1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïîäñòàâëÿÿýòè ôîðìóëû â ãàìèëüòîíèàí, ïîëó÷àåìp+H=2m1m1 +m2 P−p ++2m1M = m1 +m2 ,m2m1 +m2 P2m22+ U (r) =p2P2++ U (r),2M2µm1 m2µ=.m1 +m2Ãàìèëüòîíèàí, êàê ìû âèäèì, êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ïîëíîãî èìïóëüñàP = p1 + p2 , ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåéýòîãî îïåðàòîðà ψ(t, R, r)hi2P= exp −i 2M} t + iPR/} ψ(t, r)ôóíêöèÿψ(t, r)(çäåñüPóæå ÷èñëîâîé âåêòîð). Òîãäà âîëíîâàÿîòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþi∂t ψ =p2+ U (r) ψ,2µòî åñòü, óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû ñ ïðèâåäåííîé ìàññîéöèàëåµâ ïîòåí-U (r).Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìû îòäåëèëè äâèæåíèå ñèñòåìû êàê öåëîå (õàðàêòåðèçóþùååñÿ êîîðäèíàòîéRè èìïóëüñîìP)îò âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû(õàðàêòåðèçóþùåãîñÿ îòíîñèòåëüíîé êîîðäèíàòîé÷òî âðåëÿòèâèñòñêîérè èìïóëüñîìp)Çàìåòèì,êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé ìåõàíèêå ýòîãî ñäåëàòü, âî-îáùå ãîâîðÿ, íå óäàåòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö.
Äåëî â òîì,÷òî ïîëå, ïîñðåäñòâîì êîòîðîãî âçàèìîäåéñòâóþò ÷àñòèöû, òàêæå íåñåò èìïóëüñè ïîýòîìó äàæå â ñëó÷àå äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ðåëÿòèâèñòñêàÿ çàäà÷à íå ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé äâóõ òåë.14ÃËÀÂÀ 1.1.2ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÔîðìàëüíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàññåÿíèÿÄîïóñòèì, ÷òî ìû çíàåì ïîòåíöèàë ìèøåíèU (r). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ñ÷èòàåì, ÷òîîí ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íûé (öåíòðàëüíûé) è ñïàäàåò äîñòàòî÷íî áûñòðî íàáîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Íàøà çàäà÷à îïðåäåëèòü ÷èñëî ðàññåÿâøèõñÿ ÷àñòèö. ñâîáîäíîì ñëó÷àå ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿ âäîëü îñèâîëíîé (}k=pz,îïèñûâàþòñÿ ïëîñêîé èìïóëüñ ÷àñòèö)ψïàä = eikz .Äëÿ îäíîìåðíîãî ðàññåÿíèÿ ó íàñ áûëè ïðîøåäøàÿ âîëíà è îòðàæåííàÿ. Âàæíûì óñëîâèåì áûëî îòñóòñòâèå ïàäàþùåé âîëíû ñïðàâà (åñëè ÷àñòèöû íàëåòàþòñëåâà).
 òðåõìåðíîì ñëó÷àå ðàññåÿíèå ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïîä ëþáûì óãëîì.Ðàññåÿâøèåñÿ ÷àñòèöû âäàëè îò öåíòðà îïèñûâàþòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíîéψðàññ = f (θ)eikr.rÒàêèì îáðàçîì, íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèäÀñèìïòîòèêà â.ô. â çàäà÷å ðàññåÿíèÿr→∞ψ −→ ψïàä + ψðàññ = eikz + f (θ)eikr.r(1.1) äâóõ ïîñëåäíèõ ôîðìóëàõ âñÿ èíôîðìàöèÿ î ïîòåíöèàëå ñîäåðæèòñÿ â íåèç-f (θ), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ðàññåÿíèÿ. Ïîñêîëüz,ôóíêöèÿ f íå çàâèñèò îò àçèìóòàëüíîãî óãëà ϕ.  ñëó÷àå ïîòåíöèàëà îáùåãîâèäà (íå îáÿçàòåëüíî öåíòðàëüíîãî) ôóíêöèÿ f çàâèñèò è îò ϕ.
