1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.13, á).107Èíòåðåñíî íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ãàçà ïðè åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ðîíò óäàðíîé âîëíû (ýíòðîïèÿ íå ñîõðàíÿåòñÿ äàæåâ ìîäåëè èäåàëüíîãî ãàçà). Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà èìååìs = cv ln(pV γ ) + onst,(15.11)ãäå cv òåïëîåìêîñòü åäèíèöû ìàññû ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå.Ïîñêîëüêó1∂ ln V21∂ ln A1∂ ln A21 ds2=+γ=+γ−γ,cv dp2p2∂p2p2∂p2∂p2(15.12)ïîëó÷àåì1γ(γ − 1) γ(γ + 1)(γ 2 − 1)(p2 − p1 )21 ds2=+−=> 0.cv dp2p2A1A2p2 A1 A2(15.13)Èòàê, âòîðûì çàêîíîì òåðìîäèíàìèêè ðàçðåøåíû òîëüêî óäàðíûå âîëíû ñ p2 > p1 , ïðè÷åì óâåëè÷åíèå ýíòðîïèè òåì áîëüøå,÷åì áîëüøå ðàçíîñòü äàâëåíèé íà ðàçðûâå.Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé óäàðíîé âîëíû ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü ååäâèæåíèÿ â íåïîäâèæíîì ãàçå, òî åñòü, â íàøåé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñêîðîñòü v1 .
Íàéäåì åå. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ (15.8) è (15.4):îòêóäàV2 − V1A1 − A22(p1 − p2 )==,V1A2(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1p1 − p2(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1j2 ==,V2 − V12V1(γ + 1)(p2 − p1 )v12 = j 2 V12 = γp1 V1 1 +.2γp1(15.14)(15.15)(15.16)Ñóììà, ñòîÿùàÿ â ñêîáêå, âñåãäà áîëüøå åäèíèöû. Ñëåäîâàòåëüíî,ãàç íàëåòàåò íà óäàðíóþ âîëíó (èëè óäàðíàÿ âîëíà íàëåòàåò íàãàç) ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè çâóêà:pv1 > cs1 = γp1 V1 .(15.17)108Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîçàäè óäàðíîé âîëíû ãàç òå÷åòñ äîçâóêîâîé ñêîðîñòüþ:pv2 < cs2 = γp2 V2 .(15.18)Ñîîòíîøåíèÿ (15.17) è (15.18) ïîìîãàþò ïîíÿòü èçèêó óäàðíîé âîëíû íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåíåå ãàçà `1'êàðòèíà ÿâëåíèÿ âûãëÿäèò òàê (ðèñ.
2.14, à). Ïëîòíûé, ñ áîëüøèìäàâëåíèåì ãàç `2' íàëåòàåò íà ïîêîÿùèéñÿ ãàç `1' è ñìèíàåò åãîïîäîáíî áóëüäîçåðó. Ïîñêîëüêó ãðàíèöà ðàçäåëà äâèæåòñÿ áûñòðåå ñêîðîñòè çâóêà, ãàç `1' îñòàåòñÿ â ïîêîå äî ñàìîãî ïðèõîäàðîíòà óäàðíîé âîëíû (ãàç óçíàåò î íåì òîëüêî òîãäà, êîãäàðîíò óæå ïðèøåë).èñ. 2.14: Óäàðíàÿ âîëíà ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåäêîãî (à) è ïëîòíîãî(á) ãàçîâ.Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïëîòíîãî ãàçà êàðòèíà èíàÿ (ðèñ. 2.14, á). àç`2' íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, ïðè÷åì ñëåâà îí óäåðæèâàåòñÿçà ñ÷åò áûñòðîãî ïîòîêà ãàçà `1', êîòîðûé ñâîèì ïåðåäàâàåìûìèìïóëüñîì óðàâíîâåøèâàåò äàâëåíèå ãàçà `2'. àç `1' ïðè óäàðå îãðàíèöó ðàçäåëà ñæèìàåòñÿ, íàãðåâàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ãàçîì `2',ïîýòîìó ãðàíèöà ðàçäåëà äâèæåòñÿ âëåâî ñ íåêîòîðîé äîçâóêîâîéñêîðîñòüþ.Ïîëåçíî òàêæå ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíûå ñëó÷àè ñèëüíîé è ñëà-109áîé óäàðíîé âîëíû.
