1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ñèëà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðåïÿòñòâóåò èñêàæåíèþ ãðàíèöû, è äâåæèäêîñòè íå ìîãóò ïîìåíÿòüñÿ ìåñòàìè.Åñëè æèäêîñòü ïî îáå ñòîðîíû ãðàíèöû îäèíàêîâàÿ, íî ðàçëè÷àåòñÿ ñêîðîñòüþ äâèæåíèÿ, òî ó ÷àñòîòû ω âñåãäà åñòü íåíóëåâàÿ ìíèìàÿ ÷àñòü, è ìû èìååì äåëî ñ íåóñòîé÷èâîñòüþ òàíãåíöèàëüíîãî ðàçðûâà, ÷àñòíûì ñëó÷àåì íåóñòîé÷èâîñòè Êåëüâèíàåëüìãîëüöà:Im ω = ±kux /2.ρ1 = ρ2 , α = 0, ~u 6= 0 :(10.27)Ïîýòîìó ðåçêèé ïåðåïàä ñêîðîñòè íå ìîæåò äîëãî ñîõðàíÿòüñÿ â èäåàëüíîé æèäêîñòè.
Èíêðåìåíò íåóñòîé÷èâîñòè îðìàëüíî ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè óâåëè÷åíèè k , ÷òî åñòü ñëåäñòâèå âûáðàííîé èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè.  äåéñòâèòåëüíîñòèîáëàñòü, â êîòîðîé ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî u, âñåãäà èìååò êîíå÷íóþ òîëùèíó ∆z . Íàøåé ìîäåëüþ ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêîïðè óñëîâèè, ÷òî ïîïåðå÷íûé ìàñøòàá âîçìóùåíèÿ (ðàâíûé k −1 )âåëèê ïî ñðàâíåíèþ ñ ∆z .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå èçìåíåíèå ñêîðîñòèíåëüçÿ ñ÷èòàòü ðåçêèì, è âûðàæåíèå (10.27) äëÿ èíêðåìåíòà íåïðèìåíèìî.Ïðè ρ1 ≪ ρ2 èç âûðàæåíèÿ (10.20) ìîæíî ïîëó÷èòü óñëîâèåâîçáóæäåíèÿ âîëí âåòðîì:kg +èëè~u 6= 0, ρ1 ≪ ρ2 :αk3ρ1 k2 u2x−<0ρ2ρ2Im ω > 0 ïðè u2x >98(10.28)ρ2 g αk+.kρ1ρ1(10.29)Ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (10.29) êàê óíêöèÿ îò k èìååò ìèíèìóì ïðè k = k0 , êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ñêîðîñòüux = ux0 ≡ (4ρ2 αg/ρ1 )1/4 .(10.30)Èòàê, íà ïîâåðõíîñòè ÷èñòîé âîäû ëåã÷å âñåãî âîçáóäèòü âîëíûñ äëèíîé îêîëî 2 ñì, è äëÿ ýòîãî íóæíà ñêîðîñòü âåòðà îêîëî10 ì/ñ. Èçëîæåííûé ìåõàíèçì âîçáóæäåíèÿ âîëí, îäíàêî, ðåäêîðåàëèçóåòñÿ â ïðèðîäå. ×àùå ñêîðîñòü âåòðà ïðè ïðèáëèæåíèè êïîâåðõíîñòè âîäû ïëàâíî îáðàùàåòñÿ â íîëü, è ðàáîòàþò áîëååñëîæíûå ìåõàíèçìû âîçáóæäåíèÿ.2.11 Âÿçêàÿ æèäêîñòü âÿçêîé æèäêîñòè òåíçîð íàïðÿæåíèé èìååò âèäπαβ = −pδαβ + σαβ .(11.1) íåì ïîÿâëÿåòñÿ äîáàâî÷íîå ñëàãàåìîå σαβ , íàçûâàåìîå òåíçîðîìâÿçêèõ íàïðÿæåíèé è îáóñëîâëåííîå ñèëàìè âíóòðåííåãî òðåíèÿìåæäó ñëîÿìè æèäêîñòè.
Ñîîòâåòñòâåííî, êîìïîíåíòû ïîëíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé â æèäêîñòè íà åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó dS , ðàâíûFα = −παβ nβ = pnα − σαβ nβ ,ãäå ~n âíóòðåííÿÿ íîðìàëü ê ïëîùàäêå (ðèñ. 2.11).èñ. 2.11:99(11.2)Ñèëà âíóòðåííåãî òðåíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ ïðè íåîäíîðîäíîì äâèæåíèè æèäêîñòè. Âåëè÷èíà ýòîé ñèëû ëèíåéíî çàâèñèò îò ïåðâûõïðîèçâîäíûõ êîìïîíåíò ñêîðîñòè ïî êîîðäèíàòàì, òàê ÷òîσαβ = A∂vβ∂vγ∂vα+B+ Cδαβ,∂xβ∂xα∂xγ(11.3)ãäå A, B è C íå çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòè êîýèöèåíòû.  ðàìêàõ ãèäðîäèíàìèêè ýòî óòâåðæäåíèå ïðèíèìàåòñÿ êàê ïîñòóëàò.Âíóòðåííåãî òðåíèÿ íå âîçíèêàåò ïðè âðàùåíèè æèäêîñòè êàê~ .
