1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèèíàéäåííûõ ðåøåíèé ñ ðàçíûìè èìïóëüñàìè, çíàêàìè ýíåðãèè è λ: ýòèõ ôîðìóëàõ èíäåêññïèíîðàÎáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêàˆψ(x) =dpX C1λ (p)e−ipx uλ (p) + C2λ (p)eipx vλ (p) .3(2π)(2.11)λ=1,2Âèäèì, ÷òî îïÿòü åñòü ðåøåíèÿ êàê ñ ïîëîæèòåëüíîé, òàê è ñ îòðèöàòåëüíîéýíåðãèåé. Òàêèì îáðàçîì, õîòÿ óðàâíåíèå Äèðàêà è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîé ñòåïåíè, ìíîãîêîìïîíåíòíîñòü âîëíîâîé ôóíê3öèè ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ ðåøåíèé ñ îáîèìè çíàêàìè ýíåðãèè . Íåñìîòðÿ íà òî,÷òî (êàê ìû óâèäèì íèæå) äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ñóùåñòâóåò ñîõðàíÿþùèéñÿòîê ñ ïîëîæèòåëüíîé íóëåâîé êîìïîíåíòîé, íàëè÷èå îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõðåøåíèé ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì â îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ âî âíåøíåì ïîëå.2.2.2Óðàâíåíèå Äèðàêà âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëåÂî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, êàê è ðàíüøå, óäëèíåíèåì ïðîèçâîäíîé:Óðàâíåíèå Äèðàêà â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëåhiγ µ (i∂ − eA)µ − m ψ = 0(2.12)Êàê ìû óâèäèì âïîñëåäñòâèè, òàêîé ðåöåïò ïðèâîäèò â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ê óðàâíåíèþ Ïàóëè ñ ãèðîìàãíèòíûì ñîîòíîøåíèåì, ðàâíûì äâîéêå.
Äëÿîïèñàíèÿ ÷àñòèö ñg 6= 2 íóæíî äîáàâèòü â óðàâíåíèå ÷ëåí σ µν Fµν :i eδg µνµγ (i∂ − eA)µ − m +σ Fµν ψ = 0,2 4mδg = g − 23 Òî÷íåå, íàì íå íðàâèòñÿ, êîíå÷íî, íå çíàê ýíåðãèè, à íåîãðàíè÷åííîñòü ñïåêòðà ãàìèëüòîíèàíà ñíèçó, ÷òî îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü íåîãðàíè÷åííóþ ýíåðãèþ èç îäíîé ÷àñòèöû.62ÃËÀÂÀ 2.ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÄîáàâëåíèå äëÿ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö ÷ëåíà ñδgïðèâîäèò ê íåñêîëüêèì íåïðèÿò-íûì ïîñëåäñòâèÿì.
Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ ñδg 6= 0â êóëîíîâñêîìïîëå ïðîèñõîäèò ÿâëåíèå ïàäåíèÿ íà öåíòð, òî åñòü, ïîÿâëåíèå íåíîðìèðóåìûõñîñòîÿíèé äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Òåì íå ìåíåå, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâîg 6= 2÷àñòèö ññîñòàâíûõè èõ äâèæåíèå âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå îïèñûâàåòñÿïðèâåäåííûì óðàâíåíèåì.2.2.3Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîêÑîõðàíÿþùèéñÿ òîê ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â óðàâíåíèè Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà.