 ñëó÷àå ñèëüíîé âîëíûp2→ ∞,p1ρ1V2γ −1==,ρ2V1γ +1(15.19)òàê ÷òî ñòåïåíü ñæàòèÿ ãàçà ïðè ïðîõîæäåíèè óäàðíîé âîëíû îêàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Äëÿ âîçäóõà (äâóõàòîìíûé ãàç, γ = 7/5)ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü ñæàòèÿ ðàâíà 6. ñëó÷àå ñëàáîé âîëíû äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ãàçà èçìåíÿþòñÿíà ìàëóþ âåëè÷èíó:p2 = p1 + δp(δp ≪ p1 ),ρ2 = ρ1 + δρ(δρ ≪ ρ1 ),(15.20)ñâÿçü ìåæäó èçìåíåíèÿìè äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè îêàçûâàåòñÿ òàêîé:δVδpδρ≈−≈,δp = c2s1 δρ,(15.21)ρ1V1γp1à ñêîðîñòè ãàçà ïðèìåðíî ðàâíû:v1 ≈ v2 ≈ cs1 ≈ cs2 .(15.22)Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäåëå ìàëîãî ñêà÷êà äàâëåíèÿ óäàðíàÿ âîëíàïåðåõîäèò â ñóïåðïîçèöèþ îáû÷íûõ çâóêîâûõ âîëí.2.16 Èñòå÷åíèå ãàçà ÷åðåç ñîïëîàññìîòðèì ïðàêòè÷åñêè âàæíóþ çàäà÷ó î ñòàöèîíàðíîì èñòå÷åíèè ãàçà èç áîëüøîãî ñîñóäà ÷åðåç óçêîå ñîïëî ñ ïëàâíî ìåíÿþùèìñÿ ñå÷åíèåì S (ðèñ.
2.15). Èñõîäíûå äàâëåíèå p0 è ïëîòíîñòüρ0 ãàçà, à òàêæå äàâëåíèå íà âûõîäå èç ñîïëà pa çàäàíû. Áóäåìðàáîòàòü â ðàìêàõ èäåàëüíîé ãèäðîäèíàìèêè.Èç óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè (3.7) èìååì∂ v2∂w1 ∂pc2 ∂ρ=−=−=− s,∂l 2∂lρ ∂lρ ∂l110(16.1)èñ. 2.15: åîìåòðèÿ çàäà÷è îá èñòå÷åíèè ãàçà ÷åðåç ñîïëî.ãäå êîîðäèíàòà l îòñ÷èòûâàåòñÿ âäîëü ëèíèè òîêà. Èç ýòîé îðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ïîòîêà â ñîïëå óâåëè÷èâàåòñÿ, êîãäàäàâëåíèå è ïëîòíîñòü ãàçà ïàäàþò.Ïîñêîëüêó ñå÷åíèå ñîïëà ìåíÿåòñÿ ïëàâíî, òå÷åíèå ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîìåðíûì (òî åñòü, âñå âåëè÷èíû çàâèñÿò òîëüêî îò l).Ïîëíûé ïîòîê ãàçà ïðè ýòîì ðàâåíQ = ρvS,îòêóäàρv =Q,S(l)(16.2)òàê ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà ρv (ìàññà âåùåñòâà, ïðîøåäøåãî â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè) åñòü èçâåñòíàÿ óíêöèÿîò l.Èç óðàâíåíèÿ (16.2) ëåãêî íàõîäÿòñÿ âñå ïàðàìåòðû òå÷åíèÿäëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà S(l). Íàïðèìåð, äëÿ èäåàëüíîãîãàçà âûðàæàåì âñå ÷åðåç ïëîòíîñòü: γρp = p0= p(ρ),(16.3)ρ0c2sγpγp0==ρρ0w=ρρ0γ−1=c2s0ρρ0γ−1= c2s (ρ),γpc2s== w(ρ),(γ − 1)ργ −1111(16.4)(16.5)pv2+ w = w0 ⇒ v = 2(w0 − w) = v(ρ)2è èç (16.2) íàõîäèì çàâèñèìîñòü ρ(l).(16.6)èñ.
