1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. 2 − (kr0 )4+ k221 + (kα)1 + (kα)k ∼ 1/αñàìûé ìàëåíüêèé óäåðæàííûé ÷ëåí èìååò ïîðÿäîêÂêëàä æå îðáèòàëüíûõ ìîìåíòîâêàê42a2 (ka) ∼ a2 (a/α)4l 6= 0r02 ∼ a2 .â ñå÷åíèå ïîäàâëåí ãîðàçäíî ñèëüíåå,(ñì. (1.28)). Ïîýòîìó ó÷åò ïîïðàâêè ñr0àáñîëþòíîçàêîíåí è íå ÿâëÿåòñÿ ïðåâûøåíèåì òî÷íîñòè.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîãäà ïàðàìåòðû ïîòåíöèàëà êðèòè÷íû ïî îòíîøåíèþê ïîÿâëåíèþ óðîâíÿ, ýôôåêòèâíûé ðàäèóñ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéˆr0 = 2ãäådr 1 − χ20 ,(1.32)χ0 âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñ íóëåâîé ýíåðãèåé, ò.å., óäîâëåòâîðÿþùàÿóðàâíåíèþ− χ000 +2mU (r)χ0 = 0}2(1.33)34ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßè óñëîâèÿìχ0 (0) = 0, χ0 (∞) = 1.Èç ôîðìóëû (1.32) ìû âèäèì, ÷òî, äåéñòâèòåëüíî, õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíàr0ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðîì ïîòåíöèàëà. Íàïðèìåð, äëÿ ïîòåíöèàëàU (r) = −U0 θ(a − r)a,ýôôåêòèâíûé ðàäèóñ ïðîñòî ñîâïàäàåò ñêîãäà ãëóáèíà ïîòåíöèàëà ñîîòâåò-ñòâóåò ïîÿâëåíèþ óðîâíÿ:ˆar0 = 20hr idr 1 − sin2 π(n + 1/2)= 2a 1 − sin2 = a.aÏîëó÷èòü ôîðìóëó.Çàïèøåì óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ ñ ýíåðãèåé E = }2k2/2m:Çàäà÷à 1.6.Ðåøåíèå 1.6.(1.32)−χ00 +2mU (r)χ = k 2 χ}2Óìíîæèì ýòî óðàâíåíèå íà χ0 è âû÷òåì, óìíîæåííîå íà χ0.
Ïîëó÷èì(1.33)0(χ00 χ − χ0 χ0 ) = k 2 χχ0Ïîñêîëüêó â ïðàâîé ÷àñòè óæå åñòü ìàëîñòü k2, çàìåíèì â íåé χχ0 → χ20 èïðîèíòåãðèðóåìˆχ00 (r)χ(r) − χ0 (r)χ0 (r) = k 2rdrχ20 (r)0Ïðè a r 1/k èìååì (χ(r) ≈ χ0(r) = 1, χ00(r) = 0) :ˆ rχ0 (r)cot δ0 − tan kr=k= −k 2drχ20 (r)χ(r)1 + cot δ0 tan kr0ˆ rˆ r22k cot δ0 ≈ k kr − kdrχ0 (r) = kdr 1 − χ20 (r)00ˆ ∞22≈kdr 1 − χ0 (r)k cot (kr + δ0 ) =Ñðàâíèâàÿ ñ0, ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôîðìóëó(1.31)ˆr0 = 21.9dr 1 − χ20Ðåçîíàíñíîå ðàññåÿíèå íà êâàçèäèñêðåòíîì óðîâí1.9.
ÐÅÇÎÍÀÍÑÍÎÅ ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÍÀ ÊÂÀÇÈÄÈÑÊÐÅÒÍÎÌ ÓÐÎÂÍÅ 35Ðàçáåðåì õàðàêòåðíûå ñâîéñòâà ðàñ-Σñåÿíèÿ íà êâàçèäèñêðåòíîì óðîâíå.Òî åñòü, ìû õîòèì ðàññìîòðåòü ðàññåÿíèå ÷àñòèö ñ ýíåðãèåé, áëèçêîé êýíåðãèèêâàçèñòàöèîíàðíîãîñîñòîÿ-íèÿ (è íå îáÿçàòåëüíî ìàëîé). Ýíåðãèÿêâàçèäèñêðåòíîãîóðîâíÿèìå-åò ìíèìóþ ÷àñòü, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò âðåìÿ æèçíè êâàçèñòàöèîíàðíîãîñîñòîÿíèÿ.ÐàññìîòðèìEðåçîíàíñíîåðàññåÿíèå íà êâàçèäèñêðåòíîì óðîâíåñ îðáèòàëüíûì ìîìåíòîìl. àñèìï-Ðèñ.