 ýòîì ñëó÷àåìû áóäåì çàïèñûâàòü f (n), ãäå n = r/r = (sin θ cos ϕ,sin θ sin ϕ,cos θ) åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ. Óãîë θ íàçûâàåòñÿ, åñòåñòâåí0íî, óãëîì ðàññåÿíèÿ. Âåêòîðà k = kez = (0, 0, k) è k = kn ÿâëÿþòñÿ âîëíî0âûìè âåêòîðàìè íàëåòàþùèõ è ðàññåÿâøèõñÿ ÷àñòèö. Èõ ðàçíîñòü q = k − kíàçûâàþò ïåðåäà÷åé èìïóëüñà (äåëåííîé íà }).âåñòíîé ôóíêöèèêó ìû ïðåäïîëàãàëè ïîòåíöèàë öåíòðàëüíûì, à ÷àñòèöû ïàäàëè âäîëü îñèÄàâàéòå ïîëó÷èì àñèìïòîòèêó(1.1)) èç óðàâíåíèÿEψ = Hψ.Îñòàâèì â ïðàâîé ÷àñòè ÷ëåí ñ ïîòåíöèàëîì:"2(−i}∇)E−2m#ψ = U (r)ψ(1.2)1.2.
ÔÎÐÌÀËÜÍÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È ÐÀÑÑÅßÍÈß15Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðàÿ ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ"(−i}∇)E−2m2#G0 (r, r0 |E) = δ(r − r0 ),ìû ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíûé âèä óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðàˆψ(r) = eikz+dr0 G0 (r, r0 |E)U (r0 )ψ(r0 )(1.3)Ïåðâûé ÷ëåí â ýòîì óðàâíåíèè äîëæåí áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íóëåâûõìîä è ìû âûáðàëè åå â âèäåeikzäëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èâøàÿñÿ âîëíîâàÿ ôóíê-öèÿ ñîîòâåòñòâîâàëà èìåííî ðàññåÿíèþ ÷àñòèö, íàëåòàþùèõ âäîëü îñèÓïðàæíåíèå 1.1.óðàâíåíèå.(1.2)Ïðîâåðèòü, ÷òî èç èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ(1.3)z.ñëåäóåòÔóíêöèÿ Ãðèíà èìååò âèä02meik|r−r |G0 (r, r |E) = G0 (r − r |E) = −,4π}2 |r − r0 |00√k=2mE/}Çàìåòèì, ÷òî ìû áåðåì çàïàçäûâàþùóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, êîòîðàÿ ñîãëàñóåòñÿñ ïðèíöèïîì ïðè÷èííîñòè.−iEtÏîêàçàòü, ÷òî G0(r, t) = ´ dEG0 (r|E) óäîâëåòâîðÿåò2π eóñëîâèþ G0(r, t < 0) = 0.Óïðàæíåíèå 1.2.Åñëè ìû òåïåðü áóäåì âû÷èñëÿòü àñèìïòîòèêó ïðè áîëüøèõr,òî ïîëó÷èì,÷òîeikrψ → eikz + f (n),rˆ0mf (n) = −dxe−ik x U (x)ψ(x),2π}2ãäåk0 = kn âîëíîâîé âåêòîð ðàññåÿííîé ÷àñòèöû.
Íîðìèðîâêà ïàäàþùåéâîëíû ñîîòâåòñòâóåò åäèíè÷íîé ïëîòíîñòè ÷àñòèö â ïó÷êåïîòîêó(1.4)jïàä = v = p/m = }k/m.2|ψïàä | = 1,à çíà÷èò,Ðàññåèâàþùèéñÿ ïîòîê ðàâåí íà áîëüøèõðàññòîÿíèÿõjðàññ f (n) 2 v= nðàññ v = r ×èñëî ðàññåÿâøèõñÿ ÷àñòèö, ïðîõîäÿùèõ çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïëîùàäüdS = r2 dΩðàâíî22dṄ = jðàññ dS = |f (n)| v dΩ = jïàä |f (n)| dΩ16ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÏîñ÷èòàòü ïîòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíåíàïðÿìóþ èç îáû÷íîé ôîðìóëû. Ïî÷åìó íå íóæíî ó÷èòûâàòü ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ∇f ?Óïðàæíåíèå 1.3.Ïîýòîìó, äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàâíîÄèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ÷åðåç àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿdσ2= |f (n)|dΩÄëÿ öåíòðàëüíîãî ïîòåíöèàëà(1.5)f (n) = f (θ) è, ó÷èòûâàÿϕ è ïîëó÷èòüàçèìóòàëüíóþ ñèììåò-ðèþ, ìîæíî ñðàçó ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî2dσ = 2π|f (θ)| sin θ dθf ìû áóäåì ïîíèìàòü êàê ôóíêöèþ îò ïåðåäà÷è q èq = |k0 − k| = 2k sin (θ/2), ìû ìîæåì çàïèñàòüπ2222 θdσ = 2π|f (q)| d(1 − cos θ) = 4π|f (q)| d sin= 2 |f (q)| d q 22k×àñòî àìïëèòóäóòîãäà,ó÷èòûâàÿ, ÷òîÏðè âû÷èñëåíèè ïîëíîãî ñå÷åíèÿ ïî ýòîé ôîðìóëå íóæíî ïîìíèòü, ÷òîåòñÿ â ïðåäåëàõ îò íóëÿ (ðàññåÿíèå âïåðåä) äî1.32kqìåíÿ-(ðàññåÿíèå íàçàä).Áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèåÅñëè ïîòåíöèàë ìàë (äàëåå ìû îïðåäåëèì â êàêîì ñìûñëå), ìû ìîæåì âû÷èñëÿòü àìïëèòóäó ïî òåîðèè âîçìóùåíèé.
Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî â íóëåâîìïîðÿäêå èç óðàâíåíèÿ (1.3) ñëåäóåò, ÷òîψ(r) ≈ eikz .Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå(1.4) äëÿ àìïëèòóäû, ïîëó÷àåìf (n) ≈ fB (n) = −Ýòà ôîðìóëà îïðåäåëÿåòm2π}2fB (n)ˆÁîðíîâñêàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿdxe−iqx U (x) = −mŨ (q)2π}2(1.6) àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ â áîðíîâñêîì ïðèáëè-æåíèè. Äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ ïîëó÷àåì2m2 dσ=Ũ(q)dΩ4π 2 }4Åñëè ïîòåíöèàë öåíòðàëüíûé, òîðîâàòü ïîŨ (q) = Ũ (q),(1.7)è ìîæíî ñðàçó ïðîèíòåãðè-ϕ:dσ =2m2 Ũ(q) sin θ dθ2π}41.3.
ÁÎÐÍÎÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ17Ýòó ôîðìóëó ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîçìóùåíèÿ â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå, êîòîðàÿ ïðîõîäèòñÿ â êóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Âñïîìíèìôîðìóëó Ôåðìè äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè â íåïðåðûâíîìñïåêòðå çà ñ÷åò âîçìóùåíèÿU:dẆ =Âåëè÷èíàdν2π2δ(Ef − Ei )|Uf i | dν} ôàçîâûé îáúåì, íîðìèðîâêà êîòîðîãî â ýòîé ôîðìóëå ïðåäïî-ëàãàåòñÿ ñîãëàñîâàííîé ñ íîðìèðîâêîé êîíå÷íûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé, òàê ÷òîˆdxψν∗ ψν 0 = δ(ν − ν 0 )Âîçüìåì êîíå÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè â âèäå ïëîñêèõ âîëí, òîãäàˆ03dxe−ikx eik x = (2π) δ(k − k0 ) = δkk0−,2π 2πïîýòîìódν =dk3(2π)dp=3(2π})Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè ñîâïàäàåò ñî ñðåäíèì ÷èñëîì ÷àñòèö, ðàññåèâàþùèõñÿ â åäèíèöó âðåìåíèdẆ = dṄ .Ïîëó÷àåì òîãäà ïî îïðå-äåëåíèþ ñå÷åíèÿ´ dxe−iqr U (r)2 dk02πdẆ=δ(Ef − Ei )dσ =3j}v(2π)Äåëüòà-ôóíêöèÿ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè âûðàæàåò ïðîñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ìû èçáàâèìñÿ îò íåå, åñëè çàïèøåìãðèðóåì ïîdk0dk0 = k 02 dk 0 dΩ:2! Ũ(q) k 02 dk 0 dΩdẆ2π(}k )(}k)dσ ==δ−3j}2m2m}k/m(2π)22Ũ(q) m2 dΩ2πm2 ==Ũ(q) dΩ,32 }4}}34π(2π)0 2òî åñòü, ìû ïîëó÷èëè òó æå ôîðìóëó (1.7).2è ïðîèíòå-18ÃËÀÂÀ 1.1.3.1ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÓñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿÍåîáõîäèìûì óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ìàëîñòü ïîïðàâêè ê âîëíîâîé ôóíêöèè.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1.3), ìûïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáûˆ dr0 G0 (r, r0 )U (r0 )ψ(r0 ) 1Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîψíóëåâîå ïðèáëèæåíèå, ïîëó÷àåì ˆik|r−r0 |0me0 ikz|ψ1 | = − dr0U(r)e12π}2 |r − r0 |Åñëè õàðàêòåðíûå ðàçìåðû ïîòåíöèàëà íå áîëüøèå ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû ÷àñòèö, ìîæíî çàìåíèòü îñöèëëèðóþùèå ýêñïîíåíòû íà åäèíèöû è òîãäàïîëó÷àåìÓñëîâèå ïðèìåíèìîñòè áîðí. ïðèáë. äëÿ ìåäë.