2.16: Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà îò ñêîðîñòè ãàçà äëÿγ = 7/5.Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè èñòå÷åíèÿ ãàçà ëåãêî ïîíÿòü, åñëèïðîäèåðåíöèðîâàòü ïëîòíîñòü ïîòîêà ïî l,∂ρv∂v ρv ∂ v 2v 2 ∂v=ρ− 2=ρ 1− 2,(16.7)∂l∂lcs ∂l 2cs ∂lè ñ ïîìîùüþ ýòîé îðìóëû ïîñòðîèòü ãðàèê óíêöèè ρv(v)(ðèñ.
2.16). Ïðè ìàëûõ v ïîòîê ðàñòåò ïî÷òè ëèíåéíî (êîýèöèåíò ïåðåä ∂v/∂t ïî÷òè êîíñòàíòà), çàòåì ðîñò çàìåäëÿåòñÿ èïðè v = cs ñìåíÿåòñÿ óáûâàíèåì. Êîãäà ñêîðîñòü v äîñòèãàåò ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ ãàçà â âàêóóì (3.10), ïîòîê îáðàùàåòñÿ â íîëü,òàê êàê â âàêóóìå ρ = 0.
Èç ðèñ. 2.16 ñëåäóåò, ÷òî ÷òîáû ñêîðîñòüèñòå÷åíèÿ íà âûõîäå èç ñîïëà ìîãëà ïðåâûñèòü ñêîðîñòü çâóêà,ñîïëî äîëæíî ñíà÷àëà ñóæàòüñÿ, à çàòåì ðàñøèðÿòüñÿ (òàê êàêρv ∝ 1/S ). Òàêîå ñâåðõçâóêîâîå ñîïëî íàçûâàåòñÿ ñîïëîì Ëàâàëÿ. Ñàìàÿ óçêàÿ ÷àñòü ñîïëà, â êîòîðîé ñêîðîñòü ãàçà ðàâíÿåòñÿëîêàëüíîé ñêîðîñòè çâóêà, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì ñå÷åíèåì, àñêîðîñòü â íåé (v∗ ) êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòüþ.112èñ. 2.17: Õîä äàâëåíèÿ â ñîïëå ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ pa .Õàðàêòåð èñòå÷åíèÿ ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ âûõîäíûì äàâëåíèåìpa (ðèñ.
2.17). Åñëè ïåðåïàä äàâëåíèÿ ìàë (pa áîëüøå íåêîòîðîãîçíà÷åíèÿ p1 (p0 , ρ0 )), òî òå÷åíèå âñþäó äîçâóêîâîå, à ðàñõîä ãàçà çàâèñèò îò pa (âàðèàíò `à' íà ðèñ. 2.16). Ïðè óìåíüøåíèè pa âêàêîé-òî ìîìåíò â ñàìîì óçêîì ìåñòå ñîïëà äîñòèãàåòñÿ ñêîðîñòüçâóêà, ïîñëå ÷åãî ðàñõîä ãàçà ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò âûõîäíîãîäàâëåíèÿ. Ïðè ñâåðõçâóêîâîì òå÷åíèè (âàðèàíò `á ') ðàñõîäîì ãàçà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ âñå ïàðàìåòðû ïîòîêà, â òîì ÷èñëåè äàâëåíèå íà âûõîäå. Ïîýòîìó ñâåðõçâóêîâîå òå÷åíèå, îïèñûâàåìîå íàøåé ìîäåëüþ, âîçìîæíî òîëüêî ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè pa = p2 (p0 , ρ0 ).
