1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ñðàâíèòü ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ðåçóëüòàòîì.Óïðàæíåíèå 2.2.56ÃËÀÂÀ 2.2.1.3ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÑèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-ÃîðäîíàÍåïðåðûâíûìè ñèììåòðèÿìè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëîðåíöåâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòüè êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Ïðè ëîðåíöåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîëÿ ìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìφ(x) → φ0 (x) = φ Λ−1 xAµ (x) → A0µ (x) = Λµ ν Aν Λ−1 xÌîæíî ÿâíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äëÿ øòðèõîâàííûõ ïîëåé âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà.Óïðàæíåíèå 2.3.Ôîêà-Ãîðäîíà.Ïðîâåðèòü ëîðåíöåâñêóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ëåãêî ïðîâåðèòü òàêæå è êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, ò.å., èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèéÊàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ ÊÔÃφ(x) → φ0 (x) = e−ieχ(x) φ(x)Aµ (x) →Óïðàæíåíèå 2.4.Ôîêà-ÃîðäîíàA0µ (x)(2.5)= Aµ (x) + ∂µ χ(x)Ïðîâåðèòü êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Íóæíî çàìåòèòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå çàâèñèò îò ôóíêöèèχ(x),òîãäà êàê ëîðåíöåâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé ìàòðèöû.Ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà ãîðàçäî áîëüøå.Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà:P, T, Cïðåîáðàçî-âàíèÿ.
Îíè îïðåäåëÿþòñÿ òàêφ(x) → φ0 (x) = φ(t, −x)A0 → A00 (x) = A0 (t, −x)A(x) → A0 (x) = −A(t, −x)φ(x) → φ0 (x) = φ∗ (x)C:µA (x) → A0µ (x) = −Aµ (x) φ(x) → φ0 (x) = φ∗ (−t, x)A0 (x) → A00 (x) = A0 (−t, x)T :A(x) → A0 (x) = −A(−t, x)P :Íåñêîëüêî íåîæèäàííûé âèäT -ïðåîáðàçîâàíèÿÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òðåáîâà-íèÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé, ñ òåì, ÷òîáû íà÷àëüíûå èêîíå÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè.Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíàîòíîñèòåëüíî P, C, T .Óïðàæíåíèå 2.5.2.1.
ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÊËÅÉÍÀ-ÔÎÊÀ-ÃÎÐÄÎÍÀ2.1.457Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîêφ∗Óìíîæèì óðàâíåíèå (2.1) ñëåâà íàè âû÷òåì èç ïîëó÷èâøåãîñÿ óðàâíåíèÿåãî ñîïðÿæåíèå. Ïîëó÷èì220 = φ∗ (i∂ − eA) − m2 φ − φ (−i∂ − eA) − m2 φ∗0 = −φ∗ φ + φφ∗ − ieφ∗ ∂µ (Aµ φ) − ieφ∗ Aµ ∂µ φ − ieφ∂µ (Aµ φ∗ ) − ieφAµ ∂µ φ∗0 = i∂µ [φ∗ i∂µ φ − φi∂µ φ∗ − 2φ∗ eAµ φ]Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ←→jµ = φ∗ i ∂ µ − 2eAµ φ(2.6)ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíÿþùèìñÿ 4-òîêîì, òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè∂t j 0 + div j = 0.Âåëè÷èíàj0îïðåäåëÿåò ñîõðàíÿþùóþñÿ âåëè÷èíóòèâèçìå ìû ïðèäàâàëè íóëåâîé êîìïîíåíòå òîêàíîñòè, íî òåïåðü ñ÷èòàòü âåëè÷èíój02|ψ|Q =´drj 0.
 íåðåëÿ-ñìûñë ïëîòíîñòè âåðîÿò-ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè íå ïîëó÷àåòñÿ.Äåëî â òîì, ÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé. Íàïðèìåð, â îòñóòñòâèèýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿj 0 = ±2ε äëÿ ïëîñêîé âîëíû e∓ipx . Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü,÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ (2.6) ñîâïàäàåò ñ ïëîòíîñòüþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà (íóëåâàÿ êîìïîíåíòà ñ ïëîòíîñòüþ çàðÿäà).
