Главная » Просмотр файлов » 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b

1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 40

Файл №844202 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (Войтишек - Лекции по численным методам Монте-Карло) 40 страница1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202) страница 402021-07-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Так,для каждого примера пунктов Б, В.1 СДЗ при использовании технологии Б (см. далее подразделы 14.3, 14.4) требуются две элементарныеплотности (одна из которых – с параметром); также два моделируемыхраспределения, сосредоточенных на одном и том же интервале, нужныпри применении технологии В (см. далее подраздел 14.4) в пункте В.2;элементарная плотность, пропорциональная мажоранте, выбирается приприменении технологии Г (см. далее подраздел 14.5) в пункте Г.1 СДЗ,а в соответствующем двумерном случае (пункт Г.2 СДЗ) требуются дваэлементарных распределения; наконец, в пункте Д СДЗ в каждом примере выбираются по четыре элементарных плотности распределения (длякомпонент используемого четырехмерного случайного вектора).Zξ04u3 du√= α0 ,4u4 + 914Z4ξ04 +9237Итого требуется около трех десятков элементарных плотностей,причем для получения высокой оценки за задание следует стремиться ктому, чтобы все эти функции были разными и отличались от элементарных плотностей, используемых в известных пособиях.Такую возможность дает последовательное применение преобразований ϕ(u) в технологии А (недаром это технология последовательных,вложенных замен).

Здесь, однако, не следует использовать более трехвложенных замен (желательно, чтобы и сами плотности, и моделирующие формулы оставались «обозримыми», компактными).Приведем примеры плотностей, которые можно оценить высокимибаллами в рамках СДЗ.ПРИМЕР А5 (2,5 балла; [13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределения√π3 3 cos u, 0<u< .(14.17)fξ (u) =2π(sin2 u + sin u + 1)Выведем моделирующую формулу для ξ. Решая уравнение (14.1) дляплотности (14.17), последовательно получаем:√√Z ξ0Z ξ03 3 cos u du3 3 d(sin u + 1/2) = α0 ,= α0 ,π (sin u + 1/2)2 + 3/4π(sin2 u + sin u + 1)006πZ√√Z6 2(sin ξ0 +1/2)/ 3 dwd(2v/ 3)√= α0 ,= α0 ,π 1/√3w2 + 1(2v/ 3)2 + 126161arctg √− arctg √ = α0 ,sin ξ0 +π2π3321πsin ξ0 +arctg √= (α0 + 1)263sin ξ0 +1/21/2и, наконец,"√# 13 πξ0 = arcsintg(α0 + 1) −.(14.18)262√Проверка 2.1 при α0 = 0 дает ξ0 = arcsin ( 3/2) tg(π/6) − 1/2 =√arcsin 0 = 0, а при α0 = 1 имеем ξ0 = arcsin ( 3/2) tg(π/3) − 1/2 =arcsin 1 = π/2.238Схема «сочинения» плотности (14.17) такова.

Берем исходную плотность√61fθ (w) =, √ <w< 3π(w2 + 1)3с моделирующей формулой θ0 = tg π(α0 + 1)/6 . Используя линейное√преобразование ϕ(1) (v) = (2/ 3)(v + 1/2), получаем плотность√4 3√, 0 < v < 1fη (v) = π (2(v + 1/2)/ 3)2 + 1√и моделирующую формулу η0 =3 tg π(α0 + 1)/6 − 1 /2. Наконец,преобразование ϕ(2) (u) = sin u дает плотность (14.17) и моделирующуюформулу (14.18). Описание примера А5 закончено.Отметим, что порядок преобразований при «сочинении» плотностиявляется обратным к порядку замен при выводе элементарной моделирующей формулы.

