1626435209-54edbe83b4b9586aac76066446066b2d (844183), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îäíàêî, äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ íóæíî, âîîáùå ãîâîðÿ, íàéòè ðåøåíèå ðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà è îïðåäåëèòü åãî àñèìïòîòèêó ïðè áîëüøèõðàññòîÿíèÿõ. Ýòà çàäà÷à àíàëèòè÷åñêè ðåøàåòñÿ ëèøü äëÿ íåáîëüøîãî ÷èñëàïîòåíöèàëîâ. Ïîýòîìó â ðåàëüíîé æèçíè äàæå äëÿ öåíòðàëüíîãî ïîòåíöèàëàïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ëèáî ê ÷èñëåííîìó ñ÷åòó, ëèáî ê íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèÿì, êîòîðûå áóäóò îïèñàíû äàëåå. Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó äëÿ ôàçûðàññåÿíèÿ.
Ïðèåì, êîòîðûé ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äîëæåí óæå ñòàòü çíàêîìûì. Çàïèøåì ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå â ïîòåíöèàëå è ñâîáîäíîå:l(l + 1) 2m−U(r)χl = 0∂r2 χl + k 2 −r2}2l(l + 1) 0∂r2 χ0l + k 2 −χl = 0r2Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íàè ïðîèíòåãðèðóåì ïîr.χ0 ,à âòîðîå íàˆRdrχ0l ∂r2 χl−χl ∂r2 χ0l0|ÏðèR→∞χ,âû÷òåì îäíî èç äðóãîãîÏîëó÷èì{zχ0l (R)χ0 (R)−χ(R)χ00l (R)2m= 2}ˆRdr χ0l U (r)χ0}ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ðàâíàχ0l (R)χ0l (R)− χl (R)χ00l (R) → 2 sin (kr − πl/2) · 2k cos (kr − πl/2 + δl )− 2 sin (kr − πl/2 + δl ) · 2k cos (kr − πl/2)= −4k sin δlÈòàê, ïîëó÷àåìmsin δl = −2k}2ˆ∞dr χ0l U (r)χl0Ïåðåä òåì, êàê îáñóæäàòü ðàçëè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ, èñïîëüçóåì ïîëó÷åííûåôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðûõ îáùèõ ñâîéñòâ ðàññåÿíèÿ.1.8.
ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÌÅÄËÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ1.829Ðàññåÿíèå ìåäëåííûõ ÷àñòèöÏóñòü ïîòåíöèàë èìååò êîíå÷íûé ðàçìåða,òàêîé, ÷òîÏðèáëèæåíèå ìåäëåííûõ ÷àñòèöka 1,(1.23)Ýòî óñëîâèå è îïðåäåëÿåò ïðèáëèæåíèå ìåäëåííûõ ÷àñòèö. Ìîæíî åãî ñôîðìóëèðîâàòü åùå òàê: Äëèíà âîëíû ÷àñòèöû2π/k äîëæíà áûòü äîëüøîé ïî ñðàâ-íåíèþ ñ ðàçìåðàìè ïîòåíöèàëà.
Áëàãîäàðÿ ýòîìó óñëîâèþ, äëÿ ðàäèàëüíîãîóðàâíåíèÿl(l + 1) 2m2∂r2 χ + −−U(r)+kχ=0r2}2ñóùåñòâóåò îáëàñòü ðàññòîÿíèéa r 1/k ,â êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èïîòåíöèàëîì è ýíåðãèåé ÷àñòèö. Äàëåå ìû àêêóðàòíî èñïîëüçóåì ýòîò ôàêòäëÿ ïîëó÷åíèÿ çàâèñèìîñòè ôàç ðàññåÿíèÿ îòÍà ðàññòîÿíèÿõ, ìíîãî ìåíüøèõ ÷åì1/k ,k.ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîìk2âðàäèàëüíîì óðàâíåíèè. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, íå çàâèñÿùåå îò ýíåðãèè ÷àñòèö:l(l + 1) 2m∂r2 χ + −−U(r)χ=0r2}2(r 1/k)(1.24)Ýòî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà è ïîýòîìó èìååò, âîîáùå ãîâîðÿ, äâà ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ.