Òàêîå òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ ðàñ÷åòíûì. Åñëèpa < p1 è pa 6= p2 , òî ðåàëèçóåòñÿ íåðàñ÷åòíûé ðåæèì èñòå÷åíèÿ:â ñîïëå ïîÿâëÿþòñÿ óäàðíûå âîëíû è òå÷åíèå ãàçà ïåðåñòàåò áûòüîäíîìåðíûì è èçýíòðîïè÷åñêèì.2.17 Ïðîñòûå âîëíûÏðîñòàÿ âîëíà ýòî îäíîìåðíàÿ çâóêîâàÿ âîëíà êîíå÷íîé (íåìàëîé) àìïëèòóäû. Íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ òàêîé âîëíû. îäíîìåðíîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè (1.1) è113(1.8) èìåþò âèä∂ρ ∂ρv+= 0,∂t∂x∂v∂v1 ∂p+v=−;∂t∂xρ ∂x(17.1)òå÷åíèå ìû ñ÷èòàåì èçýíòðîïè÷åñêèì:s = onst,p = p(ρ).(17.2)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåæäó äàâëåíèåì, ïëîòíîñòüþ è ñêîðîñòüþæèäêîñòè åñòü âçàèìîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå:ρ = ρ(v),p = p(v).(17.3)Òîãäà óðàâíåíèÿ (17.1) ïðèíèìàþò âèäρ′∂v∂v∂vdρ+ρ+ vρ′= 0,ρ′ =,∂t∂x∂xdv∂v∂vc2 ∂ρc2 ∂v+v=− s= − s ρ′∂t∂xρ ∂xρ ∂x(17.4)(17.5)èëèρ ∂v∂v+ v+ ′= 0,∂tρ ∂x∂vc2s ρ′ ∂v+ v+= 0.∂tρ∂x(17.6)(17.7)Ýòà ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå ïðè óñëîâèèρc2s ρ′=ρ′ρèëèρ= ±cs .ρ′(17.8)Çàìåòèì, ÷òî â îáû÷íîé çâóêîâîé âîëíå ñâÿçü (8.8) ìåæäó ïëîòíîñòüþ è ñêîðîñòüþ æèäêîñòè òàêàÿ æå:ρv= ρ0= ±cs .ρ′δρ114(17.9)Ïîäñòàíîâêà (17.8) â (17.6) äàåò∂v∂v+ (v ± cs (v))= 0.∂t∂x(17.10)Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Õîïà∂u∂u+u= 0,∂t∂xu = v ± cs (v)(17.11)ïóòåì äîìíîæåíèÿ íà du/dv .Äëÿ ðåøåíèÿ (17.11) íóæíî êîíêðåòèçèðîâàòü çàâèñèìîñòücs (v).
 ñëó÷àå èäåàëüíîãî ãàçà èç (16.4) íàõîäèìdcs1 dc2sγ − 1 dργ−1γ−1==±,=±,2cs dvρ dvcsdv2γ−1γ+1v,u(v) =v ± cs0 ,cs (v) = cs0 ±22(17.12)ãäå cs0 ñêîðîñòü çâóêà â íåâîçìóùåííîì (v = 0) ãàçå.èñ. 2.18: Ýâîëþöèÿ ïðîñòîé âîëíû, áåãóùåé â íàïðàâëåíèè x.åøåíèå óðàâíåíèÿ Õîïà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî êàæäàÿòî÷êà ïðîèëÿ âîëíû äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u. Êàê ñëåäñòâèå,ïðîèëü âîëíû èñêàæàåòñÿ (ðèñ.
2.18).  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íàñòóïàåò îïðîêèäûâàíèå âîëíû (ðèñ. 2.18, â), òî åñòü, â115íåêîòîðûõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíûå dv/dx, dρ/dx è dp/dx îáðàùàþòñÿâ áåñêîíå÷íîñòü. Ôèçè÷åñêè îïðîêèäûâàíèå ïðîñòîé âîëíû îçíà÷àåò ïîÿâëåíèå ðàçðûâîâ (óäàðíûõ âîëí) è íàðóøåíèå ïðåäïîëîæåíèÿ îá èçýíòðîïè÷íîñòè äâèæåíèÿ (ðèñ. 2.18, ã). Ïîñëå îáðàçîâàíèÿ óäàðíûõ âîëí âîçìóùåíèå ïîñòåïåííî çàòóõàåò, òàê êàê âñèñòåìå ïîÿâëÿåòñÿ äèññèïàöèÿ.Îòìåòèì, ÷òî èñêàæåíèå ïðîèëÿ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ìîæíî òàêæå èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðåçóëüòàò íåëèíåéíîãî òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðè êîòîðîì íàðÿäó ñ âîëíîé (~k, ω) â ñïåêòðå ïîÿâëÿþòñÿ âûñøèå ãàðìîíèêè (n~k, nω).2.18 Ñëàáàÿ óäàðíàÿ âîëíà×òîáû ïðîñëåäèòü ýâîëþöèþ âîëíû ïîñëå îïðîêèäûâàíèÿ, íåîáõîäèìî ó÷åñòü äèññèïàòèâíûå ïðîöåññû.
