1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Èñïîëüçóåìíåïðèìåíèìîñòü óðàâíåíèÿ (1.37) ïðè áîëüøèõóðàâíåíèå (1.37) è ïîëó÷àåìˆÝéêîíàëüíàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿˆikdρe−iqρ dz ∂z F (z, ρ)2πˆˆkk=dρe−iqρ [F (∞, ρ) − F (−∞, ρ)] =dρe−iqρ [S(ρ) − 1],2πi2πif (θ) = −ãäåÝéêîíàëüíàÿ ôàçà ðàññåÿíèÿS(ρ) = e2iδ(ρ)ˆ ∞1δ(ρ) = −dz U (z, ρ)2}v −∞Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ ïðèìåíèìîñòè áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ, òîδ(ρ) ∼ñêóþ ôîðìóëó.maU0}2 k1è, ðàñêëàäûâàÿ ýêñïîíåíòó, ïîëó÷àåì áîðíîâ-Ïîëíîå ñå÷åíèå óäîáíåå âñåãî ïîëó÷èòü èç îïòè÷åñêîé òåîðåìû:σ=4πIm f (0) = 2 Rekˆˆdρ[1 − S(ρ)] = 4dρ sin2 δ(ρ)Ìîæíî ïîëó÷èòü òó æå ôîðìóëó èç ôàçîâîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ. Äëÿ ýòîãîçàìåòèì, ÷òî äëÿ áûñòðûõ ÷àñòèö îñíîâíîé âêëàä äàåò ðàññåÿíèå ñ áîëüøèìèìîìåíòàìè è ìû ìîæåì ïðèìåíèòü êâàçèêëàñè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå.ˆˆ ∞ pmU (r)rdrmq=− 2Uz 2 + l2 /k 2 dz} k 0r0 }2 (kr)2 − l2ˆ ∞ pmU=− 2z 2 + l2 /k 2 dz = δ(l/k).2} k −∞∞δl ≈ −Ñìûñë ýòîé ñâÿçè ìåæäóïðèöåëüíûì ïàðàìåòðîìδl è δ(ρ) ïîíÿòåí: â êëàññèêå ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿρ, èìåþò ìîìåíò pρ, òî åñòü (}l)class = pρ = }kρ.ñ1.12.
ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ ÑÎ ÑÏÈÍÎÌlÑóììèðîâàíèå ïî43â ôîðìóëå äëÿ ïîëíîãî ñå÷åíèÿ ìîæíî çàìåíèòü èíòå-ãðèðîâàíèåì è ìû ïîëó÷àåì òî æå âûðàæåíèå:ˆ4π X4π2(2l+1)sinδ≈2ldl sin2 δllk2k2ˆlˆ2≈ 4π 2ρdρ sin δ(ρ) = 4 dρ sin2 δ(ρ).σ=1.12Ðàññåÿíèå ÷àñòèö ñî ñïèíîìÐàññåÿíèå ÷àñòèö ñî ñïèíîì òðåáóåò íåêîòîðîãî îáîáùåíèÿ ïðèâåäåííûõ ôîðìóë.
Àñèìïòîòèêà âîëíîâîé ôóíêöèè òåïåðü èìååò âèä:ψ = ψïàä + ψðàññ = eikz ϕ + fˆ(θ)ϕeikr,rfˆ(θ) íåêîòîðàÿ ìàòðè÷íàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà fˆ(θ) â òîì, ÷òî, äåéñòâóÿ íà íà÷àëüíûé ñïèíîð, îí îïðåäåëÿåò êîíå÷íóþãäåïîëÿðèçàöèþ. Ïóñòü íàø äåòåêòîð ëîâèò òîëüêî ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííîé ïîëÿðèçàöèåé, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ñïèíîðîìñîñòîÿíèåϕi .ϕf , à íà÷àëüíûå ÷àñòèöû èìåþò ñïèíîâîåÒîãäà àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ èìååò âèäf (θ) = ϕ†f fˆ(θ)ϕiÑå÷åíèå, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíîdσ2= |f (θ)|dΩÒåïåðü ïóñòü äåòåêòîð ëîâèò âñå ÷àñòèöû, ëåòÿùèå ïîä óãëîìθ. Ìîæåì ñêà-çàòü, ÷òî ïîëíîå ñå÷åíèå ðàâíî ñóììå ñå÷åíèÿ ñî ñïèíîì äåòåêòèðóåìûõ ÷àñòèö,íàïðàâëåííûì ââåðõ è ñå÷åíèÿ ñî ñïèíîì, íàïðàâëåííûì âíèç.2 XX †dσtot=ϕ†i fˆ† (θ)ϕf ϕ†f fˆ(θ)ϕiϕf fˆ(θ)ϕi =dΩffXϕf ϕ†f fˆ(θ)ϕi = ϕ†i fˆ† (θ)fˆ(θ)ϕi= ϕ†i fˆ† (θ)fÇäåñü ìû èñïîëüçîâàëè, ÷òîXfϕf ϕ†f=1001(1, 0) +(0, 1) =1001.44ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÅñëè ïó÷îê íà÷àëüíûõ ÷àñòèö íå ïîëÿðèçîâàí, òîãäà íóæíî ïðîâåñòè óñðåäíåíèå ïî íà÷àëüíûì ÷àñòèöàì:dσunpol,tot1= Tr fˆ† (θ)fˆ(θ)dΩ2Ïîëó÷èì îïåðàòîðfˆ(θ)äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîòåíöèàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåÛ (r) = U1 (r) + U2 (r)(σl)Ïîñêîëüêó òåïåðü ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì, äåéñòâóþùèì íà êîîðäèíàòíóþ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè, áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå äëÿâàåòñÿ êàêmfˆB (θ) = −2π}2ˆfˆ(θ)çàïèñû-0dre−ik r Û (r)eikrÐàíüøå, êîãäà ïîòåíöèàë áûë ïðîñòî ôóíêöèåé, ìû ñðàçó îáúåäèíÿëèèeikrâe−iqr0e−ik r(ñì.
