1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Íàïðèìåð, âûáðàâˆtdt0 A0 (t, x),χ(t, x) = χ(x) −0ìû ìîæåì äîáèòüñÿ ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ (ìû îïóñêàåì ó ïðåîáðàçîâàííîãî ïîòåíöèàëà øòðèõ)Êóëîíîâñêàÿ êàëèáðîâêàA0 (t, x) = 0,div A(t, x) = 0(3.3)Âûÿñíèòü, êàêîìó óñëîâèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèÿ χ(x) è êàê ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ div A(t, x) = 0.Óïðàæíåíèå 3.1.Òàêîé âûáîð ïîòåíöèàëîâ íàçûâàåòñÿ êóëîíîâñêîé êàëèáðîâñêîé.
Äàëåå ìûáóäåì èñïîëüçîâàòü èìåííî òàêîé âûáîð âåêòîð-ïîòåíöèàëà. Òîãäà ôîðìóëû(3.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü êàêE = − Ȧ ,H = rot A .(3.4)Ïîäñòàâèâ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â ïåðâóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (3.2), ïîëó÷èì∇ · Ȧ = 0,∇ × (∇ × A) = −Ä(3.5)3.1. ÊÂÀÍÒÎÂÀÍÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß91Ïåðâîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ â íàøåé êàëèáðîâêå àâòîìàòè÷åñêè, à âòîðîåïðåîáðàçóåòñÿ âdefÄ−∆A = A = 0∇ × (∇ × A) = ∇ · (∇ · A) − ∆A èdiv A(t, x) = 0. Èòàê, ìû èìååì íà âåêòîð-ïîòåíöèàë äâà óðàâíåíèÿÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîéóðàâíåíèåì∇·A =0A = 0,3.1.2(3.6)Íîðìàëüíûå ìîäû, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â ïóñòîòå.ÏîäñòàíîâêîéA = e · e−iωt+ikx ,ýòè óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè:ω 2 − k2 = 0,Ïåðâîå óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿe · k = 0.ω = ±|k|Áóäåì âñåãäà ñ÷èòàòüω =|k|,àçíàê ïèñàòü ÿâíî.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (3.6) ñâîäèòñÿ ê ïðîèçâîëüíîé ñóïåðïîçèöèè ðåøåíèé âèäàäàííîìke ìîæåòk), áóäåìâåêòîðïåíäèêóëÿðíûõe · e±(−iωt+ikx)ñ ïðîèçâîëüíûìèk.Ïîñêîëüêó ïðèïðèíèìàòü äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèÿ (ïåðîáîçíà÷àòüekσ ,ãäåσ = 1, 2.Ïðè ýòîì ñ÷èòàåì, ÷òîâûáðàííûå âåêòîðà îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó è íîðìèðîâàíû íà åäèíèöó:ekσ · ekσ0 = δσσ0 .Íàïðèìåð, åñëèk = (0, 0, |k|),ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî(3.7)ek1 = (1, 0, 0), ek2 = (0, 1, 0).×òîáû íå èìåòü äåëî ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå ïîìåùåíî â ÿùèê îáúåìàVè ïîýòîìó íà îáùåå ðåøåíèå íóæíî åùå íàêëàäûâàòüãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
Äëÿ íàøèõ äàëüíåéøèé ðàññóæäåíèé ïîòðåáóåòñÿ òîëüêîïîíèìàíèå òîãî, ÷òî, áëàãîäàðÿ ýòèì óñëîâèÿõ, âîëíîâîé âåêòîð ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé. Îáúåì ÿùèêàVÿâëÿåòñÿ ôèêòèâíûìïàðàìåòðîì è â êîíå÷íûõ ôîðìóëàõ áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Åùåìû äîëæíû ïîçàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû âåêòîð-ïîòåíöèàë áûë âåùåñòâåííûì.×òîáû âûïîëíèòü ýòî óñëîâèå, íóæíî ÷òîáû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ðåøåíèÿe · e−iωt+ikx , e∗ · eiωt−ikxâõîäèëè ñ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (3.6) è ïîäðàçóìåâàåìûõ óñëîâèé íà ãðàíèöàõ ÿùèêà èìååò âèäA(x,t) =Xakσ (0)ekσ e−iωt+ikx + a∗kσ (0)e∗kσ eiωt−ikxkσ=Xakσ (t)ekσ eikx + a∗kσ (t)e∗kσ e−ikxkσ(3.8)92ÃËÀÂÀ 3.ÇäåñüÈÇËÓ×ÅÍÈÅ È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀakσ (0) ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå êîýôôèöèåíòû. Âî âòîðîé ñòðî÷akσ (t) = akσ (0)e−iωt .
Äàëåå íàì óäîáíî áóäåò ñ÷èòàòü, ÷òî ekσêå ìû îïðåäåëèëèâåùåñòâåííû. Âûðàçèì (3.8) ÷åðåç âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòü êîýôôèöèåíòîâakσ (t).Òî÷íåå, ââåäåì√√VVQkσ (t) = √ Re akσ (t) = √ (akσ (t) + a∗kσ (t)),π4π√√ω V−iω VPkσ (t) = √ Im akσ (t) = √(akσ (t) − a∗kσ (t)).π4πÂûðàæàÿ ÷åðåç ýòè ïåðåìåííûå îáùåå ðåøåíèå, ïîëó÷àåìrA(x,t) =4π X1ekσ Qkσ (t) cos kx − Pkσ (t) sin kx .Vω(3.9)kσÇäåñü ìû ñ÷èòàëè, ÷òî âåêòîðà−iωakσ (t)ekσâåùåñòâåííû. Çàìåòèì, ÷òî èçȧkσ (t) =ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òîQ̇kσ (t) = Pkσ (t)Ṗkσ (t) = −ω 2 Qkσ (t).(3.10)Íàîáîðîò, ýòèõ óðàâíåíèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè îáùåãî ðåøåíèÿ (3.9). Èñïîëüçóÿ (3.4), ïîëó÷àåì äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî èìàãíèòíîãî ïîëåér4π Xekσ [Pkσ (t) cos kx + ωQkσ (t) sin kx]Vkσr4π X1H(x,t) = −(k × ekσ ) Qkσ (t) sin kx + Pkσ (t) cos kxVωE(x,t) = −kσÂñïîìíèì òåïåðü êàê âûãëÿäèò ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:ˆE=dxE2 + H28πÂêëàä ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê:ˆdxE21=8π2VˆdxXXkσ k0 σ 00(ekσ · ek0 σ0 )[Pkσ (t) cos kx + ωQkσ (t) sin kx]× [Pk0 σ0 (t) cos k x + ωQk0 σ (t) sin k0 x]3.1.
ÊÂÀÍÒÎÂÀÍÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËßÈíòåðôåðåíöèÿ ðàçíûõ ìîä (÷ëåíîâ ñk 6= k0 )93çàíóëÿåòñÿ ïîñëå èíòåãðèðî-âàíèÿ è ìû ïîëó÷àåì ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (3.7)ˆdxˆE21=8π2VdxX[Pkσ (t) cos kx + ωQkσ (t) sin kx]kσ× [Pkσ (t) cos kx + ωQkσ (t) sin kx]1X 2Pkσ (t) cos2 kx + ω 2 Q2kσ (t) sin2 kx=2kσ+ 2ωQkσ (t)Pkσ (t)hsin kx cos kxi1 X 2Pkσ (t) + ω 2 Q2kσ (t)=4kσÇäåñüh.
. .i îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå ïî îáúåìó. Âêëàä ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ýíåð-ãèþ, êîíå÷íî, òàêîé æå, ïîýòîìó ìû ïîëó÷àåìE=XEkσkσX P 2 (t) ω 2 Q2 (t) kσkσ=+22(3.11)kσÊàæäûé ÷ëåí â ñóììå ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè îïðåäåëåííîé ìîäûkσ .Ýòà ýíåð-ãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû êîëåáàíèé è ìîæåò ìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî.Óïðàæíåíèå 3.2.ëÿåìûé êàêÏîêàçàòü, ÷òî èìïóëüñ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, îïðåäåˆP=dx(E × H),4πâûðàæàåòñÿ ÷åðåç êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå êàêP=XPkσ =kσ3.1.3X P 2 (t) ω 2 Q2 (t) kkσkσ+22ωkσÃàìèëüòîíèàí, êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿÒåïåðü óæå íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (3.10) è ýíåðãèÿ(3.11) ñëåäóþò èç ãàìèëüòîíèàíàHem =XkσHkσ =X P2kσkσ2+ω 2 Q2kσ,2(3.12)94ÃËÀÂÀ 3.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀQkσ è Pkσ êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòàkσ . Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿïðè÷åììîäåè èìïóëüñ, ñîîòâåòñòâóþùèå∂H= Pkσ ,∂Pkσ∂H=−= −ω 2 Qkσ∂QkσQ̇kσ =Ṗkσñîâïàäàþò ñ (3.10), à ñ ýíåðãèåé è äîêàçûâàòü íå÷åãî.Âñå, ÷òî ìû äåëàëè îòíîñèëîñü ê êëàññè÷åñêîìó ýëåêòðîìàãíèòíîìó ïîëþ. êâàíòîâîé ìåõàíèêå êîîðäèíàòà è èìïóëüñ ïîä÷èíÿþòñÿ êàíîíè÷åñêîìó êîììóòàöèîííîìó ñîîòíîøåíèþ[p, x] = −i} .Ïîñêîëüêó ìû òåïåðü çíàåì êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòó è èìïóëüñ äëÿêàæäîé ìîäû, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ýòè ïåðåìåííûå êîììóòèðóþò àáñîëþòíî òàêæå:Êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ[Qkσ , Qk0 σ0 ] = [Pkσ , Pk0 σ0 ] = 0,[Pkσ , Qk0 σ0 ] = −i}δkk0 δσσ0(3.13) ýòîì è ñîñòîèò ãëàâíûé ïðèíöèï, çàëîæåííûé â îñíîâó âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ.
Ñèìâîëû Êðîíåêåðà â ýòîì ñîîòíîøåíèè îçíà÷àþò, ÷òî ïåðåìåííûå,îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûì ìîäàì, êîììóòèðóþò.3.1.4Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ.Ðåçþìèðóåì, ÷òî ìû äî ñèõ ïîð ñäåëàëè. Âî-ïåðâûõ, ìû ðàçëîæèëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â âàêóóìå íà íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ (ìîäû), âî-âòîðûõ, ìûîïðåäåëèëè êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå è íàëîæèëè íà íèõ êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ. Òî åñòü, ìû çàìåíèëè êëàññè÷åñêèå ïåðåìåííûå íàîïåðàòîðû. Ìû íèêàê íå êàñàëèñü âîïðîñà î òîì, â êàêîì ïðîñòðàíñòâå ýòèîïåðàòîðû äåéñòâóþò.×òîáû ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèì âîïðîñîì, çàìåòèì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí îòäåëü2ω 2 Q2kσPkσÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé2 +2(è åäèíè÷íîé ìàññîé).
Ïðî îñöèëëÿòîð ìû ìíîãî çíàåì èç êóðñà êâàíòî-íîé ìîäûω = |k|Hkσ =âîé ìåõàíèêè. Íàïðèìåð, ìû ñðàçó ìîæåì çàïèñàòü ñïåêòð âîçìîæíûõ ýíåðãèéäàííîé ìîäû:Ekσ = }ω(nkσ + 1/2),(3.14)3.1. ÊÂÀÍÒÎÂÀÍÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËßnkσ = 0, 1, . . .ãäå95ïðîèçâîëüíîå íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî.
Çäåñü ìû óæåâèäèì îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ: â êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå ýíåðãèÿ ìîäû ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî, à ïîñëå êâàíòîâàíèÿ äèñêðåòíî,ïîðöèÿìè}ω .Çàìå÷àíèå(Ôîðìóëà Ïëàíêà) Ïîëó÷èì ôîðìóëó Ïëàíêà. Ìû èñïîëüçóåì òîëüêîÏðè äàííîé òåìïåðàòóðå T âåðîÿòíîñòüñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ñ ýíåðãèåé E ïðîïîðöèîíàëüíà exp (−E/T )îäèí ôàêò èç ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè:. Ñðåäíÿÿ ýíåð-ãèÿ ìîäû òîãäà âû÷èñëÿåòñÿ êàêPnEkσ =e−}ω(n+1/2)/T }ω(n + 1/2)∂P −}ω(n+1/2)/T= T2log∂Ten∞X!e−}ω(n+1/2)/Tn=0∂1}ω11= −Tlog (2 sinh (}ω/(2T ))) = }ω coth= }ω+ }ω∂T22T2e T −12ÏðèT → 0 âûðàæåíèå ñòðåìèòñÿ ê }ω/2.