Äëÿ ýòîãî óìíîæèì óðàâíåíèå (2.12)ñëåâà íà ñòðîêódefψ̄ = ψ † γ 0 ,êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ äèðàêîâñêèì ñîïðÿæåíèåì îòψ,è âû÷òåì èç ïîëó÷èâøå-ãîñÿ óðàâíåíèÿ åãî ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå hi †←−µ†µ†0 = ψ̄ γ (i∂ − eA)µ − m ψ = ψ γ−i ∂ − eA − m γ 0 ψµ ←−= ψ̄ γ µ −i ∂ − eA − m ψ.µÏîëó÷èìi∂µ ψ̄γ µ ψ = 0 .Óïðàæíåíèå 2.9.Çíà÷èòÐàçîáðàòüñÿ ñ âûâîäîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.j µ = ψ̄γ µ ψÿâëÿåòñÿ ñîõðàíÿþùèìñÿ òîêîì. Ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê,êàê è â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, îòëè÷àåòñÿ ìíîæèòåëåìe:Òîê äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêàµjem= ej µ = eψ̄γ µ ψ .Óïðàæíåíèå 2.10.äåéñòâèÿÏîëó÷èòü ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê âàðèàöèåé ïî Aµ(x)ˆSÄ =d4 xψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψÇàìåòèì, ÷òî íóëåâàÿ êîìïîíåíòà íàéäåííîãî òîêà (ïëîòíîñòü) òåïåðü ïîëîæèòåëüíàj 0 = ψ̄γ 0 ψ = ψ † γ 0 γ 0 ψ = ψ † ψ > 0.2.2.4Ìîðå Äèðàêà2.2. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄÈÐÀÊÀ63Äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà, êàê è äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-ÔîêàÃîðäîíà, ñïåêòð ýíåðãèé íåîãðàíè÷åí ñíèçó. Êàê áûëî óæåîòìå÷åíî, ýòî ïîçâîëÿåò â ïðèíöèïå ÷åðïàòü íåîãðàíè÷åííóþýíåðãèþ èç îäíîé-åäèíñòâåííîé ÷àñòèöû, ïåðåâîäÿ åå ñ ïîìîùüþ êàêîãî-íèáóäü âçàèìîäåéñòâèÿ â ñîñòîÿíèÿ ñî âñå áîëååíèçêîé ýíåðãèåé.
Îñòðîóìíàÿ èäåÿ Äèðàêà äëÿ èñêëþ÷åíèÿòàêîé âîçìîæíîñòè ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû ïîñòóëèðîâàòü çàïîëíåííîñòü ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè. Òîãäà âñëåäñòâèå ïðèíöèïà çàïðåòà Ïàóëèóìåíüøèòü ýíåðãèþ âàêóóìà íåëüçÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, ïåðåõîäàìè êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ êîíå÷íîéðàçíîñòüþ ýíåðãèé (ïåðåõîäû áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö íàäðóãèå ñîñòîÿíèÿ, î÷åâèäíî, ïîçâîëÿþò ýòî ñäåëàòü).
Íåçàïîëíåííûå ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé (äûðêè â ìî-Ðèñ.ðå Äèðàêà) òðàêòóþòñÿ òîãäà êàê ïîçèòðîí àíòè÷àñòèöàÄèðàêà.2.3:Ìîðåýëåêòðîíà. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, âîçìîæåí ïðîöåññ àííèãèëÿöèè ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ êàê ïåðåõîä ýëåêòðîíà â íåçàïîëíåííîå ñîñòîÿíèå â ìîðå ñ èçëó÷åíèåì.Êàðòèíà ìîðÿ Äèðàêà î÷åíü íàãëÿäíà è äàæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ êîëè÷åñòâåí-2Ríûõ âû÷èñëåíèé. Îäíàêî, íå ñëåäóåò çàáûâàòü î ååñóùåñòâåííîì íåäîñòàòêå: ìû âûíóæäåíû ïîñòóëèðîâàòü íåíàáëþäàåìîñòü çàðÿäà îòðèöàòåëüíî-1÷àñòîòíûõ ýëåêòðîíîâ â ìîðå è îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ èõ ìåæäó ñîáîé.
Âìåñòî ýòîãî, âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé è ñ ïîëîæèòåëüíî-V00ε- mε+m÷àñòîòíûìè ýëåêòðîíàìè, à òàêæå, îáëàäàþò íàáëþäàåìûì çàðÿäîì äûðêè â ìîðå ïîçèòðî-Ðèñ. 2.4: Êîýôôèöèåíò îò-íû. ßñíî, ÷òî ïîçèòðîíû äîëæíû îáëàäàòü çà-ðàæåíèÿ êàê ôóíêöèÿ âû-ðÿäîì, ïðîòèâîïîëîæíûì çàðÿäó ýëåêòðîíà. Åùåñîòû áàðüåðà.îäèí íåäîñòàòîê êàðòèíû ìîðÿ Äèðàêà â òîì, ÷òîîíà ïîäõîäèò òîëüêî äëÿ îïèñàíèÿ ôåðìèîíîâ, â òî âðåìÿ êàê îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ åñòü è äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà.