ôîðìóëó (1.6)), à òåïåðü ñíà÷àëà íóæíî ïîäåéñòâîâàòü îïå-ðàòîðîì:ˆ(r × p) ikrm−ik0 rdreU(r)+U(r)σefˆB (θ) = −122π}2}ˆmdre−iqr [U1 (r) + U2 (r)σ(r × k)]=−2π}2ˆmdr[U1 (r) − U2 (r)σ(k×i∇q )]e−iqx=−2π}2im h=−Ũ(q)−iσ(k×∇)Ũ(q)1q22π}2 m(k × q) ∂Ũ(q)−iσŨ(q)=−122π}2q∂q#"0k×k ∂m=−Ũ1 (q) − iσŨ2 (q)2π}2q∂q1.12.1Ïîëÿðèçàöèîííàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè.Êàê èçâåñòíî, ìàòðèöà ïëîòíîñòè èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî îïèñàíèÿñèñòåìû, êîãäà ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íå ïîëíîñòüþ èçâåñòíî.
Ââåcòè ýòî ïîíÿòèåìîæíî òàê. Äîïóñòèì, ìû õîòèì îïèñàòü ñòàòèñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, âêîòîðîì îíà íàõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþñòîÿíèè|ψ α i.Ïðèðîâàíû, ò.å.â ÷èñòîì êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ñî-|ψ α i.Ìû ñ÷èòàåì ëèøü, ÷òî ñîñòîÿíèÿP íîðìèñòàòèñòè÷åñêîå îïèñàíèå ïîëíî, ò.å.α wα = 1.ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìûαwαýòîì, êîíå÷íî, ìû íå õîòèì ïðåäïîëàãàòü îðòîãîíàëüíîñòü èαhψ |ψ i = 1è÷òî1.12. ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ ÑÎ ÑÏÈÍÎÌ45Òîãäà, âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ñèñòåìó â ñîñòîÿíèèïðîèçâåäåíèé âåðîÿòíîñòèíàéòè â ñîñòîÿíèèψiwiψâû÷èñëÿåòñÿ êàê ñóììàñèñòåìå íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèèψ:Xψiíà âåðîÿòíîñòüñîñòîÿíèåW (ψ) =2wα |hψ|ψ α i| = hψ|ρ|ψi,αρ=Xwα |ψ α ihψ α |,(1.38)αÂåëè÷èíàρíàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè.
Ïî îïðåäåëåíèþ îíà îáëàäàåòñâîéñòâàìèρ† = ρTr ρ = 1,(1.39)Åùå îäíèì âàæíûì ñâîéñòâîì ìàòðèöû ïëîòíîñòè, êîòîðîå âûòåêàåò èçîïðåäåëåíèé ÿâëÿåòñÿTr ρ2 6 1Óïðàæíåíèå 1.8.Äîêàçàòü ñâîéñòâîÇàäàíèå âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèéψα(1.40).(1.40)è èõ âåðîÿòíîñòåéwαÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷-íûì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè, îäíàêî, íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì.Âûáåðåì êàêîé-íèáóäü ïîëíûé íàáîð íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèé{|1i, |2i, .