1.3: Õàðàêòåðíûé âèä ñå÷åíèÿ äëÿ ðå-òîòèêå îáùèé âèä ðàäèàëüíîé âîëíî-çîíàíñíîãî ðàññåÿíèÿ è ðàçëè÷íûõ ôàçâîé ôóíêöèè òàêîéíåðåçîíàíñíîãî ðàññåÿíèÿ.χl = Al (E)eikr + Bl (E)e−ikr ,ÊîýôôèöèåíòûAlèBlk=pδl02mE/}2 .çàâèñÿò îò ýíåðãèè. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà êâàíòîâîéìåõàíèêè, êâàçèäèñêðåòíîìó óðîâíþ ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèå çàíóëåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïðè ñõîäÿùåéñÿ âîëíå:Bl (E0 − iΓ/2) = 0ÇäåñüE0 ýíåðãèÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ, àÐàñêëàäûâàÿ â ðÿäBl (E)âáëèçèE0 − iΓ/2,Γ åãî øèðèíà.ïîëó÷àåìBl (E) = (E − E0 + iΓ/2)bl + .
. . ,ãäåbl = Bl0 (E0 − iΓ/2) êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ. Àñèìïòîòèêó ðàäèàëüíîéâîëíîâîé ôóíêöèè ìû ñ÷èòàåì âåùåñòâåííîé, ïîýòîìó äëÿ âåùåñòâåííûõ ýíåðãèéAl (E) = Bl∗ (E).Ïîëó÷àåì äëÿ ýíåðãèé áëèçêèõ êE0 :l+1χ≈e−(−1) (E − E0 − iΓ/2)b∗l ei(kr−πl/2)−i(kr−πl/2)+ (E − E0 + iΓ/2)bl e.−iπl/236ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÔàçà ðàññåÿíèÿ òîãäà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé00E − E0 − iΓ/2 2iδl02iΓ/2ee2iδl ,= e2iδl −E − E0 + iΓ/2E − E0 + iΓ/2∗0l+1 ble2iδl = (−1)bl0(2l + 1)Γe2iδl Pl (cos θ)f (θ) = f (0) (θ) −2k(E − E0 + iΓ/2)Sl =δl0 îïèñûâàåò íåðåçîíàíñíîå ðàññåÿíèå è ñëàáî ìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèèE−E0 −iΓ/22iδR (E)(ñ ìîäóëåì åäèíèöà) áûñòðî ìåýíåðãèè.
Ìíîæèòåëü æåE−E0 +iΓ/2 = eíÿåò ñâîþ ôàçó îò 0 äî 2π . Ïîâåäåíèå ïàðöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ σl äëÿ ðàçëè÷íûõÇäåñüçíà÷åíèé íåðåçîíàíñíîé ôàçû ïîêàçàíî íà Ðèñ. 1.3.Çàäà÷à 1.7.öèàëàÎïðåäåëèòü ïàðöèàëüíîå ñå÷åíèå σ0(k) = 4πk sin2 δ0(k) äëÿ ïîòåí2U (r) = Gδ(r − a),Ñðàâíèòü ñ ñå÷åíèåì äëÿ ïîòåíöèàëàŨ (r) =Ðåøåíèå 1.7.mGa 1.}2∞, r < a0, r > aÔàçà ðàññåÿíèÿ è ñå÷åíèå íàõîäÿòñÿ òî÷íî.
