1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíà áåæèò â íàïðàâëåíèèx, òîãäà â íåé∂∂≈ −cs ,∂t∂x∂∂∂− cs≈2 ,∂t∂x∂tδp ≈ c2s δρ ≈ ρ0 cs v(18.12)(äëÿ íåèçìåííîãî ïðîèëÿ âîëíû ðàâåíñòâà áûëè áû òî÷íûìè).Òîãäà óðàâíåíèå (18.9) ïðèíèìàåò âèä∂v∂ ∂v2+ cs=∂t ∂t∂x 31 4η1∂ væ1 ∂ 3 ρ0 cs v=+ζ+−(18.13)ρ0 3∂x2 ∂t ρ20 cs cvcp∂x2 ∂tèëè, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè,∂v∂v∂2v+ cs= νe 2 ,∂t ∂x∂xæ(cp − cv )14ηνe =+ζ +.2ρ0 3cp cv118(18.14)(18.15)Ïîñêîëüêó ìàëûå ýåêòû àääèòèâíî ñêëàäûâàþòñÿ, ïðè îäíîâðåìåííîì ó÷åòå âÿçêîñòè (ýòîò ðàçäåë) è ìàëîé íåëèíåéíîñòèâîëíû (ðàçäåë 2.17) èçìåíèòñÿ òîëüêî êîýèöèåíò ïåðåä ∂v/∂x:∂v∂v∂2v+ u(v)= νe 2 ,∂t∂x∂xu = v + cs (v).(18.16)Ïðè ñëàáîé äèññèïàöèè ïðîèçâîäíàÿ du/dv ≈ onst; äîìíîæåíèåì(18.16) íà íåå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áþðãåðñà:∂u∂2u∂u+u= νe 2 .∂t∂x∂x(18.17)Ýòî óðàâíåíèå åñòü îáîáùåíèå óðàâíåíèÿ Õîïà (17.11).
Èì îïèñûâàåòñÿ êàê íåëèíåéíîå èñêàæåíèå ïðîèëÿ âîëíû, òàê è ïîâåäåíèå æèäêîñòè â îáëàñòè óäàðíîé âîëíû ïîñëå ìîìåíòà îïðîêèäûâàíèÿ.èñ. 2.19: åøåíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà â îáëàñòè óäàðíîé âîëíû.Âáëèçè óäàðíîé âîëíû ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà ìîæíîèñêàòü â âèäåu = u(x − cs0 t).(18.18)Îíî îêàçûâàåòñÿ òàêèì:u = cs0 − δu thδu(x − cs0 t)2νe,(18.19)ãäå δu õàðàêòåðèçóåò ðàçëè÷èå âåëè÷èíû u ñ äâóõ ñòîðîí óäàðíîéâîëíû (ðèñ. 2.19).119 ãàçàõ νe ∼ cs λ, ãäå λ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà. Îòñþäàìîæíî îöåíèòü øèðèíó óäàðíîé âîëíû:νecs∆x ∼∼λ ≫ λ.(18.20)δuδuÒàêèì îáðàçîì, ÷åì ñëàáåå óäàðíàÿ âîëíà, òåì åå ðîíò øèðå. Èç(18.20) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî ãèäðîäèíàìè÷åñêîå îïèñàíèå âíóòðåííåé ñòðóêòóðû ïðèìåíèìî òîëüêî ê ñëàáûì óäàðíûì âîëíàì, âêîòîðûõ ñêà÷îê ñêîðîñòè ãàçà íàìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè çâóêà.Âÿçêîñòü íå åäèíñòâåííûé ýåêò, ñïîñîáíûé îñòàíîâèòüíåëèíåéíîå óêðó÷åíèå ðîíòà âîëíû. Íåëèíåéíîå óêðó÷åíèåðîíòà ìîæåò áûòü òàêæå ñêîìïåíñèðîâàíî äèñïåðñèîííûì ðàñïëûâàíèåì âîëíîâîãî ïàêåòà.