Îäíàêî, ãðàíè÷íîå óñëîâèå â íóëåχ(0) = 0ôèêñèðóåòðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû. Àñèìïòîòèêà ýòîãî ðåøåíèÿ ïðèr 1/k )ra(íîäîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ áåç ïîòåíöèàëà∂r2 χ −l(l + 1)χ=0r2(a r 1/k)Ýòî îäíîðîäíîå óðàâíåíèå è åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèäχ = c1 rl+1 + c2 r−lÊîýôôèöèåíòûc1,2 ,(a r 1/k)(1.25)ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåé íîðìèðîâî÷íîé êîíñòàíòû, íåçàâèñÿò îò ýíåðãèè (ò.ê. óðàâíåíèå (1.24) íå çàâèñèò îò ýíåðãèè). Èõ îòíîøåíèåçàâèñèò òîëüêî îò êîíêðåòíîãî âèäà ïîòåíöèàëà. Íà åùå áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõr & 1/kìû óæå íå ìîæåì ïðåíåáðå÷ük 2 ,íîïîòåíöèàë ìîæíî âûáðîñèòü. Ìûïîëó÷àåì ñâîáîäíîå ðàäèàëüíîå óðàâíåíèål(l + 1)2∂r2 χ + −+kχ = 0,r2(a r)30ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÎäíî ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, çàíóëÿþùååñÿ â íóëå, ìû óæå çíàåì (ñì. (1.15)):ldsin (kr)0rRkl(r) = rjl (kr) ∝ χ1 (r) = rl+1 −.r drr(1.26)sin → cos:lcos (kr)d0l+1.rRkl (r) = rjl (kr) ∝ χ2 (r) = r−r drrÂòîðîå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé(1.27)Íàì íóæíà ñóïåðïîçèöèÿ ýòèõ ðåøåíèé, ïåðåõîäÿùàÿ â (1.25) íà ðàññòîÿíèÿõr 1/k .×òîáû ïîëó÷èòü àñèìïòîòèêóχ1 (r)èχ2 (r)ïðèr 1/k ,íóæíîðàçëîæèòüsin (kr)r=∞nX(−1)k 2n+1 r2n(2n+1)!n=0cos (kr)r=1+ ...rlsin (kr)çàíóëÿåò ïåðâûåríîâ ðàçëîæåíèÿ è, îñòàâëÿÿ ïåðâûé íåíóëåâîé ÷ëåí (ñ n = l), ïîëó÷àåì− r ddrÄåéñòâèå îïåðàòîðîìr1/krl+1∼χ1 (r)l÷ëå-1(2l)!! 2l+1k=k 2l+1 rl+1(2l + 1)!(2l + 1)!!lcos (kr)− r ddrÄåéñòâèå îïåðàòîðîìíà ðàçëîæåíèåíà ðàçëîæåíèårâû÷èñëèòü ïðîùå óæåïåðâûé ÷ëåí äàåò ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè íå íîëü:χ2 (r)r1/k∼rl+1 (2l − 1)!!r−2l−1 = (2l − 1)!!r−lÏîýòîìó, ïðàâèëüíàÿ ñóïåðïîçèöèÿ èìååò âèäχ = c1(2l + 1)!!1χ1 (r) + c2χ2 (r)k 2l+1(2l − 1)!!Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ôàçó ðàññåÿíèÿ, ìû ðàññìàòðèâàåì àñèìïòîòèêóχ(r)ïðèr → ∞.Àñèìïòîòèêà ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòî: ïðîèçâîäíûå äåéñòâóþòíà ñèíóñ è êîñèíóñ.
Òîãäà êàæäîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ñäâèãàåò àðãóìåíò íàπ/2è ìû ïîëó÷àåì∝cos δl∝sin δl}|{z}|{(2l+1)!!1r→∞lχ(r) → c1sin (kr − πl/2) + c2 kcos (kr − πl/2)k l+1(2l − 1)!!z1.8. ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÌÅÄËÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ31Èñïîëüçóÿ èçâåñòíóþ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëócos α sin β ,sin (α + β) = sin α cos β+ïîëó÷àåì, ÷òîtan δl ≈c2 k 2l+1c1 (2l − 1)!!(2l + 1)!!(1.28)tan δl ≈ δl ∝ k 2l+1 .