×òîáû ïîëó÷èòü ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê ñ ó÷åòîì ýòîãî ìíîæèòåëÿ, ìîæíî ïðîâàðüèðîâàòüäåéñòâèåSÊà =´ih22d4 x |(i∂ − eA)φ| − m2 |φ|µjem=−ïî âåêòîð-ïîòåíöèàëó. Ïîëó÷àåìih←→δSÊÃ= ej µ = eφ∗ i ∂ µ − 2eAµ φδAµÊîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, êàê ìû âèäèì, ðàâåí çàðÿäóe. Çàìåòèì,÷òî íàéäåííûé òîê çàâèñèò îò ïîëÿ.2.1.5Íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå×òîáû ïîëó÷èòü íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå äëÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-ÔîêàÃîðäîíà, ñäåëàåì çàìåíóφ(t, x) = ϕ(t, x)e−imtè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîϕ(t, x)ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû58ÃËÀÂÀ 2.ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßîòëè÷àåòñÿ îò ýíåðãèè ïîêîÿmíà ìàëóþ âåëè÷èíó. Òîãäà ïîëó÷èì222i∂t − eA0 φ = i∂t − eA0 e−imt ϕ = e−imt i∂t + m − eA0 ϕ≈ e−imt m2 + 2m i∂t − eA0 ϕhi2= e−imt (−i∇ − eA) + m2 ϕÑàìûé áîëüøîé ÷ëåím2ñ îáåèõ ñòîðîí ñîêðàùàåòñÿ è, ïîäåëèâ íà2me−imt ,ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà"2(−i∇ − eA)i∂t ϕ = eA +2m0#ϕÑäåëàåì òî æå óïðàæíåíèå è äëÿ òîêà (â ñâîáîäíîì ñëó÷àå):h←→i2ρ = j 0 = eφ∗ i ∂t φ ≈ 2me|ϕ|h ←h ←→i→ij = eφ∗ −i ∇ φ = eϕ∗ −i ∇ ϕ,÷òî îòëè÷àåòñÿ îò íåðåëÿòèâèñòñêîãî òîêà òîëüêî îáùåé íîðìèðîâêîé.Ïîêàçàòü, ÷òî ïåðâàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïîïðàâêà ê ãàìèëüòîíèàíó èìååò âèä4Óïðàæíåíèå 2.6.−(−i∇ − eA),8m3÷òî â ñâîáîäíîì ñëó÷àåp(A = 0) ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè m2 + p2.
Ïîêàçàòü, ÷òî ñ ó÷åòîì ïåðâîé ïîïðàâêèñâÿçü ìåæäó φ è φØ (âîëíîâîé ôóíêöèåé â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà) èìååò âèäe−imti∂t − eA0p2e−imtφ= √1−1−φØ ≈ √φØ2m4m22m2mÈñïîëüçóÿ íàéäåííóþ ïîïðàâêó, âû÷èñëèòü ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè è ñðàâíèòü ñ ðàçëîæåíèåì òî÷íîé ôîðìóëû.2.2Óðàâíåíèå ÄèðàêàÍàïîìíèì, ÷òî îñíîâíîé ïðîáëåìîé, ñ êîòîðîé ìû ñòîëêíóëèñü ïðè èçó÷åíèèóðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà áûëî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé ñ ¾íåïðàâèëüíîé¿ çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ðåøåíèé.
Çíàêîíåîïðåäåëåííîñòü íóëåâîé êîìïîíåíòû ïîñòðîåííîãî ñîõðàíÿþùåãîñÿ òîêà òàêæå ñâÿçàíà ñ ñóùåñòâîâàíèåì îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ðåøåíèé. Ýòè òðóäíîñòè2.2. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄÈÐÀÊÀ59ïðèâåëè Äèðàêà ê ïîïûòêàì (óñïåøíûì) ïîëó÷èòü äðóãîå óðàâíåíèå, êîòîðîå íåèìåëî áû ïîäîáíûõ íåäîñòàòêîâ. Êðîìå òîãî, óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíàîïèñûâàåò ÷àñòèöó ñî ñïèíîì íîëü, òîãäà êàê ñïèí ýëåêòðîíà ðàâíÿåòñÿ1/2. Çà-ðàíåå ïîíÿòíî, ÷òî ñïèíîâàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îáÿçàíà êàê-òî ìåíÿòüñÿïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà. Ýòî âèäíî õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî îíà ìåíÿåòñÿ ïðèïîâîðîòàõ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
Ïîýòîìó çàìåíàφâ óðàâíåíèè Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà íà äâóõêîìïîíåíòíûé ñòîë-áåö íå âûãëÿäèò ïåðñïåêòèâíîé ñ ñàìîãî íà÷àëà.ßñíî, ÷òî íåäîñòàòêè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, â íåêîòîðîé ñòåïåíè, ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãîïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Èäåÿ Äèðàêà ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû íàïèñàòü óðàâíåíèåíà ìíîãîêîìïîíåíòíóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ýëåêòðîíà, êîòîðîå áûëî áû äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè.