 ýòîì ñëó÷àå ïðîèëü âîëíû îïèñûâàåòñÿ äðóãèì èçâåñòíûì óðàâíåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè óðàâíåíèåì Êîðòåâåãà äå Âðèçà.2.19 Òóðáóëåíòíîñòüèäðîäèíàìè÷åñêàÿ òóðáóëåíòíîñòü ýòî ÿâëåíèå, íàáëþäàåìîåâî ìíîãèõ òå÷åíèÿõ, ïðè êîòîðîì â æèäêîñòè îáðàçóþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå âèõðè ðàçëè÷íûõ ðàçìåðîâ è òå÷åíèå ñòàíîâèòñÿ íåðåãóëÿðíûì. Âèõðè âëèÿþò íà ñâîéñòâà òå÷åíèÿ â öåëîì: ìåíÿåòñÿñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, ñïîñîáíîñòü ïåðåíîñèòü ÷àñòèöû è ò. ï.Òåîðèÿ òóðáóëåíòíîñòè ñëîæíà è äàëåêà îò çàâåðøåíèÿ. Èç-çàíåðåãóëÿðíîñòè òóðáóëåíòíûõ äâèæåíèé ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì îïèñàíèåì æèäêîñòè è äàæå ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè.Áóäåì ñ÷èòàòü æèäêîñòü íåñæèìàåìîé. Òîãäà õàðàêòåð òå÷åíèÿ (â ÷àñòíîñòè, òóðáóëåíòíîå îíî èëè íåò) áóäåò îïðåäåëÿòüñÿòîëüêî ÷èñëîì åéíîëüäñà.  óðàâíåíèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè∂~v∇p+ (~v ∇)~v = −+ ν△~v∂tρ(19.1)çà âîçíèêíîâåíèå âèõðåé è óñëîæíåíèå òå÷åíèÿ îòâå÷àåò ñëàãàåìîå (~v ∇)~v .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû åãî íå áûëî, òî èç (19.1) ñëå120äîâàëî áû óðàâíåíèå∂ rot ~v= ν△rot ~v∂t(19.2)äëÿ çàâèõðåííîñòè, èñêëþ÷àþùåå ãåíåðàöèþ è íàðàñòàíèå â æèäêîñòè ñëó÷àéíûõ âèõðåé. Ïîñêîëüêó|(~v ∇)~v |uL∼= ℜ,|ν△~v |ν(19.3)òóðáóëåíòíîñòü áóäåò ïîÿâëÿòüñÿ ïðè áîëüøèõ ÷èñëàõ åéíîëüäñà.Ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ òóðáóëåíòíîñòè ïðè óâåëè÷åíèè ℜìîæåò áûòü ðàçíûì â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ. Îäèí èç âîçìîæíûõâàðèàíòîâ òàêîé (ñöåíàðèé Ëàíäàó Õîïà). Ïðè ïðåâûøåíèè÷èñëîì åéíîëüäñà íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ℜêð "ãëàäêîå"(ëàìèíàðíîå) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (19.1) ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàëîå ïåðèîäè÷åñêîå âîçìóùåíèå ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ áûñòðî íàðàñòàåò ñî âðåìåíåì è äâèæåíèå æèäêîñòè ñòàíîâèòñÿ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèì.
Ïðè óâåëè÷åíèè ℜ ýòîïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå òîæå ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì, òî åñòü,íà íåãî íàêëàäûâàåòñÿ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîå âîçìóùåíèå ñ êàêèìòî äðóãèì ïåðèîäîì. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ℜ ó äâèæåíèÿæèäêîñòè ïîÿâëÿþòñÿ âñå íîâûå ïåðèîäû è òå÷åíèå ïðèîáðåòàåòñëîæíûé è çàïóòàííûé õàðàêòåð.Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà ℜêð ìîæåòáûòü î÷åíü áîëüøîé (äî 50 000 â òðóáàõ ñ ïëàâíûì âõîäîì).Òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ äâèæåíèé (òóðáóëåíòíûõ ïóëüñàöèé) ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ (ðèñ. 2.20). Ñàìûå êðóïíîìàñøòàáíûå ïóëüñàöèè (îñíîâíîéèëè âíåøíèé ìàñøòàá òóðáóëåíòíîñòè) èìåþò õàðàêòåðíûé ðàçìåð ïîðÿäêà ìàñøòàáà òå÷åíèÿ L, à ñêîðîñòü â íèõ ïîðÿäêàñðåäíåé ñêîðîñòè ïîòîêà u. Íà êðóïíîìàñøòàáíûå ïóëüñàöèè íàêëàäûâàþòñÿ ïóëüñàöèè ìåíüøèõ ìàñøòàáîâ (λ).
