1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Âî-âòîðûõ, ýíåðãèÿ èäåò íà íàãðåâ, âîçáóæäåíèå èëè èîíèçàöèþ ÷àñòèö ñðåäû.Ýòè ïîòåðè íàçûâàþò èîíèçàöèîííûìè äàæå åñëè èîíèçàöèè êàêòàêîâîé íå ïðîèñõîäèò. Èîíèçàöèîííûå ïîòåðè ñîïðîâîæäàþòñÿäèññèïàöèåé ýíåðãèè ïîëÿ, ïîòîìó â îðìóëàõ îíè ó÷èòûâàþòñÿ÷åðåç íåíóëåâóþ ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.Òàê êàê Im ε 6= 0 ïðè ω > 0 (ðàçäåë 1.13), òî äèññèïàöèÿ â ñðåäå åñòü âñåãäà è ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿèîíèçàöèîííûìè ïîòåðÿìè.Ìîæíî, îäíàêî, ðàçäåëèòü äâà êàíàëà ïîòåðü, îðìàëüíîóñòðåìèâ Im ε ê íóëþ â îðìóëå (23.17). Ïîëó÷èâøèéñÿ èíòåãðàë áóäåò îïèñûâàòü òîëüêî ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå, íå ñâÿçàííîå ñ äèññèïàöèåé.
Ñðàçó ïîëîæèòü Im ε = 0 íåëüçÿ, ïîñêîëüêóòîãäà â âûðàæåíèè (23.17) ïîÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü èç-çà íåèíòåãðèðóåìîé îñîáåííîñòè â çíàìåíàòåëå è ÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ êàê óíêöèè ω . Îáîçíà÷èìRe ε(ω) = ε′ ,Im ε(ω) = ε′′(23.18)è ïåðåéäåì â (23.17) ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì, èñïîëüçóÿ ÷åòíîñòü ε′ è íå÷åòíîñòü ε′′ :iq 2I=−2πc2 vZ∞0dωZ∞02dk⊥X±±ω (v 2 − c2 /(ε′ ± iε′′ ))2 + ω 2 /v 2 − ω 2 (ε′ ± iε′′ )/c2 . (23.19)k⊥Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ε′ (ω) 6= 0 âî âñåì èíòåðâàëå ÷àñòîò (òåìñàìûì èç ðàññìîòðåíèÿ èñêëþ÷àåòñÿ ÷åðåíêîâñêîå âîçáóæäåíèå57ïðîäîëüíûõ âîëí, âîçìîæíîå â íåêîòîðûõ ñðåäàõ). Òîãäà ìîæíîïðåíåáðå÷ü ε′′ â ÷èñëèòåëå áîëüøîé äðîáè â (23.19) è ïðèâåñòèñëàãàåìûå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ:AA2iAC,−= 2B − iCB + iCB + C2òàê ÷òî âûðàæåíèå (23.19) ïðèìåò âèäiq 2I=−2πc2 vZ∞0dωZ∞022iω (v 2 − c2 /ε′ )(ω 2 ε′′ /c2 ) dk⊥2 + ω 2 /v 2 − ω 2 ε′ /c2 )2 + (ω 2 ε′′ /c2 )2 .(k⊥ ñèëó òîæäåñòâàx2(23.20)γ−−−→ πδ(x)+ γ 2 γ→0(23.21)ïðè ε′′ → 0 èìååìq2I= 2c vZ∞ Z∞ 2cω 2 ω 2 ε′222ω v − ′ dω δ k⊥ + 2 − 2dk⊥.εvc0(23.22)0Ïðè èíòåãðèðîâàíèè δ-óíêöèè ïîëó÷àåòñÿ ëèáî 0, ëèáî 1 â çàâèñèìîñòè îò çíàêà âûðàæåíèÿ ω 2 /v 2 − ω 2 ε′ /c2 .