÷àñòèöUÅñëè æåka 1,}2ma2(1.8)òî áûñòðàÿ îñöèëëÿöèÿ ýêñïîíåíò ñóùåñòâåííî óìåíüøàåòçíà÷åíèå èíòåãðàëà. ×òîáû ïîëó÷èòü îöåíêó, óäîáíåå èñïîëüçîâàòü íå ÿâíîåâûðàæåíèå äëÿψ1 ,à óðàâíåíèå äëÿ íåãî2m∆ + k 2 ψ1 = 2 U eikz}Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäåψ1 = eikz f (x),ñ÷èòàÿf (x)ôóíêöèåé. Òîãäà ïîëó÷èì2ik∂z f =2m ikzUe ,}2Îöåíêà èíòåãðàëà äàåò|ψ1 | =ψ1 = −im ikze}2 kìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿˆU dzmaU}2 kè ìû ïîëó÷àåì âòîðîå óñëîâèå ïðèìåíèìîñòèÓñëîâèå ïðèìåíèìîñòè áîðí. ïðèáë. äëÿ áûñòð. ÷àñòèöU}2 kma(1.9)1.3. ÁÎÐÍÎÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ19Ñðàâíèâàÿ óñëîâèÿ (1.8) è (1.9), ìû âèäèì, ÷òî äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ õîòÿáû îäíîãî èç íèõ.Êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë íå èìååò õàðàêòåðíîãî ìàñøòàáà è õàðàêòåðíîé âåëè÷èíû, ïîýòîìó, ñòðîãî ãîâîðÿ, óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè äëÿ íåãî áîðíîâñêîãîïðèáëèæåíèÿ äîëæíî âûâîäèòüñÿ îòäåëüíî, îäíàêî ìû ìîæåì ôîðìàëüíî ïîëó÷èòü èç âòîðîãî óñëîâèÿZe2 }2 k= }vmÒî åñòü, äëÿ êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëèâîäëÿ äîñòàòî÷íî áûñòðûõ ÷àñòèö, êîãäà ñêîðîñòü íàëåòàþùèõ ÷àñòèö áîëüøàÿïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíîé àòîìíîé ñêîðîñòüþ1.3.2Ze2 /} = cZα.Áîðíîâñêîå ðàçëîæåíèå àìïëèòóäûÁîðíîâñêàÿ àìïëèòóäà ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿ àìïëèòóäû ïî ïîòåíöèàëó.
Ìîæíî ðàñêëàäûâàòüñÿ è äàëüøå. Åñëè ìû çàïèøåìψ = ψ0 + ψ1 + ψ2 + . . . ,ãäåψk ∝ U k ,òîψ0 = eikr ,(1.10)à êàæäûé ñëåäóþùèé ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ ïî ôîðìóëåˆdr0 G0 (r, r0 |E)U (r0 )ψk (r0 )ψk+1 =Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé ôîðìóëû ëåãêî óñòàíîâèòü, ðåøàÿ èòåðàöèÿìè èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (1.3). Åñëè ìû ïîäñòàâèì (1.10) â ôîðìóëó (1.4), ìû ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå äëÿ àìïëèòóäûf = f1 + f2 + f3 + . . . ,ˆ0mfk = −dxe−ik x U (x)ψk−1 (x),22π}òàê ÷òîf1 = fB ,ˆ0mdxe−ik x U (x)ψ1 (x)22π}ˆ0mdx dy e−ik x U (x)G0 (x, y|E)U (y)eiky=−2π}2f2 = −è ò.ä.Åñëè ìû ðàçëîæèì ôóíêöèþ Ãðèíà â ðÿä ÔóðüåˆG0 (x, y|E) =dk0000eik (x−y),3(2π) E − E 00 + i0E 00 =}2 k002,2m20ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßòî ïîëó÷èìˆdk00 Ũ (k0 − k00 )Ũ (k00 − k)3E − E 00 + i0(2π)m X hf |U |nihn|U |ii=−2π}2 n Ei − En + i0mf2 = −2π}2Ñóììà ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì â ýòîé ôîðìóëå äîëæíà áûòü çíàêîìàèç òåîðèè âîçìóùåíèé â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå: ýòî âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ïåðåõîäà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè äèñêðåòíîãî ñïåêòðà.1.4Íåðåëÿòèâèñòñêîå ðàññåÿíèå â êóëîíîâñêîì ïîëå.
Ôîðìóëà ÐåçåðôîðäàÈñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîðíîâñêîãîñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â êóëîíîâñêîì ïîëå. Áîðíîâñêàÿàìïëèòóäà èìååò âèäfB (n) = −m2mZe2Ũ (q) = − 2 2 ,22π}} qîòêóäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñå÷åíèå:dσBdΩÐåç24m2 Ze2= |fB (n)| =}4 q 422Ze214m2 c2 (Zα)==2mv 2 sin4 (θ/2)}2 q 42Ýòà ôîðìóëà äëÿ ñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ðåçåðôîðäà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
