1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðèáëèæåíèå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îáû÷íî ðàáîòàåò, êîãäà ïðåíåáðåæèìî ìàëîãî èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè äîñòàòî÷íî äëÿ ñóùåñòâåííîãîèçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ æèäêîñòè.Íàéäåì, êîãäà æèäêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé â îòñóòñòâèå îáúåìíûõ ñèë (~g = 0). Äëÿ ýòîãî îöåíèì âõîäÿùèå â (1.1)ñëàãàåìûå:∂ρδρ∼ ,∂tτ(~v ∇)ρ ∼v δρ,Lρ div ~v ∼ρv,L(1.13)ãäå L è τ õàðàêòåðíûå ïðîñòðàíñòâåííûé è âðåìåííîé ìàñøòàáû èçìåíåíèÿ òå÷åíèÿ, v ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, δρ âîçìóùåíèåïëîòíîñòè æèäêîñòè.
Æèäêîñòü áóäåò âåñòè ñåáÿ êàê íåñæèìàåìàÿ, åñëè îöåíêà ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî áóäåò íàìíîãî áîëüøåïåðâûõ äâóõ:ρvδρ≫ ,ρ ≫ δρ.(1.14)LτÂûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ (1.14) îçíà÷àåò, ÷òî âîçìóùåíèåì ïëîòíîñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîñêîëüêó îíî íå âëèÿåò íà äâèæåíèåæèäêîñòè.Óñëîâèÿ (1.14) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå ïðàêòè÷íîé îðìå.Äëÿ ýòîãî îöåíèì δρ ïðè ïîìîùè (1.8): 1vδpδρ ∂pδρρv+∼== c2s ,τLLL ∂ρ sLρvL 1vδρ ∼ 2(1.15)+.csτLÏðîèçâîäíàÿ∂p= c2s ,∂ρ s76(1.16)êàê áóäåò ïîêàçàíî â ðàçäåëå 2.8, ðàâíà êâàäðàòó ñêîðîñòè çâóêàâ ñðåäå.
Ïîäñòàâëÿÿ (1.15) â (1.14), ïîëó÷àåìρvL 1vρvρvL 1v+≪,+≪ ρ,(1.17)τ c2s τLLc2sτLîòêóäà ñëåäóþò íåðàâåíñòâàL ≪ cs τ,v ≪ cs ,vL≪ 1,τ c2sïðè÷åì ïîñëåäíåå èç íèõ åñòü ñëåäñòâèå äâóõ ïåðâûõ. Èòàê, æèäêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, åñëè ñêîðîñòü åå òå÷åíèÿ ìàëàïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ çâóêà, à âðåìÿ èçìåíåíèÿ ïîòîêà êàêöåëîãî âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ L/cs .2.2 Ëàãðàíæåâû ïåðåìåííûåÍàðÿäó ñ òðàäèöèîííûì (èëè ýéëåðîâûì) îïèñàíèåì, ñîñòîÿíèå äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ìîæíî îïèñûâàòü âåëè÷èíàìè ρ(~r0 , t),~r(~r0 , t) è p(~r0 , t), ãäå ~r0 êîîðäèíàòû ýëåìåíòà æèäêîñòè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, à ~r åãî æå êîîðäèíàòû â ìîìåíò âðåìåíè t. Ïåðåìåííûå (~r0 , t) íàçûâàþò ëàãðàíæåâûìè ïåðåìåííûìè. Åñëè â ýéëåðîâûõ ïåðåìåííûõ (~r, t) õàðàêòåðèñòèêè æèäêîñòèïðèâÿçûâàþòñÿ ê îïðåäåëåííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, òî â ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ ïðèâÿçêà èäåò ê ñàìîé æèäêîñòè.