Ê âîïðîñó îôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ðåøåíèé ìû åùå âåðíåìñÿ,êîãäà áóäåì ãîâîðèòü î ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ.Çàìå÷àíèå(Ïàðàäîêñ Êëåéíà)  îòñóòñòâèè âíåøíåãî ïîëÿ íàëè÷èå ðåøåíèé ñíåïðàâèëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè ìåøàåò íå ñèëüíî. Îäíàêî, óæå â ïðîñòåéøåéçàäà÷å ðàññåÿíèÿ ìû âèäèì íåæåëàòåëüíûå ýôôåêòû. Ðàññìîòðèì ðàññåÿíèå ÷àñòèö64ÃËÀÂÀ 2.ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßâ ïîòåíöèàëå, èìåþùåì âèä ñòóïåíüêè.∂εψ = −iα3+ βm + U (z) ψ∂zU (z) = θ(z)UÑëåâà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä ñóììû ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí, à ñïðàâà ïðîøåäøåé:Uψïàä +ψîòðψïð }|{11 0 −ipz 0 eipz p + ae −p ε+mε+m00zz }|beiqz {10qε−U +m00Çäåñüp=√ε2 − m2 , q =q(ε − U )2 − m2 .Êîýôôèöèåíòûaèbíàõîäèì èç íåïðåðûâ-íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëå:1 + a = b,a=1 − a = rb,1−r,1+rb=ãäår=q ε+mpε−U +m21+rÎïðåäåëèì òîêè10−1 0p = 2p ,0 ε+mε+m002pjîòð = |a|2ε+mjïàä = 1jïð = |b|20−pε+m2 Re q,ε−U +m0 00 −1000011000Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ: 1 − r 2jîòð ,= |a|2 = jïàä1 + rjïð4 Re rT == |b|2 r =.jïàä|1 + r|2R=ÅñëèU > ε + m,ïîëó÷àåì ïàðàäîêñàëüíóþ ñèòóàöèþ.
Îòðàæåííûé òîê áîëüøå ïà-äàþùåãî, à ïðîøåäøèé íàïðàâëåí â äðóãóþ ñòîðîíó. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ïðèâåäåíà íà Ðèñ. 2.4. Ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ âíåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ñïëîøíàÿ ðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé (óðàâíåíèå Äèðàêà). Ýíåðãèÿ íàëåòàþùåé ÷àñòèöû âûáðàíàε = 1.5m.2.2. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄÈÐÀÊÀ2.2.565Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÓðàâíåíèå Äèðàêà èìååò íåêîòîðûå äèñêðåòíûå ñèììåòðèè.
Ýòè ñèììåòðèèîïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìÄèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÇäåñü ìàòðèöà ψ(x) → ψ 0 (x) = γ 0 ψ(t, −x)A0 → A00 (x) = A0 (t, −x)P :A(x) → A0 (x) = −A(t, −x) ψ(x) → ψ 0 (x) = γ 1 γ 3 ψ ∗ (−t, x)A0 (x) → A00 (x) = A0 (−t, x)T :A(x) → A0 (x) = −A(−t, x)ψ(x) → ψ 0 (x) = iγ 2 ψ ∗ (x)C:Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (x)ψ(x) → ψ 0 (x) = γ 5 ψ(−x)CP T :µA (x) → A0µ (x) = −Aµ (−x)0 1γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =.1 0(2.13)(2.14)(2.15)(2.16)Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà îòíîñèòåëüíî P, C, T . Ïðîâåðèòü, ÷òî P 2 = C 2 = T 2 = 1.Óïðàæíåíèå 2.11.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïåðàöèéPèTïîíÿòåí: ýòî, ñîîòâåòñòâåííî, ñèììåò-ðèè îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûÿñíèòüñìûñëC -÷åòíîñòè, âûïîëíèì ýòó îïåðàöèþ íàä îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûì ðåøåψ(x) = eipx v(p):íèåì óðàâíåíèÿ Äèðàêà√Ceipx v(p) → iγ 2 v ∗ (p)e−ipx = e−ipx ε + m=eãäå−ipx√ϕ = iσy χ∗ .iσy χ∗ε+mσ∗ p ∗−iσy ε+mχ=e−ipx0−iσy√iσy0ε+m σ∗ pε+m χ∗∗χiσy χ∗!∗σ p−σy ε+mσy iσy χ∗√ϕ= e−ipx ε + m σp,ε+m ϕÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîìσ -ìàòðèöïðîâåðèòü∗σy σ σy = −σ .Ìû âèäèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåìC -ñîïðÿæåíèÿ âîëíîâàÿe−ipx u(p), òî åñòüöèÿ îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîãî ýëåêòðîíà ïåðåøëà âôóíêâ âîë-íîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöû ñ ïðàâèëüíûì çíàêîì ýíåðãèè. Ìîæíî ïîäåéñòâî-66ÃËÀÂÀ 2.ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßâàòü è â äðóãóþ ñòîðîíó ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíîãî ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñîïðÿæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèèïîëîæèòåëüíî-÷àñòîòíîãî ñîñòîÿíèÿ:eipx v(p) = iγ 2 u(p)e−ipx∗(2.17)Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ïåðåõîäà ýëåêòðîíà ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé (èç ìîðÿÄèðàêà) â ñîñòîÿíèå ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé (ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ïîëÿ).Ñîãëàñíî ïðàâèëàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè àìïëèòóäà òàêîãî ïðîöåññà ëèíåéíà ïîâîëíîâîé ôóíêöèè íà÷àëüíîãî ýëåêòðîíà è àíòèëèíåéíà ïî âîëíîâîé ôóíêöèèêîíå÷íîãî.