. .}. Íåçài ðàâíà 1âèñèìîñòü îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âåðîÿòíîñòü íàéòè ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè(òî åñòü ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè|ii),òî âåðîÿòíîñòü åå íàéòè â äðóãîìñîñòîÿíèè èç íàáîðà ðàâíà íóëþ. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåòîðòîíîðìèðîâàííîñòü íàáîðà:hi|ji = δij .Òîãäà ìàòðèöó ïëîòíîñòè (ïðîëîæèâ äâàæäû ïîëíûé íàáîð) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåρ=XijX|iiρij hj|,i,jρ =wα hi|ψ α ihψ α |ji.αÂèäèì, ÷òî äëÿ çàäàíèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè äîñòàòî÷íî çàäàòü ÷èñëàρij .Åñëè ìû ïîäðàçóìåâàåì êàêîé-íèáóäü áàçèñ, òî ìîæíî çàäàâàòü ìàòðèöó ïëîòíîñòè â âèäå ìàòðèöû ñ ýëåìåíòàìèρij ,îòñþäà è íàçâàíèå.
Êàê ìû çíàåì, âíåðåëÿòèâèçìå ñïèíîâàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè ñî ñïèíîì1/2 ïðåäñòàâëÿëàñüäâóõêîìïîíåíòíûì ñïèíîðîì. Ïîëíûé íàáîð ìîæíî â ýòîì ñëó÷àå âûáðàòü, íàïðèìåð, â âèäå10,01 . Ñîîòâåòñòâåííî, ìàòðèöà ïëîòíîñòè èìååò ðàçìåðíîñòü46ÃËÀÂÀ 1.2 × 2. Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà (1.39) èÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈß(1.40), ìû ìîæåì çàïèñàòü íåðåëÿòèâèñòñêóþïîëÿðèçàöèîííóþ ìàòðèöó â âèäåρnr =Xwα ϕα ϕα† =αãäåσ ìàòðèöû Ïàóëè, àξ1(1 + σξ),2Ïîêàçàòü, ÷òî èçñëåäóåò, ÷òî÷òî ξ2 = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîñòîÿíèå ÷èñòîå.Óïðàæíåíèå 1.9.1.12.2ξ 2 6 1.ξ 61 âåêòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ(1.40)2.
Ïîêàçàòü,Ïîëÿðèçàöèÿ êîíå÷íûõ ÷àñòèöÎáñóäèì ñëåäóþùóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è: ïóñòü ó íàñ åñòü íà÷àëüíîå, ÷àñòè÷íîïîëÿðèçîâàííîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèö. Ìû õîòèì îïðåäåëèòü ñðåäíþþ ïîëÿðèçàöèþäëÿ ÷àñòèö, ðàññåÿííûõ ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì. Òîãäà ñå÷åíèå çàïèñûâàåòñÿâ âèäådσ= ϕ†f fˆ(θ)ρi fˆ† (θ)ϕfdΩÝòî ñå÷åíèå ïðîïîðöèîíàëüíî âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ñðåäè ðàññåÿííûõ ÷àñòèö ÷àñòèöû ñî ñïèíîâûì ñîñòîÿíèåìϕf .Ñðàâíèâàÿ ñ (1.38), çàêëþ÷àåì, ÷òîâûðàæåíèåfˆ(θ)ρi fˆ† (θ)ïðîïîðöèîíàëüíî ìàòðèöå ïëîòíîñòè êîíå÷íûõ ÷àñòèöÌàòðèöàfˆ(θ)ðàñêëàäûâàåòñÿ ïîσ -ìàòðèöàìρph .è ïî åäèíè÷íîé. Åñëè ïîòåí-öèàë öåíòðàëüíûé, òî åäèíñòâåííûé àêñèàëüíûé âåêòîð, êîòîðûé ìîæíî ñîñòàâèòü èç ïàðàìåòðîâ çàäà÷èfˆ(θ)k, k0 ýòîν=k×k0|k×k0 | . Ïîýòîìó îáùèé âèä ìàòðèöûòàêîé:fˆ(θ) = A + iBνσÇäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî îïåðàòîðfˆ(θ)íå äîëæåí ìåíÿòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ è îòðàæå-íèÿõ.