Ëàãðàíæåâïîäõîä, îäíàêî, ìåíåå ðàñïðîñòðàíåí, ïîñêîëüêó óäîáåí òîëüêî âîäíîìåðíûõ çàäà÷àõ.Ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè â îäíîìåðíîì ñëó÷àåâ ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ (x0 , t) (ðèñ. 2.3). Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿìàññûρ0 dx0 = ρ(x0 , t) dx,ρ0 = ρ(x0 , 0)(2.1)ñëåäóåò îäíîìåðíîå óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè∂x −1ρ(x0 , t) = ρ0.∂x077(2.2)èñ. 2.3: Ê íàõîæäåíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îäíîìåðíîé æèäêîñòè â ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ.Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, çàïèñàííîãî äëÿ ýëåìåíòà æèäêîñòèdx0 ,∂2x= − p(x0 + dx0 , t) − p(x0 , t) + ρ0 dx0 g2∂tñëåäóåò àíàëîã óðàâíåíèÿ Ýéëåðàρ0 dx0ρ0∂p∂2x=−+ ρ0 g.2∂t∂x0(2.3)(2.4)Íàêîíåö, óðàâíåíèå àäèàáàòè÷íîñòè ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ∂(2.5)s p(x0 , t), ρ(x0 , t) = 0.∂t2.3 Çàêîí ÁåðíóëëèÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ (∂/∂t = 0)íåêàÿ âåëè÷èíà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé âäîëü ëèíèè òîêà æèäêîñòè(òî åñòü, ëèíèè, âñþäó ïàðàëëåëüíîé ~v ).
Íàéäåì ýòó âåëè÷èíó.Äëÿ ýòîãî ââåäåì ýíòàëüïèþ åäèíèöû ìàññû w, òàê ÷òîdw = T ds +1dpρ(3.1)(îáúåì åäèíèöû ìàññû ðàâåí 1/ρ). Èç óðàâíåíèÿ Ýéëåðà èìååì(~v ∇)~v = −1 ∂p+ ~g ,ρ ∂~r78(3.2)îòêóäà ïóòåì òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðè ~g = onst ïîëó÷àåìv2− [~v × rot ~v ] = −∇w + T ∇s + ∇(~g~r),2v2+ w − ~g~r = [~v × rot ~v ] + T ∇s.∇2∇(3.3)(3.4)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (3.4) îðòîãîíàëüíî âåêòîðó ~v .Âòîðîå ñëàãàåìîå òàêæå îðòîãîíàëüíî ~v â ñèëó (1.9):ds= ~v ∇s = 0.dt(3.5)Òàêèì îáðàçîì, âäîëü ëèíèè òîêà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé âåëè÷èíàv2+ w − ~g~r = onst.2(3.6)Ýòî óòâåðæäåíèå è ñîñòàâëÿåò çàêîí Áåðíóëëè.
Çàìåòèì, ÷òî ïðèåãî âûâîäå íå ïðåäïîëàãàëîñü èçýíòðîïè÷íîñòè æèäêîñòè.×òîáû ïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé (3.6), íóæíî âûðàçèòü w ÷åðåç p è ρ. Çäåñü ïîëåçíî ïðåäïîëîæåíèå îá èçýíòðîïè÷íîñòè(s = onst, ∇s = 0). Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè èìååì ppds = 0,dw = d,w = + onst.(3.7)ρρÄëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ èç óðàâíåíèép = Aργ ,íàõîäèìw=dw =dpAγργ−1=dρρρAγργ−1γ p+ onst =+ onst.γ −1γ−1 ρ(3.8)(3.9)Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Áåðíóëëè ìîæíî ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü vvacèñòå÷åíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà â âàêóóì èç îáúåìà ñ äàâëåíèåì p è79ïëîòíîñòüþ ρ:ãäåγ pv2= vac ,γ−1 ρ2vvac =scs = ñêîðîñòü çâóêà â ãàçå.2γp= cs(γ − 1)ρrr2,γ−1γpρ(3.10)(3.11)2.4 Òåîðåìà ÒîìñîíàÂâåäåì öèðêóëÿöèþ ñêîðîñòè Γ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó γ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþI~Γ = ~v dl.(4.1)γÒåîðåìà Òîìñîíà ãëàñèò, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè ïî æèäêîìóêîíòóðó (òî åñòü, ïî êîíòóðó, äâèæóùåìóñÿ âìåñòå ñ æèäêîñòüþ)ïðè èçýíòðîïè÷åñêîì òå÷åíèè íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.