Òî åñòü, ñõåìàòè÷íî àìïëèòóäà âûãëÿäèò òàê:M = u† (p2 ) . . . v(p1 ).Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ êîíå÷íîé ÷àñòèöû âõîäèò â àìïëèòóäó ñîïðÿæåííîé, à íà÷àëüíîé íå ñîïðÿæåííîé.Ïîñìîòðèì òåïåðü íà ýòîò ïðîöåññ ïî-äðóãîìó: âíåøíåå ïîëå ðîæäàåò ïàðó ýëåêòðîí(÷àñòèöà)-ïîçèòðîí(äûðêà â ìîðå Äèðàêà). Áëàãîäàðÿ ñîîòíîøåíèþ(2.17) ìû âèäèì, ÷òî àìïëèòóäó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåM = u† (p2 ) . . . u∗ (p1 ),òî åñòü ôóíêöèÿu(p1 )èãðàåò ðîëü âîëíîâîé ôóíêöèè äûðêè ïîçèòðîíà èâõîäèò â àìïëèòóäó, êàê è ñëåäóåò âîëíîâîé ôóíêöèè êîíå÷íîé ÷àñòèöû, ñîïðÿ-îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà ÿâëÿåòñÿ C -ñîïðÿæåíèåì (èëè çàðÿäîâûì ñîïðÿæåíèåì)âîëíîâîé ôóíêöèè ïîçèòðîíà.æåííîé.
Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òîÂîîáùå ãîâîðÿ, â îïðåäåëåíèå ñèììåòðèéïðîèçâîëüíûå ôàçû4P, T, Cäëÿ ïîëÿψìîæíî ââåñòèηP,T,C .P :ψ(x) → ψ 0 (x) = ηP γ 0 ψ(t, −x)T :ψ(x) → ψ 0 (x) = ηT γ 1 γ 3 ψ ∗ (−t, x)C :ψ(x) → ψ 0 (x) = ηC iγ 2 ψ ∗ (x)ÌíîæèòåëüηPïðè ýòîì èãðàåò ðîëü âíóòðåííåéP -÷åòíîñòè÷àñòèöû, à óòâåð-æäåíèå î åãî ïðîèçâîëüíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ýòà âíóòðåííÿÿ ÷åòíîñòü íå îïðåäåëåíà. Ïîêàæåì îäíàêî, ÷òî âíóòðåííÿÿ ÷åòíîñòü ñèñòåìû ýëåêòðîí-ïîçèòðîíâñåãäà îòðèöàòåëüíà, íåçàâèñèìî îò âûáîðà ìíîæèòåëÿηP .Äëÿ ýòîãî çàìåòèì,4 ×òîáû âûïîëíÿëîñü P 2 = 1 ìíîæèòåëü η äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ±1. Åñëè æå ðàññìàòðèâàòüPP êàê ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ôàçà ηp ìîæåò áûòü ëþáîé.2.2. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄÈÐÀÊÀ67÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïîçèòðîíàψïîç (x)ïðåîáðàçóåòñÿ êàêψïîç (x) ∼ iγ 2 ψ ∗ (x)∗P→ iγ 2 ηP γ 0 ψ(−x) = −γ 0 ηP∗ iγ 2 ψ ∗ (−x) ∼ −ηP∗ γ 0 ψïîç (−x),è ïîýòîìó âíóòðåííÿÿ ÷åòíîñòü ïîçèòðîíà ðàâíà−ηP∗ .Âíóòðåííÿÿ ÷åòíîñòüñèñòåìû ýëåêòðîí-ïîçèòðîí ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âíóòðåííèõ ÷åòíîñòåé:ηP · (−ηP∗ ) = −1,÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.2.2.6Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÊàê óæå áûëî îòìå÷åíî, êîìïîíåíòû ôóíêöèèψäîëæíû ïðåîáðàçîâûâàòü-ñÿ íåòðèâèàëüíûì îáðàçîì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