Èçìåíåíèå ñêîðîñòè æèäêîñòè íà ýòèõ ìàñøòàáàõ vλ ≪ u. Ìîæíî òàêæå ââåñòè121èñ. 2.20: Âíóòðåííÿÿ ñòðóêòóðà òóðáóëåíòíîñòè.÷èñëî åéíîëüäñà äëÿ ýòèõ ìàñøòàáîâ:ℜλ =λvλ,νïðè÷åìℜ ≫ ℜλ ≫ ℜêð .(19.4)Íàèìåíüøèé ìàñøòàá ïóëüñàöèé (λ0 ), äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî åéíîëüäñà ℜ0 ∼ ℜêð , íàçûâàþò âíóòðåííèì ìàñøòàáîì òóðáóëåíòíîñòè. Íà ýòîì ìàñøòàáå âÿçêîñòü ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííîé è ïðî122èñõîäèò äèññèïàöèÿ ýíåðãèè.Âèõðè ìåíüøèõ ìàñøòàáîâ ïîÿâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå íåóñòîé÷èâîñòè âèõðåé áîëüøèõ ìàñøòàáîâ.
Ñëåäîâàòåëüíî, â æèäêîñòèåñòü ïîñòîÿííûé ïîòîê ýíåðãèè îò êðóïíîìàñøòàáíûõ ê ìåëêîìàñøòàáíûì ïóëüñàöèÿì. Ýíåðãèÿ èç ìàñøòàáîâ λ ∼ L (îáëàñòüýíåðãèè) ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå ìàñøòàáû (èíåðöèîííûé èíòåðâàë) èäåò â ìàñøòàáû λ ∼ λ0 (îáëàñòü äèññèïàöèè) è ïåðåõîäèòòàì â òåïëî (ðèñ. 2.20). Î÷åâèäíî, ïðè ñòàöèîíàðíîé êàðòèíåòóðáóëåíòíîñòè â ïóëüñàöèè ìàñøòàáà λ ïðèõîäèò òàêîå æå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè ǫ (â åäèíèöó âðåìåíè â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó ìàññû),êàêîå è óõîäèò èç íèõ.
Âåëè÷èíó ǫ ìîæíî îöåíèòü èç ñîîáðàæåíèéðàçìåðíîñòè. Èìååì[ǫ] =ýðã[u]3=.ñåê · ã[L](19.5)Äâèæåíèå æèäêîñòè â ïóëüñàöèÿõ ìàñøòàáà λ ≫ λ0 ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ òîëüêî âåëè÷èíàìè λ, vλ è ρ (âÿçêîñòü èãðàåò ðîëüòîëüêî íà âíóòðåííåì ìàñøòàáå). Âåëè÷èíó òðåáóåìîé ðàçìåðíîñòè èç íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì:ǫ∼vλ3.λ(19.6)Ïðèìåíÿÿ ýòó îöåíêó ê âíåøíåìó ìàñøòàáó, íàõîäèìu3ǫ∼,L1/3vλ ∼ (λǫ) 1/3λ∼uL(19.7)(ñïåêòð Êîëìîãîðîâà Îáóõîâà).
Íåñìîòðÿ íà íåñòðîãèé âûâîä,îðìóëà (19.7) äàåò ïðàâèëüíóþ (ïîäòâåðæäàåìóþ ýêñïåðèìåíòàëüíî) ñâÿçü ìåæäó ìàñøòàáîì âèõðÿ è âåëè÷èíîé ïóëüñàöèîííîé ñêîðîñòè â íåì.Äëÿ âíóòðåííåãî ìàñøòàáà èìååì4/3λ0 v0uλ0ℜ0 =∼∼ννL1/3123λ0L4/3ℜ ∼ ℜêð ,(19.8)îòêóäà ïîëó÷àåì îöåíêóλ0 ∼ Lℜêðℜ3/4.(19.9)Èç (19.7) ñëåäóåò, ÷òî â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå äèññèïàöèÿ ýíåðãèè íå çàâèñèò îò âÿçêîñòè æèäêîñòè.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè óìåíüøåíèè âÿçêîñòè óìåíüøàåòñÿ âíóòðåííèé ìàñøòàá òóðáóëåíòíîñòè, ÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ãðàäèåíòîâ ñêîðîñòè.2.20 Ëîãàðèìè÷åñêèé ïðîèëü ñêîðîñòåéàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå íåñæèìàåìîéæèäêîñòè ïî òðóáå (ðèñ. 2.21) è íàéäåì, êàê âáëèçè ñòåíêè âåäåòñåáÿ ñðåäíÿÿ (óñðåäíåííàÿ ïî âðåìåíè) ñêîðîñòü ïîòîêà ~u = h~v i.èñ. 2.21: Ê íàõîæäåíèþ ëîãàðèìè÷åñêîãî ïðîèëÿ ñêîðîñòåé.Ïóñòü íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè òðóáû ñî ñòîðîíû æèäêîñòèäåéñòâóåò â ñðåäíåì ñèëà òðåíèÿ σ , ðàâíàÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà xêîìïîíåíòû èìïóëüñà íà ñòåíêó.