Ïîýòîìó äëÿ ñïåêòðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ îðìóëà:p (21,v>c/ε(ω),dIq2 ωc= 2 v2 −·(23.23)pdωvcε(ω)0,v ≤ c/ ε(ω)èëèdIq 2 ωv= 2 sin2 θ,dωcccos θ = p.v ε(ω)(23.24)Âñÿ èçëó÷åííàÿ ýíåðãèÿ ñîñðåäîòî÷åíà â êîíóñå, ðàñòâîð êîòîðîãîîïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìccos θmax = √v εmax58(23.25)(ðèñ. 1.15, a), ãäå εmax ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòè äàííîé ñðåäû.
Âäîëü íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ íåò, ÷òî èìååò ïðîñòîå îáúÿñíåíèå. Ó ïîïåðå÷íîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, áåãóùåé ñòðîãî ïîîñè ñèñòåìû, íåò ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ,êîòîðàÿ áû òîðìîçèëà ÷àñòèöó è çàáèðàëà ó íåå ýíåðãèþ.èñ. 1.15: ×åðåíêîâñêèé êîíóñ (à), èçëó÷åíèå êâàíòà îòäåëüíîé÷àñòèöåé (á).×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü êàê èçëó÷åíèå êâàíòîâ âîëíû îòäåëüíûìè ÷àñòèöàìè (ðèñ.
1.15, á). Óñëîâèå ÷åðåíêîâñêîãî ðåçîíàíñà â ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ êàê ñëåäñòâèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà â åäèíè÷íîì àêòå âçàèìîäåéñòâèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ýíåðãèÿ ǫ è èìïóëüñ p~ ÷àñòèöû ñâÿçàíûêàêǫ2 = p2 c2 + m2 c4 ,(23.26)îòêóäàω=∆ǫ~=∂ǫ ~~kc2 p~ ~ ~=k = k~v .∂~p ~ǫ(23.27)1.24 Íåëèíåéíàÿ ïðîíèöàåìîñòü~ E)~ , äàæå áóäó÷è ìàëûìèÍåëèíåéíûå ïîïðàâêè â çàâèñèìîñòè D(ïî ñðàâíåíèþ ñ ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè, ìîãóò ñóùåñòâåííî âëèÿòü59íà ïîâåäåíèå âîëí, ïîñêîëüêó ýòî âëèÿíèå íàêàïëèâàåòñÿ ñî âðåìåíåì è ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî íîâûì ýåêòàì. Ñ ó÷åòîì ýòèõ~ è E~ â îäíîðîäíîé ñòàöèîíàðíîé ñðåäåïîïðàâîê ñâÿçü ìåæäó Dáóäåò òàêîé:~ =D~ (1) + D~ (2) + D~ (3) + . . .
,D(24.1)Z(1)Dα(1) (ξ) = εαβ (ξ − ξ1 ) Eβ (ξ1 ) dξ1 ,ξ = (~r, t),(24.2)Dα(n) (ξ)=Z(n)εαβ1 ...βn (ξ − ξ1 , . . . , ξ − ξn )×× Eβ1 (ξ1 ) . . . Eβn (ξn ) dξ1 . . . dξn . (24.3) èñòèííî èçîòðîïíûõ ñðåäàõ áåç ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè÷åòíûå ÷ëåíû ðÿäà (24.1) òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ. Äåéñòâè~ èE~ ìåíÿþò çíàê.òåëüíî, ïðè çåðêàëüíîì îòðàæåíèè âåêòîðû DÇíà÷èò, ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà (24.3) ïðè ÷åòíîì n äîëæíî òîæå ñìåíèòü çíàê, ÷åãî íå ìîæåò áûòü, ïîñêîëüêó â òåíçîð(n)εαβ1 ...βn ìîãóò âõîäèòü òîëüêî èíâàðèàíòíûå òåíçîðû è èñòèííûåñêàëÿðû.Ïî àíàëîãèè ñ ëèíåéíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ(3.5)Z(1)εαβ (q) = εαβ (∆ξ) e−iq∆ξ d∆ξ,q = (~k, −ω),(24.4)ìîæíî ââåñòè íåëèíåéíûå ïðîíèöàåìîñòè âòîðîãî ïîðÿäêàZ(2)εαβγ (q1 , q2 ) = εαβγ (∆ξ1 , ∆ξ2 ) e−iq1 ∆ξ1 −iq2 ∆ξ2 d∆ξ1 d∆ξ2 , (24.5)è ïîðÿäêà nεαβ1 ...βn (q1 , .
. . , qn ) =Z(n)εαβ1 ...βn (∆ξ1 , . . . , ∆ξn )×× e−iq1 ∆ξ1 −···−iqn ∆ξn d∆ξ1 . . . d∆ξn . (24.6)Ýòèìè íåëèíåéíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðâçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó âîëíàìè.601.25 Òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèåÒðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå ýåêò âòîðîãî ïîðÿäêà ïî àìïëèòóäå ïîëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå áûëî âîçìîæíûì, ñðåäà äîëæíà îáëàäàòü ëèáî ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé, ëèáî çåðêàëüíîé èçîìåðèåé (çà ñ÷åò ñëîæíûõ ìîëåêóë, ñëîæíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè èëè âíåøíåãîìàãíèòíîãî ïîëÿ).Ïóñòü â ñðåäå åñòü âîëíà ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì~ =E~ 0 eiqξ + E~ ∗ e−iqξ .E0(25.1)Íåëèíåéíàÿ äîáàâêà ê ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè áóäåò èìåòü âèäDα(2)=Z=Z(2)εαβγ (ξ − ξ1 , ξ − ξ2 )×∗ −iqξ1∗ −iqξ2× E0β eiqξ1 + E0βE0γ eiqξ2 + E0γdξ1 dξ2 =ee(2)εαβγ (ξ − ξ1 , ξ − ξ2 ) E0β E0γ eiq(ξ1 −ξ)+iq(ξ2 −ξ)+2iqξ +∗ iq(ξ1 −ξ)+iq(ξ−ξ2 )+E0β E0γe+ ê.ñ.
dξ1 dξ2 =∗= E0β E0γ e2iqξ εαβγ (q, q) + E0β E0γεαβγ (q, −q) + ê.ñ., (25.2)ãäå áóêâû `ê.ñ.' îçíà÷àþò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ñëàãàåìûå. óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà ýòà íåëèíåéíàÿ äîáàâêà áóäåò ñòîÿòü íàìåñòå ñòîðîííåãî òîêà:~ (1)~ = 1 ∂ D + 4π ~j (2) ,rot Bc ∂tc(25.3)1 ∂Dαiω~= − εαβγ (q, q) E0β E0γ e2ik~r−2iωt − ê.ñ.4π ∂t2π(25.4)(2)jα(2) =61Åñëè â äàííîé ñðåäå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü âîëíà ñ ÷àñòîòîé 2ω ,âîëíîâûì âåêòîðîì 2~k è ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, íå ïåðïåíäèêóëÿðíûì ~j (2) , òî îíà ðàñêà÷àåòñÿ íåëèíåéíûì òîêîì (25.4). Ýòîòýåêò íàçûâàåòñÿ ãåíåðàöèåé âòîðîé ãàðìîíèêè. Äàæå åñëèíåëèíåéíûå ñëàãàåìûå ìàëû, àìïëèòóäà âòîðîé ãàðìîíèêè ìîæåò ñòàòü áîëüøîé çà ñ÷åò áîëüøîãî âðåìåíè ðàñêà÷êè.
Åñëè æåâîëíà (2~k, 2ω) çàïðåùåíà äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì èëè ðàç~ ⊥ ~j (2) , òî ðåçîíàíñíîé ðàñêà÷êè íå áóäåòðåøåíà, íî èìååò ïîëå Eè âëèÿíèå íåëèíåéíûõ ïîïðàâîê îñòàíåòñÿ ìàëûì.Èçìåíåíèå ýíåðãèè âòîðîé ãàðìîíèêè (W2 ) çà ñ÷åò íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ ìîæíî íàéòè ïî àíàëîãèè ñ ðàçäåëîì 1.18 (îðìóëà (18.5) äëÿ ðàáîòû òîêà):ãäåiωdW2 D ~ ~ (2) E∗= E2 j= − εαβγ (q, q) E02αE0β E0γ + ê.ñ.,dt2π(25.5)∗ −2iqξ~ 02 e2iqξ + E~ 02~2 = EeE~ 02 |2 , òî èç (25.5) ïîëå âòîðîé ãàðìîíèêè. Ïîñêîëüêó W2 ∝ |E∗(ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà E02 ) ñëåäóåò ëèíåéíîñòü ðîñòà àìïëèòóäûâòîðîé ãàðìîíèêè ñî âðåìåíåì.Àíàëîãè÷íî, åñëè èçíà÷àëüíî â ñðåäå áûëî äâå âîëíû (~k1 , ω1 )~è (k2 , ω2 ), òî â ðåçóëüòàòå òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âîçíèêíóò âîëíû ñ êîìáèíàöèîííûìè ÷àñòîòàìè (~k1 + ~k2 , ω1 + ω2 ),(~k1 − ~k2 , ω1 − ω2 ), (2~k1 , 2ω1 ), (2~k2 , 2ω2 ), åñëè îíè ìîãóò ñóùåñòâîâàòü êàê ñâîáîäíûå âîëíû è èõ ðàñêà÷êà íå çàïðåùåíà íåóäà÷íûìíàïðàâëåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.Äëÿ îïèñàíèÿ òðåõâîëíîâûõ âçàèìîäåéñòâèé óäîáíî ââåñòèàìïëèòóäó âîëíû a(t) ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ:|a(t)|2 = N =W,~ω~ 0 (t) = a(t)E~ p,E(25.6)~ p ïîñòîÿíãäå N ÷èñëî êâàíòîâ âîëíû â åäèíèöå îáúåìà, à Eíûé âåêòîð (íå åäèíè÷íûé), õàðàêòåðèçóþùèé ñïåöèèêó äàííîé62âîëíû, òî åñòü, åå ïîëÿðèçàöèþ è êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëü~ 0 |2 è W .íîñòè ìåæäó |EÏóñòü äèñïåðñèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè ðàçðåøåíî òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå(~k1 , ω1 ) + (~k2 , ω2 ) −→ (~k3 , ω3 ),~k3 = ~k1 + ~k2 ,ω3 = ω1 + ω2 .(25.7)(25.8)Ïî àíàëîãèè ñ ãåíåðàöèåé âòîðîé ãàðìîíèêè äëÿ èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû òðåòüåé âîëíû èìååìȧ3 = V3 a1 a2 ,(25.9)ãäå òî÷êà îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, à âñå íå çàâèñÿùèå îòâðåìåíè êîýèöèåíòû îáîçíà÷åíû V3 .
Ïîñëå ïîÿâëåíèÿ òðåòüåéâîëíû ñòàíîâÿòñÿ âîçìîæíûìè îáðàòíûå ê (25.7) ïðîöåññû:(~k3 , ω3 ) + (−~k2 , −ω2 ) −→ (~k1 , ω1 ),(~k3 , ω3 ) + (−~k1 , −ω1 ) −→ (~k2 , ω2 ).(25.10)(25.11)Îíè ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèþ àìïëèòóä èñõîäíûõ âîëí:ȧ1 = V1 a3 a∗2 ,ȧ2 = V2 a3 a∗1 ,(25.12)ãäå êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå àìïëèòóäû ïîÿâëÿþòñÿ êàê êîýèöèåíòû ïåðåä e−iqξ .Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà òðåáóþò, ÷òîáû ñîçäàíèå îäíîãî êâàíòà òðåòüåé âîëíû òðàòèëîñü ïî îäíîìó êâàíòóèñõîäíûõ (ðèñ. 1.16, à):∆N3= −∆N1 = −∆N2 .(25.13)Ñëåäñòâèåì ýòîãî àêòà ÿâëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ|a1 |2 + |a3 |2 = onst,(25.14)|a1 |2 − |a2 |2 = onst(25.16)22|a2 | + |a3 | = onst,63(25.15)èñ.