В дальнейшем, если плотность конструируетсясогласно технологии А, мы будем приводить только вывод моделирующих формул, не формулируя достаточно очевидных соображений о«сочинении» плотности.Внимание: при выполнении семестрового домашнего задания не нужно описывать процедуры «сочинения» элементарных плотностей на основе последовательных замен ϕ(u), т. е.соответствующие примеры должны быть оформлены, как следующиепримеры А6 и А7.ПРИМЕР А6 (3 балла; [13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =3√, 0 < u < 3.(u + 3) 9 − u2Решая уравнение (14.1) для заданной плотности, последовательнополучаем:Z ξ0Z ξ0 r3 du1 3+u6√= α0 ,×du = α0 ,223−u(u+3)2(u+3)9−u00Z (3−ξ0 )/(3+ξ0 )Z ξ03−udv1q√ = α0 ,d −= α0 , −3+u3−u2v102 3+u239s−3 − ξ0+ 1 = α0 ,3 + ξ03 − ξ0= (α00 )2 , где α00 = 1 − α0 ,3 + ξ0и, наконец,ξ0 =3(1 − (α00 )2 ).1 + (α00 )2Проверка 2.1 при α0 = 0 дает α00 = 1 и ξ0 = 3(1 − 12 )/(1 + 12 ) = 0, апри α0 = 1 имеем α00 = 0 и ξ0 = 3(1 − 02 )/(1 + 02 ) = 3.

Описание примераА6 закончено.ПРИМЕР А7 (3 балла; [13]). Пусть требуется построить формулуметода обратной функции распределения для выборочного значения ξ0случайной величины ξ, имеющей плотность распределенияfξ (u) =8 sin u cos u, 0 < u < π/2.(sin u + 1)3Решая уравнение (14.1) для заданной плотности, последовательнополучаем:Z ξ0Z ξ08 sin u cos u du8 sin u d sin u=α,= α0 ,03(sin u + 1)(sin u + 1)300Z sin ξ0Z sin ξ0Z sin ξ0((8v + 8) − 8) dv8 d(v + 1)8 d(v + 1)=α,−= α0 ,032(v+1)(v+1)(v + 1)3000 48−4 + −+ 8 = α0 , t2 − 2t − C = 0,(sin ξ0 + 1)2sin ξ0 + 1где t = 1/(sin ξ0 + 1) и C = (α0 − 4)/4.

Дискриминант последнего квадратного уравнения равен D = 4 + α0 − 4 = α0 . Тогда получаем√√2 ± α0∓ α021=или sin ξ0 =√ −1=√ .sin ξ0 + 122 ± α02 ± α0Знак «минус» в последнем выражении не годится, так как из условийзадачи следует, что sin ξ0 неотрицателен. Поэтому √α0.ξ0 = arcsin√2 − α0√ √Проверка 2.1 при α0 = 0 дает ξ0 = arcsin 0/(2− 0) = arcsin 0 = 0,√ √а при α0 = 1 имеем ξ0 = arcsin 1/(2 − 1) = arcsin 1 = π/2. Описаниепримера А7 закончено.24014.3.Технологияраспределенного(взвешенного)параметра.

Решение и конструирование задач по теме«Моделирование двумерного вектора». Рассмотрим возможностипостроения совместных плотностей f(ξ,η) (u, v) двумерных векторов (ξ, η)с зависимыми компонентами, для которых удается построить эффективные алгоритмы моделирования выборочных значений (ξ0 , η0 ).Согласно утверждению 2.1 и формулам (2.4)–(2.7), для плотностиf(ξ,η) (u, v) справедливы два представленияf(ξ,η) (u, v);fξ (u)(14.19)Zf(ξ,η) (u, v).f(ξ,η) (u, v) = fη (v)fξ (u|v); fη (v) = f(ξ,η) (u, v) du, fξ (u|v) =fη (v)(14.20)Представлению (14.19) соответствует алгоритм моделирования значений (ξ0 , η0 ) типа алгоритма 2.1: сначала моделируем выборочное значение ξ0 согласно плотности fξ (u), а затемреализуемвыборочное значение η0 согласно плотности f(ξ,η) ξ0 , v /fξ ξ0 .Аналогично для представления (14.20) используется алгоритм 2.2:сначала моделируется выборочное значение η0 согласно плотностиfη (v), а затемреализуетсявыборочное значение ξ0 согласно плотности f(ξ,η) u, η0 /fη η0 .При конструировании задач по моделированию двумерного векторанужно иметь возможность получать вектор с зависимыми компонентами (для случая независимых компонент получается «двойное» упражнение по теме «Метод обратной функции распределения»), причем желательно, чтобы методы типа алгоритмов 2.1 и 2.2 были бы не равнозначны в смысле эффективности моделирования (нужно, чтобы толькоодин из них был экономичным).Такие свойства алгоритмов можно получить с помощью следующей технологии распределенного («взвешенного») параметра,основанной на соображениях о рандомизации параметра из подраздела 3.2 данного пособия.ТЕХНОЛОГИЯ Б [13].