Àíàëèòè÷åñêè ýòî óäàåòñÿ ñäåëàòü òîëüêî â ñëó÷àå ñëàáîé äèññèïàöèè è ìàëîé àìïëèòóäûâîëíû:η, ζ, æ ìàëû,v ≪ cs0 , δρ ≪ ρ0 .(18.1)Òàêèì îáðàçîì, â çàäà÷å ïîÿâëÿþòñÿ äâà ñîðòà ìàëûõ ïàðàìåòðîâ.Äâèæåíèå âÿçêîé æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (1.1),(11.8) è (13.3), êîòîðûå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä∂ρ ∂ρv+= 0,∂t∂x ∂2vdv1 ∂p η ∂ 2 v1 η=−+++ζ,dtρ ∂x ρ ∂x2 ρ 3∂x2(18.2)(18.3)∂2Tds∂v= σxx+æ 2;(18.4)dt∂x∂xïîñêîëüêó â âîëíå èçìåíåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâæèäêîñòè ìàëî, êîýèöèåíòû η , ζ è æ ìîæíî ñ÷èòàòü êîíñòàíòàìè.ρT116Ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèÿ (18.2)(18.4), èñïîëüçóÿ ìàëîñòü àìïëèòóäû âîëíû:∂δρ∂v+ ρ0= 0,(18.5)∂t∂x∂v1 ∂δp1=−+∂tρ0 ∂xρ0 2 4η∂ v1 ∂p ∂δρ+ζ−=−3∂x2ρ0 ∂ρ s ∂x 21 ∂p∂δs1 4η∂ v−++ζ, (18.6)ρ0 ∂s ρ ∂xρ0 3∂x2∂δsæ ∂ 2 δT=.∂tρ0 T0 ∂x2(18.7)Çàòåì ñâåäåì ýòó ñèñòåìó ê îäíîìó óðàâíåíèþ.
Äëÿ ýòîãî ïðîäèåðåíöèðóåì (18.6) ïî âðåìåíè è âîñïîëüçóåìñÿ (18.5) è (18.7):c2s ∂∂2v=−∂t2ρ0 ∂x=∂2vc2s 2∂x∂v−ρ0∂x 31 4η∂ v++ζ−ρ0 3∂x2 ∂t 1 ∂p∂æ ∂ 2 δT−=ρ0 ∂s ρ ∂x ρ0 T0 ∂x2 34η∂ v+ζ−3∂x2 ∂t !∂Tæ∂p∂3∂T− 2δp +δs . (18.8)∂p s∂s pρ0 T0 ∂s ρ ∂x31+ρ0Ñîäåðæàùåå δs ñëàãàåìîå çäåñü èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ïî ìàëîñòèäèññèïàöèè, ïîòîìó åãî ìîæíî îïóñòèòü:∂∂∂∂+ cs− csv=∂t∂x∂t∂x 3 3 1 4η∂ væ∂T∂ δp∂p=+ζ− 2. (18.9)2ρ0 3∂x ∂t ρ0 T0 ∂s V ∂p s ∂x3117Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïðîèçâîäíûå â (18.9) ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîéòåõíèêè ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿêîáèàíîâ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òåïëîåìêîñòè: ∂p∂T∂(pV ) ∂(T s) ∂(pV )==∂s V ∂p s∂(sV ) ∂(ps) ∂(T s)∂(pV ) ∂(T s) ∂(ps) ∂(V T ) ∂(pT ) ∂(V s)=−=∂(sV ) ∂(ps) ∂(T s) ∂(sT )∂(sT ) ∂(T s)∂(T V ) ∂(pT )11=−=T−, (18.10)∂(sV )∂(ps)cvcpãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðàâåíñòâà∂(T s)∂s= 1,cp = T,∂(pV )∂T pcv = T∂s.∂T V(18.11)Óðàâíåíèå (18.9) îïèñûâàåò îáûêíîâåííóþ çâóêîâóþ âîëíó,êîòîðàÿ áåæèò ñî ñêîðîñòüþ çâóêà è ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ èç-çà ìàëîé äèññèïàöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