Ïîëó÷àåì ñå÷åíèåσ0 =4π4πsin2 δ0 = 2kk 2 + k 2 cot2 (ka) 1 +}2 kmG sin (2ka)2 Àíàëîãè÷íî, â ïîòåíöèàëå Ũ (r) ïîëó÷àåì ñå÷åíèåσ̃0 =4πsin2 kak2} k×ëåí mG sin(2ka) â çíàìåíàòåëå σ0ìîæíî ïî÷òè âñåãäà âûáðîñèòü èòîãäà σ0 ≈ σ̃0. Ýòîò ÷ëåí íåëüçÿ âûáðàñûâàòü ïðè k∼ 1/a òîëüêî åñëè} kmG sin (2ka) & 1, òî åñòü22Ðèñ. 1.4: Ñå÷åíèÿ σ0(êðàñíàÿ êðèâàÿ) èσ̃0 (ñèíÿÿ êðèâàÿ), óìíîæåííûåñòâà íà k 2 êàê ôóíêöèè k.äëÿ óäîá-}2 k& 1,mG sin (ka)1.10. ÎÁÙÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐÀÑÑÅßÍÈß37÷òî ìîæåò ïðîèñõîäèòüâ äâóõ ñèòóàöèÿõ: ëèáî k ∼ mG1/a, ëèáî}}k = πn/a + δk , ïðè÷åì δk .
mGa , n öåëîå ÷èñëî ïîðÿäêà åäèíèöû. Ïåðâûéñëó÷àé íàì íåèíòåðåñåí, à âòîðîé êàê ðàç è îïèñûâàåò ðåçîíàíñíîå ðàññåÿíèå.Ãðàôèêè σ0 è σ̃0, êàê ôóíêöèé îò k ïîêàçàíû íà ðèñóíêå.2221.10Îáùèå ñâîéñòâà ðàññåÿíèÿÏðåæäå âñåãî íàñ èíòåðåñóåò âîïðîñ î êîíå÷íîñòè ïîëíîãî ñå÷åíèÿ. Íàïîìíèì,÷òî â êëàññè÷åñêîì ðàññåÿíèè ïîëíîå ñå÷åíèå èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèéñìûñë: îíî ñîâïàäàåò ñ ïëîùàäüþ îáëàñòè, â êîòîðîé ïîòåíöèàë íå ðàâåí íóëþ,åñëè ñìîòðåòü ñî ñòîðîíû íàëåòàþùèõ ÷àñòèö.
Íàïðèìåð, äëÿ íåïðîíèöàåìîãîøàðèêà ðàäèóñàrêëàññè÷åñêîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ðàâíîσêëàññ = πr2 .Åñëè ïî-òåíöèàë îòëè÷åí îò íóëÿ âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, òî êëàññè÷åñêîå ïîëíîå ñå÷åíèåáåñêîíå÷íî: ëþáàÿ ÷àñòèöà îòêëîíÿåòñÿ ïîòåíöèàëîì.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå,áëàãîäàðÿ ïðèíöèïó íåîïðåäåëåííîñòè, äàæå åñëè ïîòåíöèàë îòëè÷åí îò íóëÿâî âñåì ïðîñòðàíñòâå ÷àñòèöà ìîæåò ïðîëåòåòü ñêâîçü íåãî áåç ðàññåÿíèÿ.Ïóñòü ïîòåíöèàë ïàäàåò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ êàêU (r) ∼ c/rn .Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêóþ ÷àñòèöó, êîòîðàÿ ïðîëåòàåò íà áîëüøîì ïðèöåëüíîì ïàðàìåòðåρîò åãî öåíòðà.