Рассмотрим элементарную плотность распределения fη (v; λ), u ∈ (c, d), зависящую от параметра λ, допустимые значения которого принадлежат интервалу (A, B).Элементарность распределения означает существование простой(элементарной) формулы η0 = ψη (α0 ; λ), α0 ∈ U (0, 1) для полученияZf(ξ,η) (u, v) = fξ (u)fη (v|u); fξ (u) =f(ξ,η) (u, v) dv, fη (v|u) =241выборочного значения случайной величины η (здесь ψη (.) – композицияэлементарных функций).Рассмотрим также еще одну элементарную плотность fξ (v) случайной величины ξ, принимающей значения в интервале (a, b) ⊆ (A, B);при этом имеется соответствующая элементарная моделирующаяформула ξ0 = ψξ (α0 ), α0 ∈ U (0, 1).Теперь поставим задачу построения эффективного (экономичного) алгоритма моделирования выборочного значения (ξ0 , η0 ) двумерногослучайного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределенияf(ξ,η) (u, v) = fξ (u) × fη (v; u), (u, v) ∈ G = {(u, v) : a < u < b; c < v < d}.(14.21)Это результат формального умножения плотностей fξ (u) иfη (v; u) (здесь происходит подстановка переменной u вместо параметра λ).В представлении (14.19) для плотности (14.21) имеемfη (v|u) = fη (v; u).Для этого представления получаем эффективный алгоритм 2.1:ξ0 = ψξ (α1 ), η0 = ψη (α2 ; ξ0 ); α1 , α2 ∈ U (0, 1).(14.22)Для представления (14.20) плотности (14.21) эффективных формул типа (14.22) построить, как правило, не удается.ЗАМЕЧАНИЕ 14.3 [13].

Если составителю моделируемой плотностидвумерного вектора хочется, чтобы эффективный алгоритм давало быпредставление (14.20), нужно выбрать элементарную плотность распределения компоненты ξ вида fξ (u; λ), u ∈ (a, b), зависящую от параметра λ,допустимые значения которого принадлежат интервалу (C, D); этой плотности должна соответствовать моделирующая формула ξ0 = ψξ (α0 ; λ).Далее выбирается элементарная плотность fη (v); v ∈ (c, d) ⊆ (C, D) смоделирующей формулой η0 = ψη (α0 ), α0 ∈ U (0, 1).Ставится задача построения эффективного алгоритма реализации выборочного значения (ξ0 , η0 ) двумерного случайного вектора (ξ, η), имеющего плотность распределенияf(ξ,η) (u, v) = fη (v) × fξ (u; v), (u, v) ∈ G = {(u, v) : a < u < b; c < v < d}.(14.23)Этот алгоритм эквивалентен следующему аналогу алгоритма 2.2:η0 = ψη (α1 ),ξ0 = ψξ (α2 ; η0 ); α1 , α2 ∈ U (0, 1).242(14.24)Примером применения технологии Б (точнее, ее версии из замечания 14.3) является плотностьf(ξ,η) (u, v) =1 −uvve,2u > 0, 0 < v < 2(14.25)из примера 2.3 (см.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6710
Авторов
на СтудИзбе
287
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее