1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Íî ìàãíèòîîêòóïîëü íå ïðîõîäèò ïî ïðàâèëàì îòáîðà ïî ïîëíîìó ìîìåíòó, òàê êàê íåëüçÿñëîæèòü ji= 1/2 è j = 3 â jf = 1/2. Ïîýòîìó, â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò äàþò âêëàä òîëüêîìàãíèòîäèïîëüíûå îïåðàòîðû.Ýëåêòðè÷åñêèé êâàäðóïîëüíûé ïåðåõîäÏðåîáðàçóåì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êâàäðóïîëüíîãî ïåðåõîäà àíàëîãè÷íî òîìó,êàê áûë ïðåîáðàçîâàí ìàòðè÷íûé ýëåìåíò äèïîëüíîãî îïåðàòîðà â (3.23). Äëÿýòîãî âû÷èñëèì êîììóòàòîð ãàìèëüòîíèàíà ñ îïåðàòîðîì ýëåêòðè÷åñêîãî êâàä-Qij = e ri rj − 13 δ ij r2 : 2pie} i j1H0 , Qij =, Qij = −r p + pi rj − δ ij (p · r + r · p)2m2m3ie} i j2=−r p + rj pi − δ ij r · p2m3ðóïîëüíîãî ìîìåíòàÂèäèì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ïîëó÷èëè íóæíûé íàì îïåðàòîð.Òîãäà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êâàäðóïîëüíîãî ïåðåõîäà ïðåîáðàçóåì òàêãäåQijfi =ðà.3 Ïðîâåðèòü´ˆe ∗i j i j2 ijj iie k r p + r p − δ r · p ψi (r)2mc kσ3ˆ1jijj ij=−drψf∗ (r)e∗iψi (r) = k e∗ikσ k H0 , Qkσ k Qf i ,}cdefVfE2i =drψf∗ (r)drψf∗ (r)Qij ψi (r) ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êâàäðóïîëüíîãî îïåðàòî-3.2.
ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ111Îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé E2 è M 1 ïåðåõîäîâ.Îöåíèì îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî êâàäðóïîëüíîãî è ìàãíèòîäèïîëüíîãî ïåðåõîäîâ. Ýòî îòíîøåíèå ðàâíî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû îòíîøåíèþêâàäðàòîâ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ:Ẇ E2∼Ẇ M 1kQf iµf i2∼k ea2BµB42k e m}2 e4=!2e}mc=}ωRy2Ïîýòîìó, åñëè ðàçíîñòü ýíåðãèé ïîðÿäêà Ðèäáåðãà, âåðîÿòíîñòèE2 è M 1 ïå-ðåõîäîâ îäíîãî ïîðÿäêà. Îäíàêî, êàê ìû óæå óïîìèíàëè è êàê áóäåò î÷åâèäíîèç ïðàâèë îòáîðà, ìàãíèòîäèïîëüíûå ïåðåõîäû ìåæäó ðàçíûìè ñîñòîÿíèÿìèãëàâíîé ñòðóêòóðû (ñîñòîÿíèÿìè ñ ðàçíûìèn) ïðèáëèæåííî çàïðåùåíû, à çíà-÷èò, ñèëüíî ïîäàâëåíû. Ïîýòîìó, åñëè òî÷íûå ïðàâèëà îòáîðà ðàçðåøàþò îáàïåðåõîäàE2èM 1,â àòîìíîé ôèçèêå îáÿçàòåëüíî äîìèíèðóåò òîëüêî îäèí èçýòèõ ïåðåõîäîâ: äëÿ ðèäáåðãîâñêèõ ïåðåõîäîâ êâàäðóïîëüíûé, à äëÿ, íàïðèìåð, ïåðåõîäîâ âíóòðè òîíêîé ñòðóêòóðû (òàêèõ êàê2p3/2 → 2p1/2 ) ìàãíèòî-äèïîëüíûé (â ýòîì ñëó÷àå êàê ðàç è ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííîé îöåíêîéẆ E2Ẇ M 1∼}ωRy2∼α2 RyRy2∼ α4 ).Îöåíêà ïåðåõîäîâ ïðîèçâîëüíîé ìóëüòèïîëüíîñòèÏîñêîëüêó êàæäûé ñëåäóþùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíòû ìîæåò óâåëè÷èòüìóëüòèïîëüíîñòü ïåðåõîäà íà 1 è äàåò äîïîëíèòåëüíóþ ìàëîñòükaB ∼ α}ω/Ryâ ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå, ìû ëåãêî ìîæåì îöåíèòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ðàçëè÷íûõ ìóëüòèïîëüíîñòè è òèïà.
Äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõåì2j -ïîëüíûõ ïåðåõîäîâ èìå-Ẇ Ej2(j−1)∼ (kaB )Ẇ E1Íàïðèìåð, äëÿ ðèäáåðãîâñêèõ ïåðåõîäîâ, ïîëó÷àåìẆ Ej∼ α2(j−1)Ẇ E1Ìàãíèòíûå ïåðåõîäû ìîæåì îöåíèâàòü àíàëîãè÷íîẆ M j2(j−1)∼ (kaB )M1ẆÍå íóæíî òîëüêî çàáûâàòü î ¾ñëó÷àéíîé¿ ïîäàâëåííîñòè ìàãíèòîäèïîëüíîãî ïåðåõîäà äëÿ ðèäáåðãîâñêèõ ïåðåõîäîâ.112ÃËÀÂÀ 3.3.2.4ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀÏðàâèëà îòáîðàÑôîðìóëèðóåì òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå (èëè íåðåëÿòèâèñòñêèå) ïðàâèëà îòáîðà, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ìóëüòèïîëüíîñòü è òèï (à çíà÷èò, è ïîçâîëÿþò îöåíèòüâåðîÿòíîñòü) ðàçëè÷íûõ ïåðåõîäîâ.
Òî÷íûå ïðàâèëà, êàê ñëåäóåò èç íàçâàíèÿ,ñëåäóþò èç òî÷íûõ ñèììåòðèé. Ýòî ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé è ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ÷åòíîñòè. Ïåðâàÿ äàåò ïðàâèëî îòáîðà ïî ïîëíîìó ìîìåíòó. Åñëè ìû îáîçíà÷èì ìîìåíòû íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ çàà ìóëüòèïîëüíîñòü ïåðåõîäà çà2j ,jièjf ,òî, î÷åâèäíî, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò çàíóëÿåò-ji è j òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü jf . Èç ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ|ji − j| 6 jf 6 ji + j , êîòîðîå, êîíå÷íî, ìîæíî çàïèñàòü èâ âèäå |ji − jf | 6 j 6 ji + jf .
Äðóãèìè ñëîâàìè, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü, õîòÿáû âûðîæäåííûé, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè j, ji , jf . Ïðàâèëà îòáîðà ïî ÷åòíî-ñÿ, åñëè íåëüçÿ ñëîæèòüïîëó÷àåì óñëîâèåñòè ïðîòèâîïîëîæíû äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è äëÿ ìàãíèòíûõ ïåðåõîäîâ. Íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé îïåðàòîð ìåíÿåò çíàê ïðè îòðàæåíèè, ïîýòîìó÷òîáû áûë âîçìîæåíE1ïåðåõîä ÷åòíîñòü íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ äîëæíà áûòüïðîòèâîïîëîæíà ÷åòíîñòè êîíå÷íîãî.
Ìàãíèòíûé æå äèïîëüíûé ìîìåíò íàîáîðîò, áóäó÷è àêñèàëüíûì âåêòîðîì, íå ìåíÿåòñÿ ïðè îòðàæåíèè, ïîýòîìó ÷òîáûáûë âîçìîæåíM1ïåðåõîä ÷åòíîñòü íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà÷åòíîñòè êîíå÷íîãî.Ðåçþìèðóåì âûøåñêàçàííîå â âèäå ñëåäóþùèõ ïðàâèë îòáîðà:Òî÷íûå ïðàâèëà îòáîðà|ji − jf | 6 j 6 ji + jfjPi Pf = (−1)|ji − jf | 6 j 6 ji + jfj+1Pi Pf = (−1)Ej :Mj :Åñëè ýòè óñëîâèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðåõîä íå èäåò.Îáñóäèì ¾ïðèáëèæåííûå¿ ïðàâèëà îòáîðà. Äåëî â òîì, ÷òî â íåðåëÿòèâèçìå ñîõðàíÿþòñÿ îòäåëüíî îðáèòàëüíûé ìîìåíò è ñïèí. Êîíå÷íî, ðåëÿòèâèñòñêèå ïîïðàâêè (êîíêðåòíî, ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå∝ ls)ïðèâîäÿò êíàðóøåíèþ ïðèâîäèìûõ íèæå ïðàâèë, íî ýòî íàðóøåíèå âî âñÿêîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ñèëüíîìó ïîäàâëåíèþ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ.
Åñòåñòâåííàÿ ìàëîñòü,õàðàêòåðèçóþùàÿ ýòî ïîäàâëåíèå âåëè÷èíà ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ, ò.å.2(v/c) ∼ α2(â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå).Èòàê, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îðáèòàëüíûé ìîìåíò ñîõðàíÿåòñÿ è ó÷èòûâàÿ, ÷òîýëåêòðè÷åñêèå ìóëüòèïîëüíûå ïåðåõîäû íå äåéñòâóþò íà ñïèíîâóþ âîëíîâóþ3.2. ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ113ôóíêöèþ, ïîëó÷àåìÏðèáëèæåííûå ïðàâèëà îòáîðàEj :Åñëè ìû ó÷òåì, ÷òî|li − lf | 6 j 6 li + lfsi = sfP = (−1)l, òî ïåðâîå ïðàâèëî ìîæíî íåìíîãî êîíêðåòè-[|li − lf |, li + lf ], à åùå è èìåòüj = |li − lf |, |li − lf | + 2, . . . , li + lf . Èëè ìîæíî òî æåñàìîå ñêàçàòü ïî-äðóãîìó: lf äîëæíî èìåòü òó æå ÷åòíîñòü, ÷òî è li + j . Íàïðèìåð, äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî ïåðåõîäà äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ lf = li ± 1.jÄëÿ ìàãíèòíûõ 2 -ïåðåõîäîâ ïðèáëèæåííûå ïðàâèëà ìû âûâîäèòü íå áó-çèðîâàòü:jäîëæíî áûòü íå ïðîñòî â èíòåðâàëåòó æå ÷åòíîñòü, ÷òî è li + lf :äåì.
Ïîëó÷èì ëèøü ïðèáëèæåííûå ïðàâèëà äëÿ íàèáîëåå âàæíîãî ìàãíèòîäèïîëüíîãî ïåðåõîäà. Äðóãèìè ñëîâàìè, îáñóäèì ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ìàòðè÷íîãîýëåìåíòà îïåðàòîðàµtot = µ + µB l =µσ + µB lÇàìåòèì, ÷òî îáà ñëàãàåìûõ êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðàìèl2ès2 .Ïîýòîìóäîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâàli = lf ,si = sf(3.29)Êðîìå òîãî, îáà ñëàãàåìûõ íå äåéñòâóþò íà ðàäèàëüíóþ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñëåäñòâèå ïðàâèë îòáîðà (3.29), îðòîãîíàëüíîñòü íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæåò îáåñïå÷èâàòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åòðàäèàëüíûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé. Ïîýòîìó åñëè ðàäèàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî óýòèõ ôóíêöèé ðàçëè÷íî, ìàòðè÷íûé ýëåìåíòåì ðàâåíñòâî ðàäèàëüíûõ ÷èñåëíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåëni = nf .nri = nrfµtotfiçàíóëÿåòñÿ. Òî åñòü, ìû èìå-èëè àíàëîãè÷íîå ðàâåíñòâî äëÿ ãëàâ-Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííîå êâàíòîâîå ÷èñëî,êîòîðîå ìîæåò (è äîëæíî) îòëè÷àòü íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ýòî ïîëíûé ìîìåíò, ò.å.ji 6= jf .Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ñïèí-îðáèòàëüíîåâçàèìîäåéñòâèå âñå-òàêè ïðèâîäèò ê íåáîëüøîé ðàçíèöå ýíåðãèé ñîñòîÿíèé ñj .
ÏîýòîìóM 1-ïåðåõîäà:ðàçëè÷íûìèäëÿìû èìååì ñëåäóþùèå ïðèáëèæåííûå ïðàâèëà îòáîðàÏðèáëèæåííûå ïðàâèëà îòáîðàM1 :li = lf ,si = sf ,ji 6= jfn i = nf114ÃËÀÂÀ 3.3.2.5ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀÅñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèéÎáñóäèì ñëåäóþùèé âîïðîñ. Ïóñòü ó íàñ åñòü àíñàìáëü àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ âïåðâîì âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè, è ìû äåòåêòèðóåì èçëó÷åíèå ïðè èõ ïåðåõîäàõâ îñíîâíîå ñîñòîÿíèå. Òåïëîâûì äâèæåíèåì àòîìîâ è ýôôåêòàìè îòäà÷è áóäåòäëÿ ïðîñòîòû ïðåíåáðåãàòü. Êàêîé áóäåò ñïåêòð ó ýòîãî èçëó÷åíèÿ? Äðóãèìèñëîâàìè, êàêîâà âåðîÿòíîñòü ïðè òàêîì ïåðåõîäå èçëó÷åíèÿ ôîòîíà ñ íåêîòîðîé÷àñòîòîéω.ßñíî, ÷òî â îñíîâíîì èçëó÷àþòñÿ ôîòîíû ñ ÷àñòîòîé, íàõîäÿùåé-ñÿ âáëèçè ÷àñòîòû ïåðåõîäàω10 = (E1 − E0 )/}.Ìîæåò äàæå ïîêàçàòüñÿ, ÷òîâñëåäñòâèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ýòà ÷àñòîòà äîëæíà òî÷íî ñîâïàäàòü ñ÷àñòîòîé ïåðåõîäà.
Îäíàêî ýòî íå òàê. Äåëî â òîì, ÷òî, êàê óæå îáúÿñíÿëîñü,âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå àòîìà áîëüøå íå ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñ îïðåäåëåííîéýíåðãèåé, òàê ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âîâñå íå äèêòóåò ðàâåíñòâîω = ω10 .×òîáû íàéòè ôîðìó ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ, ðàññìîòðèì íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîìH = H 0 + V,ñì.(3.17):i}∂t Ψ(t) = HΨ(t).(3.30)ßâíûé âèä ãàìèëüòîíèàíà íàì íå ïîíàäîáèòüñÿ. Ïîñêîëüêó íåâîçìóùåííûéãàìèëüòîíèàíH0 = Hem + H0ðàñïàäàåòñÿ íà ñóììó ãàìèëüòîíèàíîâ ïîëÿ è÷àñòèöû, åãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ìîãóò áûòü âûáðàíû â âèäå ïðîèçâåäåíèÿòàêîâûõ äëÿH0HemèH0 .Âûðàæàÿñü òî÷íî, ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéèìååò âèä (ïî-êðàéíåé ìåðå, ìîæåò áûòü âûáðàí â òàêîì âèäå):Ψ0ν = ψn (x) × |n1 , n2 .
. .i,ãäå èíäåêñνíóìåðóåò êàêèì-òî âûáðàííûì îáðàçîì âñå ñîñòîÿíèÿ. Íàïîì-íèì, ÷òî ïîëå ñ÷èòàåòñÿ çàêëþ÷åííûì â ÿùèê, ïîýòîìóñïåêòð. Íåâîçìóùåííàÿ ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿνHemèìååò äèñêðåòíûéâû÷èñëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî:Eν Ψ0ν = H0 Ψ0ν = (H0 ψn (x)) × |n1 , n2 . . .i + ψn (x) × (Hem |n1 , n2 . . .i)= (En + n1 }ω1 + n2 }ω2 + . . .)Ψ0ν .Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.30) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñîáñòâåííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíàH0ñ êîýôôèöè-åíòàìè, çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè:Ψ(t) =Xaν (t)Ψ0ν (t) =νXe−iEν t/} aν (t)Ψ0ν =νXe−iEν t/} aν (t)|νi,νãäå â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû ïåðåøëè ê ket îáîçíà÷åíèþ. Íîðìèðîâî÷íîå óñëîâèå âûãëÿäèò, êîíå÷íî, êàêXν2|aν (t)| = 13.2.
ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ115Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â óðàâíåíèå, ïîëó÷àåìXe−iEν t/} |νii}∂t aν (t) =Xνe−iEν t/} V|νiaν (t)νÓìíîæèâ ýòî óðàâíåíèå ñïðàâà íài}∂t aµ (t) =Xhµ|,ïîëó÷àåìe−i(Eν −Eµ )t/} hµ|V|νiaν (t)(3.31)νÝòî óðàâíåíèå, êîíå÷íî, â òî÷íîñòè òî æå ñàìîå, êîòîðîå èñïîëüçîâàëîñü âêóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ïîä äåéñòâèåì çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè âîçìóùåíèÿ. Óðàâíåíèå íóæíî äîïîëíèòü íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïî óñëîâèþ â íà÷àëå ó íàñ áûë àòîì â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè, àôîòîíîâ íå áûëî. Ýòî ñîñòîÿíèå îáîçíà÷èì|1i.Èòàê, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òàêèåa1 (0) = 1, aν6=1 (0) = 0 ñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (3.31) ïðèâå-aν6=1 (t > 0) 6= 0, à çíà÷èò, êàê ñëåäóåò èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè,|a1 (t > 0)| äîëæåí áûòü ìåíüøå åäèíèöû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
