u2Решая уравнение (14.1) для заданной плотности, последовательнополучаем:Z ξ0Z ξ0 r3 du1 3+u6√= α0 ,×du = α0 ,223−u(u+3)2(u+3)9−u00Z (3−ξ0 )/(3+ξ0 )Z ξ03−udv1q√ = α0 ,d −= α0 , −3+u3−u2v102 3+u239s−3 − ξ0+ 1 = α0 ,3 + ξ03 − ξ0= (α00 )2 , где α00 = 1 − α0 ,3 + ξ0и, наконец,ξ0 =3(1 − (α00 )2 ).1 + (α00 )2Проверка 2.1 при α0 = 0 дает α00 = 1 и ξ0 = 3(1 − 12 )/(1 + 12 ) = 0, апри α0 = 1 имеем α00 = 0 и ξ0 = 3(1 − 02 )/(1 + 02 ) = 3.
Описание примераА6 закончено.ПРИМЕР А7 (3 балла; [13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =8 sin u cos u, 0 < u < π/2.(sin u + 1)3Решая уравнение (14.1) для заданной плотности, последовательнополучаем:Z ξ0Z ξ08 sin u cos u du8 sin u d sin u=α,= α0 ,03(sin u + 1)(sin u + 1)300Z sin ξ0Z sin ξ0Z sin ξ0((8v + 8) − 8) dv8 d(v + 1)8 d(v + 1)=α,−= α0 ,032(v+1)(v+1)(v + 1)3000 48−4 + −+ 8 = α0 , t2 − 2t − C = 0,(sin ξ0 + 1)2sin ξ0 + 1где t = 1/(sin ξ0 + 1) и C = (α0 − 4)/4.
Дискриминант последнего квадратного уравнения равен D = 4 + α0 − 4 = α0 . Тогда получаем√√2 ± α0∓ α021=или sin ξ0 =√ −1=√ .sin ξ0 + 122 ± α02 ± α0Знак «минус» в последнем выражении не годится, так как из условийзадачи следует, что sin ξ0 неотрицателен. Поэтому √α0.ξ0 = arcsin√2 − α0√ √Проверка 2.1 при α0 = 0 дает ξ0 = arcsin 0/(2− 0) = arcsin 0 = 0,√ √а при α0 = 1 имеем ξ0 = arcsin 1/(2 − 1) = arcsin 1 = π/2. Описаниепримера А7 закончено.24014.3.Технологияраспределенного(взвешенного)параметра.
Решение и конструирование задач по теме«Моделирование двумерного вектора». Рассмотрим возможностипостроения совместных плотностей f(ξ,η) (u, v) двумерных векторов (ξ, η)с зависимыми компонентами, для которых удается построить эффективные алгоритмы моделирования выборочных значений (ξ0 , η0 ).Согласно утверждению 2.1 и формулам (2.4)–(2.7), для плотностиf(ξ,η) (u, v) справедливы два представленияf(ξ,η) (u, v);fξ (u)(14.19)Zf(ξ,η) (u, v).f(ξ,η) (u, v) = fη (v)fξ (u|v); fη (v) = f(ξ,η) (u, v) du, fξ (u|v) =fη (v)(14.20)Представлению (14.19) соответствует алгоритм моделирования значений (ξ0 , η0 ) типа алгоритма 2.1: сначала моделируем выборочное значение ξ0 согласно плотности fξ (u), а затемреализуемвыборочное значение η0 согласно плотности f(ξ,η) ξ0 , v /fξ ξ0 .Аналогично для представления (14.20) используется алгоритм 2.2:сначала моделируется выборочное значение η0 согласно плотностиfη (v), а затемреализуетсявыборочное значение ξ0 согласно плотности f(ξ,η) u, η0 /fη η0 .При конструировании задач по моделированию двумерного векторанужно иметь возможность получать вектор с зависимыми компонентами (для случая независимых компонент получается «двойное» упражнение по теме «Метод обратной функции распределения»), причем желательно, чтобы методы типа алгоритмов 2.1 и 2.2 были бы не равнозначны в смысле эффективности моделирования (нужно, чтобы толькоодин из них был экономичным).Такие свойства алгоритмов можно получить с помощью следующей технологии распределенного («взвешенного») параметра,основанной на соображениях о рандомизации параметра из подраздела 3.2 данного пособия.ТЕХНОЛОГИЯ Б [13].
Рассмотрим элементарную плотность распределения fη (v; λ), u ∈ (c, d), зависящую от параметра λ, допустимые значения которого принадлежат интервалу (A, B).Элементарность распределения означает существование простой(элементарной) формулы η0 = ψη (α0 ; λ), α0 ∈ U (0, 1) для полученияZf(ξ,η) (u, v) = fξ (u)fη (v|u); fξ (u) =f(ξ,η) (u, v) dv, fη (v|u) =241выборочного значения случайной величины η (здесь ψη (.) – композицияэлементарных функций).Рассмотрим также еще одну элементарную плотность fξ (v) случайной величины ξ, принимающей значения в интервале (a, b) ⊆ (A, B);при этом имеется соответствующая элементарная моделирующаяформула ξ0 = ψξ (α0 ), α0 ∈ U (0, 1).Теперь поставим задачу построения эффективного (экономичного) алгоритма моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) двумерногослучайного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределенияf(ξ,η) (u, v) = fξ (u) × fη (v; u), (u, v) ∈ G = {(u, v) : a < u < b; c < v < d}.(14.21)Это результат формального умножения плотностей fξ (u) иfη (v; u) (здесь происходит подстановка переменной u вместо параметра λ).В представлении (14.19) для плотности (14.21) имеемfη (v|u) = fη (v; u).Для этого представления получаем эффективный алгоритм 2.1:ξ0 = ψξ (α1 ), η0 = ψη (α2 ; ξ0 ); α1 , α2 ∈ U (0, 1).(14.22)Для представления (14.20) плотности (14.21) эффективных формул типа (14.22) построить, как правило, не удается.ЗАМЕЧАНИЕ 14.3 [13].
Если составителю моделируемой плотностидвумерного вектора хочется, чтобы эффективный алгоритм давало быпредставление (14.20), нужно выбрать элементарную плотность распределения компоненты ξ вида fξ (u; λ), u ∈ (a, b), зависящую от параметра λ,допустимые значения которого принадлежат интервалу (C, D); этой плотности должна соответствовать моделирующая формула ξ0 = ψξ (α0 ; λ).Далее выбирается элементарная плотность fη (v); v ∈ (c, d) ⊆ (C, D) смоделирующей формулой η0 = ψη (α0 ), α0 ∈ U (0, 1).Ставится задача построения эффективного алгоритма реализации выборочного значения (ξ0 , η0 ) двумерного случайного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределенияf(ξ,η) (u, v) = fη (v) × fξ (u; v), (u, v) ∈ G = {(u, v) : a < u < b; c < v < d}.(14.23)Этот алгоритм эквивалентен следующему аналогу алгоритма 2.2:η0 = ψη (α1 ),ξ0 = ψξ (α2 ; η0 ); α1 , α2 ∈ U (0, 1).242(14.24)Примером применения технологии Б (точнее, ее версии из замечания 14.3) является плотностьf(ξ,η) (u, v) =1 −uvve,2u > 0, 0 < v < 2(14.25)из примера 2.3 (см.