Òîãäà ëåãêî îöåíèòü ïîïåðå÷íûé èìïóëüñ, êî-òîðûé ïîëó÷àåò êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ ïîòåíöèàëîì:δp⊥ ∼ δt · F ∼ρc·∝ ρ−nv ρn+1 êâàòîâîé ìåõàíèêå, îäíàêî, ïðè ôèêñèðîâàíèè ïðèöåëüíîãî ïàðàìåòðà(ò.å., ïîïåðå÷íîãî ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû) ïîïåðå÷íûé èìïóëüñ ñòàíîâèòñÿ íåîïðåäåëåí. Åãî íåîïðåäåëåííîñòü ìîæíî îöåíèòü êàê∆p⊥ &}}&∆ρρδp⊥ è åãî êâàíòîâóþ íåîïðåäå∆p⊥ , ìû âèäèì ÷òî ïðè ðàññåÿíèè â ïîòåíöèàëå, ïàäàþùåì áûñòðåå÷åì c/r , ∆p⊥ ñòàíîâèòñÿ áîëüøå ÷åì δp⊥ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïðèöåëüíûõïàðàìåòðàõ è ðàññåÿíèå ÷àñòèöû ïðè òàêèõ ρ óæå íåëüçÿ îïèñûâàòü êëàññèÑðàâíèâàÿ êëàññè÷åñêîå èçìåíåíèå èìïóëüñàëåííîñòü÷åñêè. Îäíàêî, íåâîçìîæíîñòü êëàññè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ðàññåÿíèÿ ïîä ìàëûìèóãëàìè åùå íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò êîíå÷íîñòü ñå÷åíèÿ, ïîýòîìó íàì íóæíîèçó÷èòü ýòîò âîïðîñ îòäåëüíî.38ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÈç ôîðìóëû (1.20) ìû âèäèì, ÷òî ñå÷åíèå êîíå÷íî, åñëè ôàçû äîñòàòî÷íîsin2 δl2íà δl äëÿ áîëüøèõ l.
Òîãäà ñóììà ñõîäèòñÿ, åñëè ôàçà ïàäàåò áûñòðåå ÷åì 1/l.×òîáû ñâÿçàòü ïîâåäåíèå ôàç ñ âèäîì ïîòåíöèàëà, çàìåòèì, ÷òî ïðè áîëüøèõ láûñòðî ïàäàþò. À èìåííî, ñ÷èòàÿ ÷òî ôàçû óáûâàþò, ìû ìîæåò çàìåíèòüðàäèàëüíîå äâèæåíèå êâàçèêëàññè÷íî, è ìû ìîæåì çàïèñàòü ðåøåíèå ðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â êëàññè÷åñêè ðàçðåøåííîé îáëàñòè â âèäåˆrχ(r) ≈ 2 sinr0p(r)=}r0ãäåqp(r)dr + π/4 ,}2k 2 − (l + 1/2) /r2 − V (r) êëàññè÷åñêàÿ òî÷êà ïîâîðîòà (â êîòîðîé ïðîèñõîäèò çàíóëåíèå êîðíÿ).Ôàçà, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì rˆq2δl = lim dr k 2 − (l + 1/2) /r2 − V (r) + π/4 − (kr − πl/2)r→∞r0ˆ∞=q2 22drk − (l + 1/2) /r − V (r) − k + π (l + 1/2) /2 − kr0r0Ïî-êðàéíåé ìåðå äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõlòî÷êà ïîâîðîòà, â îñíîâíîì,îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ïîä êîðíåì (ìû, êîíå÷íî, ñ÷èòàåì, ÷òîïîòåíöèàë óáûâàåò ïðèr → ∞)è ïîýòîìór0 ≈ll + 1/2≈kkÏîòåíöèàë íà òàêèõ áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü ìàëûì è ðàñêëàäûâàÿ êîðåíü ïîU (r)ïîëó÷àåì äëÿ ôàçû ðàññåÿíèÿ ôîðìóëóˆrmU (r)drδl ≈ −r0}2q2k 2 − (l + 1/2) /r2Èç ýòîé ôîðìóëû ìû âèäèì, ÷òî ôàçû êîíå÷íû, åñëè÷åì1/r.Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ïîëó÷àåìδl ≈m cmU (r0 )r0∼ 2 n−1 ∝ l1−n2} k} k r0U (r)ïàäàåò áûñòðåå,1.11.
ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÁÛÑÒÐÛÕ ×ÀÑÒÈÖ. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÝÉÊÎÍÀËÀ.39Çíà÷èò, óñëîâèå êîíå÷íîñòè ñå÷åíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî1 − n < −1 èëè n > 2.Èòàê, åñëè ïîòåíöèàë èìååò àñèìïòîòèêóU (r) ∼ c/rn ,òî• Ïðè n > 1 êîíå÷íû ôàçû ðàññåÿíèÿ δl• Ïðè n > 2 êîíå÷íî ïîëíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ σ• Ïðè n > 3 êîíå÷íà àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ âïåðåäÏîñëåäíåå óòâåðæäåíèå (âïðî÷åì, íå î÷åíü âàæíîå ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ)ëåãêî äîêàçàòü äëÿ áîðíîâñêîé àìïëèòóäûmfB (0) = −2π}2ˆdxU (x),íî ñïðàâåäëèâî îíî íå òîëüêî â áîðíîâñêîì ñëó÷àå.1.11Ðàññåÿíèå áûñòðûõ ÷àñòèö. Ïðèáëèæåíèå ýéêîíàëà.Åñëè äëèíà âîëíû ÷àñòèö ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ïîòåíöèàëà:ka 1,(1.34)à ýíåðãèÿ áîëüøàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíîé âåëè÷èíîé ïîòåíöèàëàU0 :2 2U0 E =} k,2m(1.35)÷àñòèöû ðàññåèâàþòñÿ â îñíîâíîì íà ìàëûå óãëû.
Äåéñòâèòåëüíî, áëàãîäàðÿïåðâîìó óñëîâèþ, äâèæåíèå ÷àñòèö êâàçèêëàññè÷íî, ïîýòîìó îöåíèâàåì õàðàêòåðíûé óãîë ðàññåÿíèÿ êëàññè÷åñêè:θ∼∆p⊥F ∆t(U0 /a)(a/v)U0∼∼∼1pppEÍóæíî ïîíèìàòü, ÷òî óñëîâèÿ (1.34), (1.35) íå ñîâïàäàþò ñ óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ áûñòðûõ ÷àñòèöåñëè õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà ïîòåíöèàëà òàêàÿ, ÷òî}2 k}2 k. U0 (ka) = E,2ma2maU0 }2 k2ma . À èìåííî,40ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßáîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå íåïðèìåíèìî, à ðàññìàòðèâàåìîå çäåñü ïðèáëèæåíèåáûñòðûõ ÷àñòèö (ïðèáëèæåíèå ýéêîíàëà) ïðèìåíèìî.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïàäàþùàÿ ïëîñêàÿ âîëíà íåñêîëüêî èñêàæàåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ïîòåíöèàëå. Îäíàêî, îòêëîíåíèÿ ååôðîíòà (ëèíèè ïîñòîÿííîé ôàçû) îò ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòèxy ,î÷åíü ìàëû. Âî âñåé îáëàñòè äåéñòâèÿ ïîòåíöèàëà ýòèìè îòêëîíåíèÿìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íà óäàëåííîì ýêðàíå ìû âèäèì Ôóðüå-îáðàç ýòèõ èñêàæåíèéôðîíòà, àíàëîãè÷íî äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà, ñ êîòîðîé âû äîëæíû áûëè ïîçíàêîìèòüñÿ â êóðñå ýëåêòðîäèíàìèêè.×òîáû àêêóðàòíî âûâåñòè àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé êàðòèíå, èùåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà−∆ψ +2mU (r)ψ = k 2 ψ}2â âèäåψ = eikz F (r).Ïîäñòàâëÿåì è ïîëó÷àåì óðàâíåíèå− ∆F − 2ik∂z F +Feikz2mU (r)F =0}2(1.36)Ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèÿìåäëåííî ìåíÿåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ áûñòðî îñöèëëè-ðóþùåé ýêñïîíåíòîé ïðåäïîëîæåíèå, ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðîãî ìû ïðî-âåðèì ïîçäíåå.