1.16: Òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå êàê âçàèìîäåéñòâèå êâàíòîâ âîëíû: (à) âñå òðè âîëíû èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ ýíåðãèþ, (á)âîëíà `3' èìååò îòðèöàòåëüíóþ ýíåðãèþ.(ñîîòíîøåíèÿ Ìýíëè îó) è ñâÿçü ìåæäó êîýèöèåíòàìè V1 ,V2 è V3 . ×òîáû ïîëó÷èòü ýòó ñâÿçü, ïðîäèåðåíöèðóåì, íàïðèìåð, (25.14) ïî âðåìåíè:d(a1 a∗1 + a3 a∗3 ) = ȧ1 a∗1 + ȧ3 a∗3 + ê.ñ. =dt= V1 a3 a∗2 a∗1 + V3 a1 a2 a∗3 + ê.ñ. == a1 a2 a∗3 (V3 + V1∗ ) + ê.ñ. = 0.(25.17)àâåíñòâî (25.17) âûïîëíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ àìïëèòóäàõ âîëí. Ñëåäîâàòåëüíî, V1 = −V3∗ .
Àíàëîãè÷íî, èç ñîîòíîøåíèÿ (25.15) èìååìV2 = −V3∗ . Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî íåëèíåéíàÿ ýâîëþöèÿ âñåõ òðåõ âîëíîïèñûâàåòñÿ òîëüêî îäíèì êîìïëåêñíûì êîýèöèåíòîì:ȧ1 = −V ∗ a∗2 a3 ,(25.18)ȧ3 = V a1 a2 .(25.20)ȧ2 = −V∗ ∗a1 a3 ,(25.19)Óðàâíåíèÿ (25.18)(25.20) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Áëîìáåðãåíà.Îíè åäèíîîáðàçíî (ñ òî÷íîñòüþ äî êîýèöèåíòà V ) îïèñûâàþò64èñ. 1.17: Âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (òîëñòûå ëèíèè) ïðèðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ ñîîòíîøåíèÿõ àìïëèòóä. Âñå òðè âîëíûèìåþò ïîëîæèòåëüíóþ ýíåðãèþ.ëþáûå òðåõâîëíîâûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ýëåêòðîäèíàìèêå ñïëîøíûõ ñðåä.Êðîìå (25.14)(25.16) ïðè òðåõâîëíîâîì âçàèìîäåéñòâèè ñîõðàíÿåòñÿ òàêæå ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ âîëí:ω1 |a1 |2 + ω2 |a2 |2 + ω3 |a3 |2 = onst.(25.21)Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç ÷åòûðåõ âûïèñàííûõ âûøå èíâàðèàíòîâ òîëüêî äâà ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.
Ýòè èíâàðèàíòû ïîìîãàþò îïðåäåëÿòü õàðàêòåð òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Íàïðèìåð, óñëîâèå (25.21) çàäàåò â ïðîñòðàíñòâå (|a1 |, |a2 |, |a3 |) ýëëèïñîèä, à óñëîâèå (25.16) öèëèíäð (ðèñ. 1.17). Ïåðåñå÷åíèåìýòèõ äâóõ ïîâåðõíîñòåé áóäåò íåêàÿ òðåõìåðíàÿ êðèâàÿ, êîòîðàÿè îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (òî åñòü, çíà÷åíèÿ|a1 |, |a2 |, |a3 |) ïðè äàííîì âçàèìîäåéñòâèè.Åñëè îäíà èç âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí èìååò îòðèöàòåëüíóþ65ýíåðãèþ, òî çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà êâàíòîâ ìåíÿþòñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