Ïîñêîëüêó ìû õîòèìèìåòü ëîðåíö-êîâàðèàíòíîå óðàâíåíèå, îíî äîëæíî áûòü òàêæå è ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî êîîðäèíàòàì.Ôàêòè÷åñêè, îáùèé âèä òàêîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþùèéÓðàâíåíèå Äèðàêà[i∂t − αp − βm]ψ = 0,ãäåαi , β(2.7) íåêîòîðûå ìàòðèöû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþòñëåäóþùèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿìβ 2 = I,αi αj + αj αi = 2δij I,αi β + βαi = 0,(2.8)I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Òîãäà, ïîäåéñòâîâàâ íà óðàâíåíèå îïåðàòîðîì i∂t +αp + βm, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âñåõ êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿãäåóðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà.
Ìîæíî áûëî áû îæèäàòü, êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè äîëæíî áûòü ðàâíî äâóì, êàê â íåðåëÿòèâèñòñêîìñëó÷àå. Îäíàêî ñðàçó æå âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî íàéòè ïîäõîäÿùèå2×2ìàòðèöû íåóäàåòñÿ. Ìèíèìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìàòðèö ðàâíà ÷åòûðåì.Óïðàæíåíèå 2.7.ðàâíà ÷åòûðåì.Ïîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìàòðèö α è βÑòàíäàðòíûé âûáîð ìàòðèö òàêîé:1α =0σ1σ102, α =0σ2σ2003, α =σ3σ30, β=I00−I,(2.9)ãäå ìû èñïîëüçîâàëè áëî÷íóþ ôîðìó çàïèñè,ìàòðèöàσ i σ -ìàòðèöû, I2 × 2.Ïðîâåðèòü, ÷òî ìàòðèöûíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì .Óïðàæíåíèå 2.8.(2.8)(2.9) åäèíè÷íàÿóäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòà-60ÃËÀÂÀ 2.ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÇàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå Äèðàêà ìîæíî çàïèñàòü â øðåäèíãåðîâîì âèäåi∂t ψ = Hψ,ãäå ãàìèëüòîíèàí(2.10)H = αp + βm.×åòûðåõ-êîìïîíåíòíûé ñòîëáåöψ ìû áóäåì íàçûâàòü áèñïèíîðîì. Óäîáíîβ íåâû-çàïèñàòü óðàâíåíèå Äèðàêà â êîâàðèàíòíûõ îáîçíà÷åíèÿõ.
Ïîñêîëüêóðîæäåííàÿ ìàòðèöà, ìû ìîæåì óìíîæèòü íà íåå (2.7) ñëåâà è ïîëó÷èìÓðàâíåíèå Äèðàêà â êîâàðèàíòíîé ôîðìåµ[iγ ∂µ − m]ψ = 0,ãäåγ 0 = β,Ìàòðèöûγµγ = βα .óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì âàæíûì àíòèêîììóòàöèîííûì ñî-îòíîøåíèÿìÀíòèêîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿγ -ìàòðèödef{γ µ , γ ν } = γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν I.Ëþáîé íàáîð ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòèì ñîîòíîøåíèÿì, ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì, íî ìû âñåãäà áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå, âêîòîðîì0γ =I00−I,γ=0−σσ0.Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìàòðèö Äèðàêà â ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè:• γ 0† = γ 0 , γ † = −γ∗• γ 0,1,3 = γ 0,1,3 , γ 2∗ = −γ 2•Ïîëíûé íàáîð îáðàçóþò 16 ìàòðèöI,2.2.1γµ,σ µν =1 µ ν 5 µ 5[γ , γ ], γ γ , γ = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 32Ïëîñêèå âîëíûÍàéäåì îáùåå ðåøåíèå ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà.
Êàê îáû÷íî äëÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè èùåì ðåøåíèå ââèäå ïëîñêèõ âîëí. Ïîäñòàâëÿåì äëÿ äâóõ çíàêîâ ýíåðãèèψ(x) = u(p)e−ipx è ψ(x) = v(p)eipx .2.2. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄÈÐÀÊÀ61u(p), v(p), ïîëó÷àåì σp√χλε+mvλ (p) = ε + m, λ = 1, 2χλÐåøàÿ ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ äëÿ áèñïèíîðîâuλ (p) =√ε+mϕλσpε+m ϕλ,λ íóìåðóåò äâà âîçìîæíûõ íåçàâèñèìûõ âûáîðàϕ (è χ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