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî ìåäëåííûõ ÷àñòèö âñåãäà ïðåîáëàäàåò âêëàä l = 0(s-âîëíû). Ïîëó÷àåìÏðè äîñòàòî÷íî ìàëûõkôàçû ðàññåÿíèÿ ìàëû èÀìïëèòóäà è ñå÷åíèå ÷åðåç äëèíó ðàññåÿíèÿ−1−1f (θ) ≈ f0 = [k cot δ0 − ik]Çäåñü ïîñòîÿííàÿkα = −c2 /c1≈ − [1/α + ik],(1.29)íàçûâàåòñÿ äëèíîé ðàññåÿíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òîîáåçðàçìåðèâàåòñÿ ïàðàìåòðàìè ïîòåíöèàëà (âõîäÿùèìè â îòíîøåíèåc2 /c1 ).Åñëè ïîòåíöèàë íå èìååò ìåëêîãî óðîâíÿ, òî åäèíñòâåííûé ïàðàìåòð ðàçìåðíîñòè äëèíû ñαa. ýòîì ñëó÷àå â àìïëèòóäå ìîæíî ïðåíåáðå÷ükïî ñðàâíåíèþè ïîëó÷èòüf = −α,dσ= α2 ,dΩσ = 4πα2Ïîÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë äëèíû ðàññåÿíèÿ. Ìåäëåííûå ÷àñòèöû, èìåÿáîëüøóþ äëèíó âîëíû, íå ÷óâñòâóþò âñåõ äåòàëåé ïîòåíöèàëà.  ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïîòåíöèàë îïèñûâàåòñÿ îäíèì-åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì äëèíîéðàññåÿíèÿα.×òîáû íàéòè ýòîò ïàðàìåòð, äîñòàòî÷íî íàéòè ðåøåíèå ðàäèàëü-íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ∂r2 χ −l=0èE = 0:2mU (r)χ = 0,}2χ(0) = 0Åñëè ïîòåíöèàë ëîêàëèçîâàí â êîíå÷íîé îáëàñòè, òî âíå åå ðåøåíèå ýòîãîχ = c1 r + c2 (ñð.
ñ (1.25)). Ñøèâêàc1 /c2 , à äëèíà ðàññåÿíèÿïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé c1 r + c2 ñ îñüþ x.óðàâíåíèÿ èìååò âèä ëèíåéíîé ôóíêöèèñ îáëàñòüþ ìàëûõ ðàññòîÿíèé ôèêñèðóåò îòíîøåíèåðàâíàα = −c2 /c1 ,Çàìå÷àíèåòî åñòü, êîîðäèíàòåÂñïîìíèì àíàëîãèþ ñ îäíîìåðíîé çàäà÷åé: ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðå-äèíãåðà â ìåëêîé ÿìå. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà êâàíòîâîé ìåõàíèêè, åñëè ó íàñ åñòü ÿìàõàðàêòåðíîé ãëóáèíû |U | è õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà a, òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ |U | ´}2 /ma2 åå ìîæíî çàìåíèòü íà δ -ôóíêöèîííóþ ÿìó −Gδ(x) ñ ñèëîé −G = dxU (x).Êîíå÷íî, òàêîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ÷àñòèö íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ñ âîëíîâûì âåêòîðîìkòðåáóåò åùå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿka 1,ò.å. äëèíà âîëíû äîëæíà áûòü ìíîãîáîëüøå, ÷åì ðàçìåð ïîòåíöèàëà.
Òî åñòü, ìåëêàÿ ÿìà ýôôåêòèâíî îïèñûâàåòñÿ îäíèìïàðàìåòðîìG.Âìåñòî ýòîãî ïàðàìåòðà ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ¾äëèíó ðàññåÿíèÿ¿}2 /mG. ðàçìåð âîëíîâîé ôóíêöèè åäèíñòâåííîãî ñâÿçàííîãî ðàññòîÿíèÿ32ÃËÀÂÀ 1.ÒÅÎÐÈß ÐÀÑÑÅßÍÈßÍàéòè äëèíó ðàññåÿíèÿ äëÿ ñôåðè÷åñêîé ÿìû U (r) = −U0θ(a − r).Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ãëóáèíû U0 äëèíà ðàññåÿíèÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü?Êàêîâà õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà äëèíû ðàññåÿíèÿ ïðè U0 âäàëè îò ýòèõ çíà÷åíèé?Çàäà÷à 1.5.1.8.1Ðåçîíàíñíîå ðàññåÿíèå ìåäëåííûõ ÷àñòèöÅñëè â ïîòåíöèàëå åñòü ìåëêèé óðîâåíü, òî ïîÿâëÿåòñÿ âòîðîé ìàñøòàá ðàçìåð âîëíîâîé ôóíêöèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ.