Ïî ïðîèñõîæäåíèþ ýòî òà æå ïîëîâèíêà, ÷òîè â (3.14), òî åñòü, ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èëè ýíåðãèÿâàêóóìíûõ êîëåáàíèé. Ýòà ýíåðãèÿ íå íàáëþäàåìà, ïîýòîìó ñðåäíþþ ýíåðãèþ ìîäûîïðåäåëèì áåç1/2:Ekσ =}ωe}ωT−1Íàïîìíèì, ÷òî ïîëå ó íàñ áûëî ïîìåùåíî â îáúåìâû÷èñëÿåòñÿ òàê:V,è ïîýòîìó ïëîòíîñòü ýíåðãèè1 XEkσI=Vkσ×òîáû ïåðåéòè ê ïðåäåëóV → ∞,ðîâàíèå ïî ôàçîâîìó îáúåìóñóììèðîâàíèå ïîkíóæíî çàìåíèòü íà èíòåãðè-V dk:(2π)3ˆˆV dk X}ωdkE=2kσ}ω|{z}(2π)3 σ(2π)3 e T − 1Pσˆˆ4π ω 2 dω }ωω2}ω= |{z}2=dω}ω32 c3 }ωπ(2πc)TTe−1e−1PI=1VσÂèäèì, ÷òî, äåéñòâèòåëüíî, ñïåêòðàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàâíàIω =ω2}ωπ 2 c3 e }ωT − 1Òåïåðü íàì íóæíî îïðåäåëèòü ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé, â êîòîðîì äåéñòâóþòîïåðàòîðûQkσèPkσ .Îïÿòü æå, àíàëîãèÿ ñ îñöèëëÿòîðîì ïîäñêàçûâàåò íàìñïîñîá äåéñòâèÿ.
Îïðåäåëèì îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿckσ = √1(ωQkσ + iPkσ ),2ω}c†kσ = √1(ωQkσ − iPkσ ).2ω}96ÃËÀÂÀ 3.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀÈõ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ëåãêî îïðåäåëèòü, ïîëüçóÿñü êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè (3.13):hi[ckσ , ck0 σ0 ] = c†kσ , c†k0 σ0 = 0,hickσ , c†k0 σ0 = δkk0 δσσ0 .Âûðàæåííûé ÷åðåç íèõ ãàìèëüòîíèàí èìååò âèäÃàìèëüòîíèàí ý/ì ïîëÿ ÷åðåç îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ-óíè÷òîæåíèÿHem =XHkσ =}ω c†kσ ckσ + 1/2Xkσ(3.15)kσÍå çàâèñÿùèé îò ñîñòîÿíèÿ, íî áåñêîíå÷íûé âêëàä íóëåâûõ êîëåáàíèéPkσ}ω/2îïðåäåëÿåò íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè ïîëÿ è äàëåå ìû åãî ó÷èòûâàòü íå áóäåì, òîåñòü, äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òîHem =XHkσ =kσX}ωc†kσ ckσ(3.16)kσÒî÷íî òàê æå ïîëó÷àåì îïåðàòîð èìïóëüñàP=XPkσ =kσX}k c†kσ ckσkσÀ òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî îñíîâíîå ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà çàíóëÿåòñÿ îïåðàòîðîìóíè÷òîæåíèÿ:cψ0 = 0,è ÷òî âñå âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ïîëó÷àþòñÿ (ìíîãîêðàòíûì) äåéñòâèåì îïåðàòîðà ðîæäåíèÿ:ψ1 ∝ c† ψ0 ,ψ2 ∝ c† ψ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