Âûðàçèì ïîëÿðèçàöèþ êîíå÷íûõ ÷àñòèö ÷åðåç ïàðàìåòðûAèBêîãäà íà÷àëüíûå ÷àñòèöû íåïîëÿðèçîâàíû:ρph ∝ fˆ(θ)ρi fˆ† (θ) ∝ fˆ(θ)fˆ† (θ) = (A + iBνσ)(A∗ − iB ∗ νσ)2ρph2= |A| + |B| + 2 Im AB ∗ νσ!12 Im AB ∗ νσ=1+222|A| + |B|â ñëó÷àå,1.12. ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ ÑÎ ÑÏÈÍÎÌ47Ïîýòîìó âåêòîð ïîëÿðèçàöèè êîíå÷íûõ ÷àñòèö èìååò âèäξ ph =ÅñëèAèB2 Im AB ∗ ν2.2|A| + |B|âåùåñòâåííû è íà÷àëüíûå ÷àñòèöû íåïîëÿðèçîâàíû, òî êîíå÷-íûå ÷àñòèöû òîæå íå ïîëÿðèçîâàíû. Ðàññìîòðèì åùå ñëó÷àé, êîãäàAèBâå-ùåñòâåííû, íî ó íà÷àëüíûõ ÷àñòèö åñòü ïîëÿðèçàöèÿ. Òîãäàρph ∝ fˆ(θ)ρi fˆ† (θ) ∝ (A + iBνσ)(1 + σξ i )(A − iBνσ)Ðàñêðûâàåì ñêîáêè è ïîëüçóåìñÿσi σj = δij + iεijk σk :ρph ∝ A2 + B 2 + A2 σξ i + 2AB(ξ i × ν)σ + B 2 (2(νξ i )νσ − σξ i )= A2 + B 2 + A2 − B 2 σξ i + 2AB(ξ i × ν)σ + 2(νξ i )B 2 (νσ)ξ i íà êîìïîíåíòó, ïàðàëëåëüíóþ νν : ξ i = ξ ik + ξ i⊥ = ν(νξ i ) + ξ i⊥ .
ÒîãäàÒåïåðü ðàçëîæèìäèêóëÿðíóþξ phA2 − B 2 ξ i + 2AB(ξ i × ν) + 2(νξ i )B 2 ν=A2 + B 222A − B ξ i⊥ + 2AB(ξ i⊥ × ν)= ξ ik +A2 + B 2(ξ i⊥ × ν)ξ i⊥2ξ i⊥ , ïîëó÷àåìÈñïîëüçóÿ, ÷òî2(ξ i⊥ × ν) =ξ 2ph = ξ 2ik +è êîìïîíåíòó, ïåðïåí-A2 − B 2A2 + B 2= (ξ i⊥ × ν)ξ ik = ξ ik ξ i⊥ = 0,2ξ 2i⊥ +2ABA2 + B 22ξ 2i⊥ = ξ 2ik + ξ 2i⊥ = ξ 2i ,òî åñòü, ìîäóëü âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè íå ìåíÿåòñÿ, à ïîñêîëüêóξ phk = ξ ik ,òî âðåçóëüòàòå ðàññåÿíèÿ âåêòîð ïîâîðà÷èâàåòñÿ â ïëîñêîñòè ðàññåÿíèÿ íà óãîëtan φ =2AB,A2 − B 2tanφ= B/A2φ:48ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÃëàâà 2Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûåóðàâíåíèÿÂñïîìíèì, êàê âûãëÿäèò ñïåêòð àòîìà âîäîðîäàâ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Óðîâíèýíåðãèè èìåþò âèäEn = −me42}2 n2Íà ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàþòñÿ ïåðåõîäû ìåæäó ýòèìè óðîâíÿìè ñ ÷àñòîòàìèν=Ry11En − En0=−,2π}2π} n02n2Ðèñ.2.1:Òîíêàÿñòðóêòó-me4−18Äæ.2}2 ≈ 13.6 ý = 2.18 · 10Îäíàêî óæå ñàìûå ðàííèå ýêñïåðèìåíòû ïîðà óðîâíåé â àòîìå âîäîðî-èçìåðåíèþ ñïåêòðà àòîìà âîäîðîäà è îäíîçàðÿä-íåðåëÿòèâèñòñêèõ íåñêîëü-íîãî èîíà ãåëèÿ ñâèäåòåëüñòâîâàëè î òîì, ÷òî óêî ïðåóâåëè÷åíû (âýòèõ óðîâíåé åñòü òîíêàÿ ñòðóêòóðà, òî åñòü, ÷òî20000ãäåRy =äà.
Îòêëîíåíèÿ óðîâíåé îòα−2 ≈ðàç).êàæäûé óðîâåíü (êðîìå ïåðâîãî) ðàñùåïëåí íàíåñêîëüêî ïîäóðîâíåé ñ íåìíîãî îòëè÷àþùèìèñÿ ýíåðãèÿìè (Ðèñ. 2.1). Ýòàñòðóêòóðà âïåðâûå áûëà îòêðûòà â îïûòàõ Ìàéêåëüñîíà åùå â 1891 ãîäó, íîèçìåðèòü ðàñùåïëåíèå óäàëîñü Ïàøåíó (â îäíîçàðÿäíîì èîíå ãåëèÿ) ëèøü ÷åðåç ÷åòâåðòü âåêà. Êàê îêàçàëîñü, ýòî ðàñùåïëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ è ïðåêðàñíî ñîãëàñóåòñÿ ñ âû÷èñëåíèÿìè, âûïîëíåííûìè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Òàêèì îáðàçîì, äàæå â ïðîñòåéøèõ àòîìàõ4950ÃËÀÂÀ 2.ÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß(íàïðèìåð, â àòîìå âîäîðîäà) ìîæíî íàáëþäàòü ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
