1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Âñþäó äàëåå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ìàëûå äåîðìàöèè, äëÿ êîòîðûõ ∂uα ∂uβ1 ∂uα ≪ 1,uαβ =+.(1.4) ∂x 2 ∂xβ∂xαβÏî îïðåäåëåíèþ, òåíçîð äåîðìàöèè ñèììåòðè÷åí. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî ìîæíî ïðèâåñòè ê ãëàâíûì îñÿì, ïðè÷åì â ðàçíûõòî÷êàõ òåëà íàïðàâëåíèå ãëàâíûõ îñåé ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì.Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáóþ äåîðìàöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñæàòèå èëè ðàñòÿæåíèå ïî òðåì âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì íàïðàâëåíèÿì (ðèñ. 3.1, à).èñ. 3.1: Äåîðìàöèÿ ñäâèãà êàê ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ïî ãëàâíûìîñÿì (à); ê îïðåäåëåíèþ òåíçîðà íàïðÿæåíèé (á).Îáîçíà÷èì ãëàâíûå îñè ξ1 , ξ2 è ξ3 . Åñëè äâå áëèçêèå òî÷êèëåæàò íà ãëàâíîé îñè, òî√dξi′ = 1 + 2uii dξi ,i = 1, 2, 3.(1.5)Ïðè äåîðìàöèÿ èçìåíÿåòñÿ îáúåì òåëà:pdV ′ = dξ1′ dξ2′ dξ3′ = (1 + 2u11 )(1 + 2u22 )(1 + 2u33 ) dξ1 dξ2 dξ3 ≈≈ (1 + u11 + u22 + u33 ) dV, (1.6)139ïðè÷åì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà ðàâíî ñëåäó òåíçîðà äåîðìàöèè:dV ′ − dV= uαα = div ~u.(1.7)dVÒåíçîð äåîðìàöèè ìîæíî òîæäåñòâåííî ïåðåïèñàòü â âèäå11uαβ = uαβ − uγγ δαβ + uγγ δαβ .(1.8)33Èç òàêîé çàïèñè âèäíî, ÷òî ëþáóþ äåîðìàöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü íå èçìåíÿþùåé îáúåì äåîðìàöèè ñäâèãà(ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (1.8)) è âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ(âòîðîå ñëàãàåìîå).3.2 Òåíçîð íàïðÿæåíèéÒåíçîð íàïðÿæåíèé õàðàêòåðèçóåò âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ìåæäó ÷àñòÿìè äåîðìèðîâàííîãî òåëà.Âûäåëèì âíóòðè òåëà íåêîòîðûé îáúåì.
Íà ýòîò îáúåì ÷åðåç~ äåéñòâóåò óïðóãàÿ ñèëàåäèíè÷íûé ýëåìåíò åãî ïîâåðõíîñòè dS~ (ðèñ. 3.1, á). Ïî îïðåäåëåíèþ,dFdFα = σαβ dSβ ,(2.1)ãäå σαβ òåíçîð íàïðÿæåíèé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí ñèììåòðè÷åí. Êàê âèäíî, â òåîðèè óïðóãîñòè îïðåäåëåíèå òåíçîðà íàïðÿæåíèé òàêîå æå, êàê è â ãèäðîäèíàìèêå ýòî ñèëîâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òåíçîðà ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà, âçÿòàÿ ñ îáðàòíûìçíàêîì.
 ÷àñòíîñòè, ïðè âñåñòîðîííåì ñæàòèè òåëà äàâëåíèåì pσαβ = −pδαβ .(2.2)Óïðóãèå ñèëû ïî ñâîåé ïðèðîäå ñóòü ñèëû ïîâåðõíîñòíûå, òîåñòü, íà âûäåëåííûé îáúåì îíè äåéñòâóþò òîëüêî ÷åðåç ãðàíèöóýòîãî îáúåìà. Îäíàêî ìîæíî ïðåäñòàâèòü èõ è â îðìå îáúåìíîé140ñèëû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïîëíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà îáúåìV , èìååìZZ∂σαβFα = σαβ dSβ =dV.(2.3)∂xβSVÑëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèå óïðóãèõ ñèë ýêâèâàëåíòíî äåéñòâèþ ñèëû∂σαβfα =(2.4)∂xβíà åäèíèöó îáúåìà òåëà.Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ äåîðìèðîâàííîãî òåëà èìååò âèä∂σαβ+ ρgα = 0,∂xβ(2.5)ãäå ρ~g âíåøíÿÿ îáúåìíàÿ ñèëà.
ðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿóðàâíåíèÿ (2.5) áóäóòPα = σαβ nβ ,(2.6)~ âíåøíÿÿãäå ~n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè òåëà, à Pñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè.3.3 Çàêîí óêà ñëó÷àå ìàëûõ äåîðìàöèé ñâÿçü ìåæäó òåíçîðîì íàïðÿæåíèéè òåíçîðîì äåîðìàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíîé. Îáùèé âèä ëèíåéíîé ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ òåíçîðàìè 2-ãî ðàíãà òàêîé:σαβ = λαβγδ uγδ ,(3.1)ãäå λαβγδ íåêèé òåíçîð 4-ãî ðàíãà, çàâèñÿùèé òîëüêî îò ñâîéñòâñðåäû.
 ñëó÷àå èçîòðîïíîé ñðåäû îáùèé âèä ýòîãî òåíçîðà ìîæíî ïîñòðîèòü èç ñîîáðàæåíèé òåíçîðíîé ðàçìåðíîñòè:λαβγδ = aδαβ δγδ + bδαγ δβδ + cδαδ δβγ141(3.2)(a, b è c çäåñü ïîñòîÿííûå êîýèöèåíòû), îòêóäàσαβ = aδαβ uγγ + (b + c)uαβ .(3.3)Òàêèì îáðàçîì, óïðóãèå ñâîéñòâà èçîòðîïíîé ñðåäû õàðàêòåðèçóþòñÿ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè êîýèöèåíòàìè.Ñâÿçü ìåæäó σαβ è uαβ îáû÷íî çàïèñûâàþò â îðìå1σαβ = 2µ uαβ − uγγ δαβ + Kuγγ δαβ(3.4)3(çàêîí óêà). Êîýèöèåíò µ íàçûâàþò ìîäóëåì ñäâèãà, êîýèöèåíò K ìîäóëåì âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ. Ôîðìóëó (3.4) ëåãêîîáðàòèòü. Ïîñêîëüêóσγγ = 3Kuγγ ,(3.5)èìååìuαβ11=σγγ δαβ +9K2µσαβ3.4 Ïðîñòûå äåîðìàöèè1− σγγ δαβ .3(3.6)Ïðîñòûìè íàçûâàþòñÿ äåîðìàöèè, ïðè êîòîðûõ â òåíçîðå íàïðÿæåíèé îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî îäíà êîìïîíåíòà.
Ïðèìåðîì ïðîñòîé äåîðìàöèè ìîæåò ñëóæèòü ñæàòèå ïðÿìîóãîëüíîãîáðóñêà äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè (ðèñ. 3.2).èñ. 3.2: Ïðèìåð ïðîñòîé äåîðìàöèè.142Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî êîìïîíåíòàσzz . Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.6)σzzσzzσzz+≡,9K3µEσzzσzz−≡ −σuzz ,uxx = uyy =9K6µuxy = uyx = uxz = uzx = uyz = uzy = 0,uzz =ãäå, ïî îïðåäåëåíèþ,E=9Kµµ + 3K(4.1)(4.2)(4.3)(4.4) ìîäóëü Þíãà,σ=−2µ − 3K3K − 2µE=18Kµ2(µ + 3K)(4.5) êîýèöèåíò Ïóàññîíà.
Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîñòûõ äåîðìàöèé ïàðà êîýèöèåíòîâ E è σ îêàçûâàåòñÿ áîëåå óäîáíîé. Ñëîæåíèåìèëè âû÷èòàíèåì (4.1) è (4.2) ëåãêî ïîëó÷àþòñÿ îáðàòíûå îðìóëû:11σ=+2µE E112σ=−3KEE⇒⇒E,2(1 + σ)EK=.3(1 − 2σ)µ=(4.6)(4.7)Îòìåòèì, ÷òî äëÿ æèäêîñòè, åñëè åå ðàññìàòðèâàòü êàê óïðóãóþ ñðåäó,µ = 0, K > 0, E = 0, σ = 1/2.(4.8)3.5 Ýíåðãèÿ äåîðìàöèè îòëè÷èå îò æèäêîñòåé è ãàçîâ, ñòåïåíü ñæàòèÿ óïðóãîé ñðåäûíåëüçÿ õàðàêòåðèçîâàòü ñêàëÿðíûì äàâëåíèåì.