Äîêàæåìýòî óòâåðæäåíèå.èñ. 2.4: Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Òîìñîíà.~ êàê ðàçíîñòü êîîðäèíàò òî÷åêÏðåäñòàâèì ýëåìåíò êîíòóðà dlêîíòóðà δ~r (ðèñ. 2.4) è âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþIIIdΓdd~vdδ~r=~v δ~r =δ~r + ~v.(4.2)dtdtdtdtγγ80γÏåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (4.2) õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèåïîòîêà ñî âðåìåíåì, à âòîðîå èçìåíåíèå ñàìîãî êîíòóðà. Ïîàíàëîãèè ñ (3.3) íàõîäèì∇s ≡ 0,d~v= −∇w + ∇(~g~r).dt(4.3)Ïîñêîëüêó äèåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè è ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå ìîæíî ïåðåñòàâëÿòü, èìååì~vdδ~rδd~rδv 2= ~v= ~v δ~v =,dtdt2I~ +∇(−w + ~g~r) dlîòêóäàdΓ=dtγIδγv22(4.4)= 0.(4.5)Òåîðåìà äîêàçàíà.2.5 Ïîòåíöèàëüíîå òå÷åíèåÏîòåíöèàëüíûì (èëè áåçâèõðåâûì) íàçûâàåòñÿ òå÷åíèå, â êîòîðîì rot ~v ≡ 0. Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òå÷åíèå áûëîïîòåíöèàëüíûì, òî è â äàëüíåéøåì îíî îñòàíåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.
Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Òîìñîíà, ïðèìåíåííîé ê êîíòóðó,~:îãðàíè÷èâàþùåìó áåñêîíå÷íî ìàëóþ ïëîùàäêó dSI~ = rot ~v dS~ = onst.~v dl(5.1)Ïîòåíöèàëüíîñòü òå÷åíèÿ, îäíàêî, íàðóøàåòñÿ íà ëèíèÿõ òîêà,ïðîõîäÿùèõ âáëèçè òâåðäûõ òåë (ðèñ. 2.5). Òåîðåìà Òîìñîíà äëÿòàêèõ ëèíèé òîêà íå ðàáîòàåò, ïîñêîëüêó èõ íåëüçÿ îõâàòèòü æèäêèì êîíòóðîì.Ñêîðîñòü ïîòåíöèàëüíî äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå~v = ∇ϕ,(5.2)81èñ. 2.5: ßâëåíèå îòðûâà ñòðóé è ëèíèè òîêà, íà êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ ïîòåíöèàëüíîñòü òå÷åíèÿ.ãäå ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà ϕ íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòè.×àñòî ïîòåíöèàëüíîå òå÷åíèå ìîæíî ñ÷èòàòü òàêæå è íåñæèìàåìûì.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé ãèäðîäèíàìèêè ïîëó÷àþòñÿ îñîáåííî ïðîñòûìè. Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ïåðåõîäèò â óðàâíåíèådiv ∇ϕ = △ϕ = 0,(5.3)à óðàâíåíèå Ýéëåðà ïî àíàëîãèè ñ (3.3) ïðèíèìàåò âèäîòêóäà∂∇ϕv2pd~v=+ ∇ = −∇ + ∇(~g~r),dt∂t2ρ(5.4)∂ϕ v 2 p++ − ~g~r = f (t),∂t2ρ(5.5)ãäå f (t) íåêàÿ óíêöèÿ âðåìåíè. Ïîñêîëüêó çàìåíàZϕ → ϕ + f (t) dt(5.6)íå âëèÿåò íà ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíîñ÷èòàòü f (t) êîíñòàíòîé.822.6 Ïîòåíöèàëüíîå îáòåêàíèå òåëààññìîòðèì çàäà÷ó î ïîòåíöèàëüíîì îáòåêàíèè íåñæèìàåìîéæèäêîñòüþ òâåðäîãî òåëà.