Ýòîò ðàçìåð äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ìåëêîãî óðîâíÿ ãîðàçäî áîëüøå ðàçìåðîâ ïîòåíöèàëà. Ìû ïîêàæåì, ÷òî âýòîì ñëó÷àå äëèíà ðàññåÿíèÿ êàê ðàç ðàâíà ýòîìó ðàçìåðó, è ïîýòîìó tan δ0 ≈−kα, à âìåñòå ñ íèì è δ0 , ìîæåò óæå áûòü íå ìàëûì.  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåìf0 =e2iδ0 − 111=≈−2ikk cot δ0 − ik1/α + ikè ñå÷åíèå èìååò âèäσ≈4π1/α2 + k 2(1.30)×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî äëèíà ðàññåÿíèÿ äåéñòâèòåëüíî ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðîìâîëíîâîé ôóíêöèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ (à1/α ñ äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ),l = 0 íà ðàññòîÿíèÿõ a r âñïîìíèì îáùèé âèä ðàäèàëüíîé ôóíêöèè äëÿ1/k(ñì. (1.25) è (1.29)):χ ≈ c1 r + c2 = c1 (r + c2 /c1 ) = c1 (r − α)Ïîñêîëüêó èç äâóõ óñëîâèékα & 1èka 1ñëåäóåò, ÷òîαa(äëèíà ðàñ-ñåÿíèÿ áîëüøàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ïîòåíöèàëà), ìû âèäèì, ÷òî âëèÿíèåïîòåíèöàëà, ôàêòè÷åñêè, ñâîäèòñÿ ê ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ â íóëå:0χ /χ|r→0=ñ1 (r − α)ñ1= −1/α.r→0Ýòî óñëîâèå íå çàâèñèò îò ýíåðãèè(åñëè ýòà ýíåðãèÿ ìàëà ïî ñðàâíåíèþΣñ ãëóáèíîé ÿìû) è ïîýòîìó ïðèìå-4ΠΑ2íèìî è ê âîëíîâîé ôóíêöèè ìåëêîãîóðîâíÿ.
Âíå ïîòåíöèàëà ýòà âîëíîâàÿôóíêöèÿ èìååò âèä ñïàäàþùåé ýêñïî-2ΠΑ2χ ∝ e−κr è èç óñëîâèÿ âûøå ìûïîëó÷àåì κ = 1/α. Ýíåðãèÿ ñâÿçàí−}2 κ2íîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä ε =2m .íåíòû1ΑkÐèñ. 1.2: Õàðàêòåðíûé âèä ñå÷åíèÿ, êàêôóíêöèè îòk , äëÿ ðåçîíàíñíîãî ðàññåÿíèÿ1.8. ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÌÅÄËÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ33Ïîýòîìó ñå÷åíèå (1.30) â ýòîì ñëó÷àåìîæíî çàïèñàòü òàê:σ≈4π2π}2 /m=κ2 + k 2|ε| + EÒàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè â ñèñòåìå ìåëêîãî óðîâíÿ ìû âèäèì â ñå÷åíèè, êàê ôóíêöèè îòkõàðàêòåðíûé êîëî-êîëîîáðàçíûé ðîñò. Èçìåðÿÿ ýòî ñå÷åíèå, ìû ëåãêî ìîæåì îïðåäåëèòü ýíåðãèþñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ, ñì. Ðèñ. 1.2.Êîíå÷íî, ðîâíî òàêîé æå âèä ñå÷åíèÿ íàáëþäàåòñÿ è â ñëó÷àå, êîãäà ïàðàìåòðû ïîòåíöèàëà áëèçêè ê ïîÿâëåíèþ â íåìíîâîãî óðîâíÿ, íî óðîâíÿ åùå íåò. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäàα < 0,íîóæå áîëüøîå ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ïîòåíöèàëà.
Î òàêîé ñèòóàöèè ãîâîðÿò,÷òî â ïîëå èìååòñÿâèðòóàëüíûé óðîâåíü.Äëÿ óòî÷íåíèÿ ôîðìóëû ìû ìîæåì ó÷åñòü ñëåäóþùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿk cot δ0 :k cot δ0 ≈ −1/α + r0 k 2 /2,êîòîðûé äàåò âêëàä îòíîñèòåëüíîãî ïîðÿäêàkâ(1.31)s-âîëíîâóþàìïëèòóäó. Ìû íåáóäåì êàñàòüñÿ âîïðîñà ïî÷åìó ðàçëîæåíèå èäåò ïî ÷åòíûì ñòåïåíÿììåòðr0íàçûâàåòñÿýôôåêòèâíûì ðàäèóñîì âçàèìîäåéñòâèÿk.Ïàðà-è åãî åñòå-ñòâåííàÿ âåëè÷èíà ïîðÿäêà ðàçìåðîâ ïîòåíöèàëà (ñì. íèæå).Ñå÷åíèå ñ ó÷åòîì ýòîé ïîïðàâêè èìååò âèäσ≈4π2(1/α − r0 k 2 /2) + k 22≈ 4πÏðè1α21kα−3 + (kα)2 (kα)1 + (kr0 )2 + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