Íà ýòîì îñíîâàíèè ïðåíåáðåãàåì ÷ëåíîì2ik∂z F =∆F :2mU (r)F.}2(1.37)Óðàâíåíèå èíòåãðèðóåòñÿ è ìû ïîëó÷àåìˆim zF (z, ρ) = exp − 2dz U (z, ρ)} k −∞Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òîF (−∞, ρ) = 1.Ïîýòîìóˆim zdz U (z, ρ)ψ = eikz exp − 2} k −∞Òåïåðü íóæíî ïðîâåðèòü ñàìîñîãëàñîâàííîñòü ïðåäïîëîæåíèÿ î ìàëîñòèÏðîäîëüíàÿ ÷àñòü ëàïëàñèàíà∂z2äàåò ìàëî, à ïîïåðå÷íàÿ äàåò óñëîâèå:∆⊥ F ∼ a−2 F k∂z F ∼kF,z∆F .1.11. ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÁÛÑÒÐÛÕ ×ÀÑÒÈÖ. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÝÉÊÎÍÀËÀ.41òî åñòü, ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà êîãäàz ka2 .Ìîæíî ïîëó÷èòü òó æå ôîðìóëó, åñëè ñíà÷àëà ðàññìîòðåòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ñèñòåìå, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþv = p/m.Âñå âåëè÷èíû â ýòîéñèñòåìå áóäåì îòìå÷àòü òèëüäîé.
 ýòîé ñèñòåìå ïîòåíöèàë çàâèñèò îò âðåìåíèŨ (t, z, ρ) = U (z + vt, ρ),ïîýòîìó ðåøàòü òåïåðü íóæíî íåñòàöèîíàðíîå óðàâíå-íèå Øðåäèíãåðà 2} ∆i}∂t ψ̃ = −+ Ũ (t, z, ρ) ψ̃2m ýòîé ñèñòåìå íà äîñòàòî÷íî îòðèöàòåëüíûõ âðåìåíàõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿïðîñòî ðàâíà1(ìû íàõîäèìñÿ â ñèñòåìå, ñîïóòñòâóþùåé íàëåòàþùèì ÷àñòè-öàì). Îáà ÷ëåíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ çàíóëÿþòñÿ ïðè òàêèõ âðåìåíàõ. Çàòåìa/v . Çà ýòî âðåìÿ}2 ∆ðàñïëûâàíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè çà ñ÷åò ïåðâîãî ÷ëåíà −2m ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Çíà÷èò, ðåøåíèå ïðè íå î÷åíü áîëüøèõ âðåìåíàõ ìîæíî ïîëó÷èòü, èíòå}2 ∆ãðèðóÿ óðàâíåíèå áåç ïåðâîãî ÷ëåíà −2m , òî åñòü, óðàâíåíèåâíåçàïíî ïîÿâëÿåòñÿ è èñ÷åçàåò ïîòåíöèàë çà âðåìÿ ïîðÿäêài}∂t ln ψ̃(t, z, ρ) = Ũ (t, z, ρ).Ïîëó÷àåìˆi tψ̃(t, z, ρ) = exp −dtŨ (t, z, ρ) ,} −∞ψ̃(−∞, z, ρ) = 1. Òîãäàˆˆ z+vtii tdtU (z + vt, ρ) = exp −dzU (z, ρ) ,ψ̃(t, z, ρ) = exp −} −∞}v −∞ãäå ìû ó÷ëè óñëîâèåÀ òåïåðü ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì ïðåîáðàçîâàíèÿ âîëíîâîé ôóíê2öèè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ãàëèëåÿ : âîëíîâàÿ ôóíêöèÿñèñòåìå îòñ÷åòà ñâÿçàíà ñψ̃(t, z, ρ)ψ(t, z, ρ)â ëàáîðàòîðíîéïðåîáðàçîâàíèåìˆ zidzU (z, ρ)ψ(t, z, ρ) = ψ̃(t, z − vt, ρ)eikz−iEt/} = e−iEt/} eikz exp −}v −∞Ñ òî÷íîñòüþ äî âðåìåííîé ýêñïîíåíòûe−iEt/}(à ýòó ýêñïîíåíòó ìû ïðîñòî íåïèñàëè ðàíüøå, ïîñêîëüêó ñðàçó ðàññìàòðèâàëè ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà) ïîëó÷èëè òîò æå îòâåò ÷òî è ðàíüøå.2 Ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ðàññìàòðèâàëîñü â êóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè.42ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈß×òîáû íàéòè àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1.4)mf (θ) = −2π}2ˆdre−iqr1U (r)F (r) = −4π ýòîé ôîðìóëå îáëàñòü áîëüøèõˆˆdρe−iqρdz V (r)F (r)z ïîäàâëåíà ïàäåíèåì ïîòåíöèàëà, ïîýòîìóz íåñóùåñòâåííà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