 îáùåì ñëó÷àå îáòåêàíèå òåëà íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì èç-çà ÿâëåíèÿ îòðûâà ñòðóé (ðèñ. 2.5), êîãäà ëèíèè òîêà îòäåëÿþòñÿ îò ïîâåðõíîñòè òåëà è óõîäÿò âãëóáüæèäêîñòè. Íî â ñëó÷àå òåë îñîáîé îáòåêàåìîé îðìû êàðòèíàòå÷åíèÿ ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ïîòåíöèàëüíîé.èñ. 2.6: åîìåòðèÿ çàäà÷è î ïîòåíöèàëüíîì îáòåêàíèè òåëà.Ïóñòü æèäêîñòü âäàëè îò òåëà ïîêîèòñÿ, à ñàìî òåëî äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñî ñêîðîñòüþ ~u (ðèñ.
2.6). Äâèæåíèå æèäêîñòèîïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà △ϕ = 0 ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèϕ −−−→ 0,r→∞~u~n0 = ~v~n0 =∂ϕ∂n0íà ïîâåðõíîñòè òåëà,(6.1)(6.2)ãäå âåêòîð ~r îòñ÷èòûâàåòñÿ îò êàêîé-ëèáî òî÷êè âíóòðè òåëà, à~n0 íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè òåëà. Îáùåå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëà-83ïëàñà, îáðàùàþùååñÿ â íóëü íà áåñêîíå÷íîñòè, èìååò âèäϕ=2a1~ 1 + bik ∂+ A∇+ ....rr∂xi ∂xj r(6.3)~ , bik , . .
. çäåñü äîñòàòî÷íî,Áåñêîíå÷íîãî ðÿäà êîýèöèåíòîâ a, A÷òîáû óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ (6.2) íà ïîâåðõíîñòè ëþáîãî îáòåêàåìîãî òåëà.Õàðàêòåð äâèæåíèÿ æèäêîñòè âáëèçè òåëà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò åãî îðìû. Íà áîëüøèõ æå ðàññòîÿíèÿõ âñå îïðåäåëÿåòñÿïåðâûìè ÷ëåíàìè ðÿäà (6.3), êîòîðûå ìåäëåííåå âñåãî óáûâàþòñ ðîñòîì r :~v = ∇ϕ = −~r~ n)~n − A~a~rA~a~n 3(A~−∇=−+,r3r3r2r3~r~n = .r(6.4)Åñëè îáúåì òåëà V0 íåèçìåíåí, òî a = 0, ïîñêîëüêó ñóììàðíûéïîòîê æèäêîñòè ÷åðåç ñåðó áîëüøîãî ðàäèóñà äîëæåí ðàâíÿòüñÿíóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëå ñêîðîñòåé âäàëè îò òåëà îïðåäåëÿåò~ . Èç ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà è ãðàíóñëîâèéñÿ âåêòîðîì Aê íåìó ñëåäóåò, ÷òî ~v ∝ ~u. ÏîýòîìóAi = αik uk ,(6.5)ãäå αik ïîñòîÿííûé òåíçîð, çàâèñÿùèé îò îðìû è îðèåíòàöèèòåëà.Íàéäåì ïîëíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ æèäêîñòè E .
Äëÿ ýòîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ìàòåìàòè÷åñêèõ òðóäíîñòåé, íàéäåì ýíåðãèþæèäêîñòè âíóòðè ñåðû ðàäèóñà R è óñòðåìèì R ê áåñêîíå÷íîñòè.  ñèëó òîæäåñòâàdiv (ϕ + ~u~r)(~v − ~u) == (~v − ~u)∇(ϕ + ~u~r) + (ϕ + ~u~r) div (~v − ~u) = (~v + ~u)(~v − ~u)84èìååìρE=2Zρv dV =22V −V0ZV −V0ρu2ρ(V − V0 ) +=22u2 + (~v + ~u)(~v − ~u) dV =ZV −V0ρu2div (ϕ + ~u~r)(~v − ~u) dV =ρ=(V − V0 ) +22Z~ (6.6)(ϕ + ~u~r)(~v − ~u) dS,S,S0ãäå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòÿì ñåðû S è òåëà S0 . Èíòåãðàë ïî ïîâåðõíîñòè òåëà çàíóëÿåòñÿâ ñèëó óñëîâèÿ (6.2):~ = (~u~n0 − ~v~n0 ) dS = 0,(~v − ~u) dS(6.7)à â èíòåãðàëå ïî áîëüøîé ñåðå äîñòàòî÷íî îñòàâèòü òîëüêî ïåðâûå íåíóëåâûå ÷ëåíû â âûðàæåíèÿõ äëÿ ñêîðîñòè è ïîòåíöèàëà.Ââîäÿ ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà dΩ, ïðåîáðàçóåì ýòîò èíòåãðàë:ZS=Z!~ n)~n − A~3(A~− ~u r 2~n dΩ =r3!!Z~n~ n)A~2(A~=− 2 + R(~u~n)− ~u~n R2 dΩ ≈RR3Z ~ n)(~u~n) dΩ =≈−R3 (~u~n)2 + 3(A~Z3= −R ui uk + 3Ai ukni nk dΩ.
(6.8)~rA~− 3 + ~u~rr!Èíòåãðèðîâàíèå ïî dΩ ýêâèâàëåíòíî óñðåäíåíèþ ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåêòîðà ~n è óìíîæåíèþçàòåì íà 4π :Z4πδikni nk dΩ =,(6.9)385îòêóäàρu22πρ ~ u) .(6.10)(V − V0 ) +−R3 u2 + 3(A~23Áîëüøèå ñëàãàåìûå â (6.10) ñîêðàùàþòñÿ, è ìû ïîëó÷àåìρ~ − V0 u2 = mik ui uk ,4π~uAE=(6.11)22ãäå òåíçîð mik íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ïðèñîåäèíåííûõ ìàññ:E=mik = 4πραik − ρV0 δik .(6.12)Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí ñèììåòðè÷åí (äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ ïî êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå).~ äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè, çàìå×òîáû îïðåäåëèòü èìïóëüñ P~ ñâÿçàíû ñîîòíîøåòèì, ÷òî èçìåíåíèå ýíåðãèè dE è èìïóëüñà dPíèåì~ =F~ ~u dt = ~u dP~ ,dE = F~ dl(6.13)ãäå F~ ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà æèäêîñòü ñî ñòîðîíû òåëà,~ ñìåùåíèå òåëà çà âðåìÿ dt. Ñëåäîâàòåëüíî,à dlui dPi = dE =mik dui ukmik ui duk+= mik ui duk ,22Pi = mik uk ,~P~ = −ρV0 ~u + 4πρA.(6.14)~T :Ñî ñòîðîíû æèäêîñòè íà òåëî äåéñòâóåò ñèëà FFT i = −Fi = −dPiduk= mik.dtdt(6.15)Ïàðàëëåëüíàÿ ñêîðîñòè ~u ñîñòàâëÿþùàÿ ýòîé ñèëû íàçûâàåòñÿ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ, à ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïîäúåìíîé ñèëîé.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ïîòåíöèàëüíîì òå÷åíèè ïîëíàÿ ñèëà,äåéñòâóþùàÿ íà ðàâíîìåðíî äâèæóùååñÿ òåëî, ðàâíà íóëþ (òàêíàçûâàåìûé ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà). Ýòî åñòü ñëåäñòâèå óïðîùåííîé ìîäåëè îáòåêàíèÿ.  äåéñòâèòåëüíîñòè íåáîëüøàÿ ñèëà ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà íåïîòåíöèàëüíîñòè òå÷åíèÿ è íåèäåàëüíîñòè æèäêîñòè.86Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òåëà â æèäêîñòè ïðèíèìàåò âèäMd~u~T ,= f~ + Fdt(6.16)ãäå M ìàññà òåëà, à f~ âíåøíÿÿ ñèëà. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíîïåðåïèñàòü â îðìåduidduk+ (mik uk ) = (M δik + mik ),(6.17)dtdtdtîòêóäà ïîíÿòíî ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà ïðèñîåäèíåííàÿ ìàññà:ïðè äâèæåíèè â æèäêîñòè ìàññà òåëà êàê áóäòî áû óâåëè÷èâàåòñÿíà ýòó âåëè÷èíó.fi = M2.7 Âèõðåâîå äâèæåíèå æèäêîñòèÏóñòü òåïåðü rot ~v 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