Ýòîò ïîòîê èìïóëüñà îáóñëîâëåí ðàçíîñòüþ äàâëåíèÿ íà êîíöàõ òðóáû. Õàðàêòåðíûé ïîïåðå÷íûé ìàñøòàá èçìåíåíèÿ Πxy ðàâåí øèðèíå òðóáû, ïîýòîìó âáëèçè ñòåíêè ìîæíî ñ÷èòàòü |Πxy | ≈ onst = σ (ñåðûå ó÷àñòêè íàðèñ. 2.21).124Ñðåäíèé ïîòîê èìïóëüñà åñòü íåêîòîðàÿ óíêöèÿ îò ãðàäèåíòà ñðåäíåé ñêîðîñòè du/dy , ïëîòíîñòè æèäêîñòè ρ è ðàññòîÿíèÿ äîñòåíêè y . Îí íå ìîæåò íàïðÿìóþ çàâèñåòü íè îò âÿçêîñòè ν (ïðèóñëîâèè y ≫ λ0 ), íè îò àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè u. Íî èçdu/dy , ρ è y ìîæíî ïîñòðîèòü âåëè÷èíó òðåáóåìîé ðàçìåðíîñòèåäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, îòêóäà ïîëó÷àåì îöåíêó 22 du|Πxy | ∼ ρy.(20.1)dyÎáðàùàÿ ýòó îðìóëó âáëèçè ñòåíêè, íàõîäèìrduv∗σ≈,v∗ =,dyκyρ(20.2)ãäå κ ∼ 1 ÷èñëåííûé êîýèöèåíò (ïîñòîÿííàÿ Êàðìàíà).
Èíòåãðèðîâàíèå (20.2) äàåòu≈v∗yln .κC(20.3)×òîáû íàéòè ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ C , íóæíî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå æèäêîñòè íà î÷åíü ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñòåíêè(y . λ0 ), ãäå íà÷èíàåò èãðàòü ðîëü âÿçêîñòü æèäêîñòè. Çäåñüdu∂vx ∂vy+= ρν ,σ = −Πxy = σxy = η(20.4)∂y∂xdyîòêóäàu=σyv2 y= ∗ .ρνν(20.5)Ôîðìóëû (20.3) è (20.5) äîëæíû ïåðåõîäèòü äðóã â äðóãà íà ãðàíèöå âÿçêîé îáëàñòè. Ýòà ãðàíèöà (y = y0 ) îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿuy0∼ 1.ℜ=(20.6)νÏîäñòàâëÿÿ (20.5) â (20.6), íàõîäèìy0 ∼ν,uu(y0 ) ∼ v∗ ,îòêóäà125C∼ν.v∗(20.7)Áîëåå òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ C è κ ìîæíî íàéòè òîëüêî èç ýêñïåðèìåíòà:v∗v∗ yln.u≈(20.8)0.4 0.13 νÍåñìîòðÿ íà íåñòðîãèé âûâîä, îðìóëû (20.5) è (20.8) âåñüìà òî÷íî îïèñûâàþò ïîâåäåíèå ñðåäíåé ñêîðîñòè òóðáóëåíòíîãî ïîòîêàâáëèçè ñòåíêè.2.21 Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îòñóòñòâèÿêîíâåêöèèÏðè íàãðåâàíèè áîëüøèíñòâà æèäêîñòåé èõ ïëîòíîñòü óìåíüøàåòñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