Âìåñòî äàâëåíèÿïîÿâëÿåòñÿ òåíçîðíàÿ âåëè÷èíà σαβ . Ñîîòâåòñòâåííî, èçìåíÿþòñÿâûðàæåíèÿ äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ.143Íàéäåì èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ýëåìåíòà ñðåäû ïðè åãîäåîðìàöèè. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ðàáîòó äåîðìèðóþùåé âíåø~:íåé ñèëû FII~δA = δ~u dF = δuα σαβ dSβ ,(5.1)ãäå δ~u èçìåíåíèå âåêòîðà ñìåùåíèÿ, à èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿïî ïîâåðõíîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåìà ñðåäû. Ïåðåéäåì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî îáúåìó è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äåîðìàöèÿ ïðîèñõîäèò ìåäëåííî, è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ëþáàÿ ÷àñòü ñðåäûíàõîäèòñÿ ïî÷òè â ðàâíîâåñèè. ÒîãäàδA =ZZZ∂ σαβ δuα∂σαβ∂δuαdV =δuα dV + σαβdV∂xβ∂xβ∂xβZZσαβ ∂δuα∂δuβ∂δuαdV =+dV= σαβ∂xβ2∂xβ∂xαZ= σαβ δuαβ dV(5.2)Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè åäèíèöû îáúåìàðàâíîδε = T δs + δA = T δs + σαβ δuαβ .(5.3)Èçìåíåíèå ýíòðîïèè âåùåñòâà ïðè åãî äåîðìàöèè (δs) îïðåäåëèòü ñëîæíî, ïîýòîìó â êà÷åñòâå ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêèäåîðìàöèè óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ñâîáîäíîé ýíåðãèåéF = ε − T s,δF = −s δT + σαβ δuαβ .(5.4)Ïðè ïîìîùè çàêîíà óêà óïðóãóþ äîáàâêó ê ýíåðãèè ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ïîëíîãî äèåðåíöèàëà:h iuγγσαβ δuαβ = 2µ uαβ −δαβ + Kuγγ δαβ δuαβ =3 2 Kuγγ2= δ µ uαβ −δαβ + uγγ .
(5.5)32144Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ äåîðìàöèè ðàâíàFäå = µ uαβ2 Kuγγ−δαβ + u2γγ .32(5.6)Åñëè äåîðìàöèÿ ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå (÷òîäëÿ ìåäëåííûõ äåîðìàöèé ÷àñòî èìååò ìåñòî), òî èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè ñðåäû ðàâíî ýíåðãèè äåîðìàöèè. îòñóòñòâèå äåîðìàöèè ýíåðãèÿ äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíîé.Ñëåäîâàòåëüíî,µ ≥ 0,K≥0⇒E ≥ 0,σ ≤ 1/2.(5.7)Çàìåòèì òàêæå, ÷òî îáû÷íî σ > 0, òî åñòü, ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî âåùåñòâ ïðè ðàñòÿæåíèè â îäíîì íàïðàâëåíèè ñæèìàåòñÿ âäâóõ äðóãèõ.3.6 Çâóê â òâåðäîì òåëåÅñëè íà íåêîòîðûé ìàëûé îáúåì ñðåäû äåéñòâóþò íåñêîìïåíñèðîâàííûå óïðóãèå ñèëû, òî ýòîò îáúåì áóäåò óñêîðÿòüñÿ ïî çàêîíóρi∂σαβuγγ∂ 2 uα∂ h ==−δδ2µu+Ku.γγαβαβαβ∂t2∂xβ∂xβ3(6.1)Ïîñêîëüêó∂uαβ1 ∂=∂xβ2 ∂xβ∂uβ∂uα+∂xβ∂xα11= △uα + ∇α div ~u,22(6.2)èìååìρ∂ 2 ~u2µ∇div ~u + K∇div ~u == µ△~u + µ∇div ~u −∂t23µ+ K ∇div ~u.
(6.3)= µ△~u +3145Âåêòîð ñìåùåíèÿ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå~u = ~ut + ~ul ,div ~ut = 0,rot ~ul = 0.(6.4)Âçÿâ äèâåðãåíöèþ óðàâíåíèÿ (6.3), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íà ~ul :ρµ∂ 2 div ~ul=µ△div~u++K△div ~ul ,l∂t23∂ 2 ~ul4µdiv ρ 2 −+ K △~ul = 0.∂t3(6.5)Ïîñêîëüêó ðîòîð âûðàæåíèÿ â èãóðíûõ ñêîáêàõ òàêæå ðàâåííóëþ, ýòî âûðàæåíèå åñòü êîíñòàíòà. Òàê êàê â îòñóòñòâèå äåîðìàöèé (ïðè ~ul ≡ 0) ñðåäà íàõîäèòñÿ â ïîêîå, ýòà êîíñòàíòàðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,1 4µ∂ 2 ~ul22= cl △~ul ,cl =+K .(6.6)∂t2ρ 3Ìû ïîëó÷èëè âîëíîâîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèåïðîäîëüíîãî çâóêà â óïðóãîé ñðåäå.
Âåëè÷èíà cl íàçûâàåòñÿ ïðîäîëüíîé ñêîðîñòüþ çâóêà.  ñëó÷àå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîéâîëíûhi(6.7)rot ~ul = i~k × ~ul = 0 ⇒ ~ul k ~k,îòñþäà è íàçâàíèå.Àíàëîãè÷íî, âçÿâ ðîòîð (6.3), ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèåäëÿ ïîïåðå÷íîãî çâóêà:ρ∂ 2 rot ~ut= µ△rot ~ut ,∂t2∂ 2 ~ut= c2t △~ut ,∂t2c2t =(6.8)µ,ρ(6.9)ãäå ct ïîïåðå÷íàÿ ñêîðîñòü çâóêà.  ïëîñêîé ïîïåðå÷íîé âîëíå~ut ⊥ ~k. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó (5.7) âñåãäàcl > ct .146(6.10)3.7 Ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíåéÑêîðîñòü çâóêîâîé âîëíû â îãðàíè÷åííîì òâåðäîì òåëå ìîæåòîêàçàòüñÿ èíîé, íåæåëè â íåîãðàíè÷åííîì. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïðîäîëüíîé çâóêîâîé âîëû â òîíêîì äëèííîì ñòåðæíå(ðèñ.
3.3).èñ. 3.3: Ê âûâîäó ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé òîíêîãî ñòåðæíÿ.Ïóñòü äëèíà âîëíû λ íàìíîãî ïðåâûøàåò ïîïåðå÷íûé ðàçìåðñòåðæíÿ a, è íà ñòåðæåíü ñ áîêîâ íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû:σαβ nβ = 0 íà ãðàíèöå.(7.1)Íàïðàâèì îñü ~z âäîëü ñòåðæíÿ. Íà ãðàíèöå ñòåðæíÿ â òî÷êàõ,ãäå ~n k ~x, êîìïîíåíòû σxx , σyx è σzx òåíçîðà íàïðÿæåíèé â ñèëó(7.1) îáðàùàþòñÿ â íîëü. Íî ïîñêîëüêó ñòåðæåíü òîíêèé (a ≪ λ),òî âíóòðè íåãî ýòè êîìïîíåíòû íå óñïåâàþò âûðàñòè äî áîëüøîé âåëè÷èíû è èõ âñþäó ìîæíî ñ÷èòàòü ìàëûìè. Àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âíóòðè ñòåðæíÿ ìàëûâñå êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé, çà èñêëþ÷åíèåì σzz .
Òàêèìîáðàçîì, äåîðìàöèþ òîíêîãî ñòåðæíÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ïî íåìóïðîäîëüíîé âîëíû ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòîé. ñëó÷àå ïðîñòîé äåîðìàöèè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êîðîòêîãîó÷àñòêà ñòåðæíÿ ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäóρS ∆l∂ 2 uz∂σzz= S σzz (z + ∆l) − σzz (z) ≈ S ∆l=2∂t∂z∂uzz∂ 2 uz= S ∆l E= S ∆l E, (7.2)∂z∂z 2147ãäå ρ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ, S è ∆l ñå÷åíèå è äëèíà ðàññìàòðèâàåìîãî êóñî÷êà (ðèñ.
3.3). Èç (7.2) ïîëó÷àåòñÿ âîëíîâîå óðàâíåíèåE ∂ 2 uz∂ 2 uz=(7.3)∂t2ρ ∂z 2pñî ñêîðîñòüþ çâóêà, ðàâíîé E/ρ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ñêîðîñòü çâóêà âñåãäà ìåíüøå cl . Ýòîò àêò îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òîòîíêèé ñòåðæåíü ïðè ñæàòèè â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè ðàñøèðÿåòñÿ â ïîïåðå÷íîì è ïîòîìó ïðè îäèíàêîâîé ñòåïåíè ñæàòèÿ âñòåðæíå âîçíèêàþò ìåíüøèå íàïðÿæåíèÿ, íåæåëè â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå.3.8 Èçãèá ñòåðæíåéÍàéäåì äåîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ, âîçíèêàþùèå â òîíêîì äëèííîì ñòåðæíå ïðè åãî ñëàáîì èçãèáå. Ñòåðæåíü ìîæíî ñ÷èòàòü òîíêèì, åñëè åãî òîëùèíà a ìàëà ñ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì èçãèáàλ (ðèñ.
3.4, à). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçãèá ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì ïîïåðå÷íîé ñèëû F~ ,ïðèëîæåííîé ê îäíîìó èç êîíöîâ (äëÿ äðóãèõ ñïîñîáîâ èçãèáààíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ïîëó÷àþòñÿ òå æå îðìóëû).Íàïðàâèì îñü ~z âäîëü ñòåðæíÿ, à îñü ~x ðàñïîëîæèì â ïëîñêîñòè èçãèáà (ïðè ñëàáîì èçãèáå ðàçëè÷èåì íàïðàâëåíèé ~x è ~zâ ðàçíûõ ñå÷åíèÿõ ñòåðæíÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