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ñêîðîñòèöåëîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ωhi~ ,~v = ~r × Ωvα = eαik xi Ωk(11.4)òåíçîð σαβ äîëæåí òîæäåñòâåííî çàíóëÿòüñÿ. Èìååìσαβ = Aeαik∂xi∂xi∂xiΩk + BeβikΩk + Cδαβ eγikΩk =∂xβ∂xα∂xγ= Aeαβk Ωk + Beβαk Ωk = (A − B)eαβk Ωk = 0, (11.5)îòêóäà A = B .Òðàäèöèîííî òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé çàïèñûâàþò â îðìå∂vβ∂vα2∂vγ∂vγσαβ = η+− δαβ+ ζδαβ.(11.6)∂xβ∂xα 3∂xγ∂xγÊîìáèíàöèÿ òåíçîðîâ â êðóãëûõ ñêîáêàõ óäîáíà òåì, ÷òî èìååòíóëåâîé ñëåä. Êîýèöèåíò η íàçûâàþò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòüþèëè ïðîñòî âÿçêîñòüþ.
Êîýèöèåíò ζ íàçûâàþò âòîðîé âÿçêîñòüþ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî η è ζ ïîëîæèòåëüíû (ýòî ñëåäóåò èççàêîíà âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè).Ñ ó÷åòîì âÿçêîñòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ æèäêîñòè (1.3) ïðèíèìàåò âèäρ∂παβdvα∂p=+ ρgα = −+ ρgα +dt∂xβ∂xα ∂vβ∂vγ∂vγ∂2∂vα+− δαβ+η+ ζδαβ. (11.7)∂xβ∂xβ∂xα 3∂xγ∂xγ100Êîýèöèåíòû η è ζ , âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿò îò p è ρ. Íî çà÷àñòóþ èçìåíåíèå ýòèõ êîýèöèåíòîâ íåçíà÷èòåëüíî, è èõ ìîæíîâûíåñòè èç ïîä çíàêà äèåðåíöèðîâàíèÿ:ρηd~v= −∇p + ρ~g + η△~v ++ ζ ∇div ~v .dt3(11.8)d~v∇p=−+ ν△~v ,dtρ(11.9)Óðàâíåíèå (11.8) ñ ~g = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íàâüå Ñòîêñà. íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îíî ïðèíèìàåò âèäãäå êîýèöèåíò ν = η/ρ íàçûâàþò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòüþ.2.12 Çàêîí ïîäîáèÿÏóñòü u è L õàðàêòåðíûå ñêîðîñòü è ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá íåêîòîðîãî ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ (ðèñ.
2.12). Åñëè æèäêîñòü íåñæèìàåìàÿ, à êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü ν = onst, òî äâèæåíèå æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (1.12) è (11.9).  áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ~r ′ =~r,L~v ′ =~v,ut′ =ut,Lp′ =pρu2(12.1)ýòè óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèädiv′~v ′ = 0,∂~v ′ν ′ ′+ (~v ′ ∇′ )~v ′ = −∇′ p′ +△ ~v′∂tLu(12.2)(øòðèõè ó îïåðàòîðîâ îçíà÷àþò äèåðåíöèðîâàíèå ïî áåçðàçìåðíûì êîîðäèíàòàì). åøåíèå ñèñòåìû (12.2) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ãåîìåòðèåé çàäà÷è è áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîìℜ=Lu,ν101(12.3)èñ. 2.12: Ïðèìåðû õàðàêòåðíûõ ïàðàìåòðîâ òå÷åíèÿ.íàçûâàåìûì ÷èñëîì åéíîëüäñà. Òàêèì îáðàçîì, òå÷åíèÿ îäèíàêîâîãî òèïà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì åéíîëüäñà ïîäîáíû (çàêîí ïîäîáèÿ). ñëó÷àå áîëåå ñëîæíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè (íåñòàöèîíàðíîãî, â ïîëå òÿæåñòè è ò.
ï.) òèï ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ áîëüøèì÷èñëîì áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ, òîæå èìåþùèõ ñâîè íàçâàíèÿ.Çàêîíû ïîäîáèÿ ïîëåçíû òåì, ÷òî ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ íàä ìàëåíüêèìè ìîäåëÿìè ê íàñòîÿùèìîáúåêòàì ïðè óñëîâèè îäèíàêîâîñòè áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ.2.13 Óðàâíåíèå òåïëîïåðåíîñàÏóñòü íà æèäêîñòü íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû (~g = 0) è æèäêîñòü íå íàãðåâàåòñÿ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè òåïëà. Òîãäà, ïðè íàëè÷èè äèññèïàòèâíûõ ïðîöåññîâ, óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä∂∂tρv 2+ ρε =2 2∂v∂T=−ρvα+ ε + vα p − σαβ vβ − æ.
(13.1)∂xα2∂xα102Çäåñü ε âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû, T òåìïåðàòóðà, æ òåïëîïðîâîäíîñòü æèäêîñòè. Ñëàãàåìûå â êðóãëûõ ñêîáêàõ (â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëíóþ ýíåðãèþ (êèíåòè÷åñêóþ è âíóòðåííþþ) åäèíèöû îáúåìà. Ñëàãàåìûåâ êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ñóòü ïîòîê ýíåðãèè, êîòîðûé ñêëàäûâàåòñÿèç êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè âìåñòå ñ æèäêîñòüþ (ïåðâîåñëàãàåìîå), ðàáîòû âíóòðåííèõ ñèë (âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå)è òåïëîïðîâîäíîñòè (÷åòâåðòîå ñëàãàåìîå).Âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû âíóòðåííèõ ñèë òðåáóåò ïîÿñíåíèé.~ äåéñòâóÏóñòü íà îáúåì dV ÷åðåç ýëåìåíò åãî ïîâåðõíîñòè dS~åò ñèëà dF .
 åäèíèöó âðåìåíè âíóòðåííèå ñèëû ñîâåðøàþò íàäîáúåìîì ðàáîòóZZZ~ = vβ dFβ = − vβ πβα dSα =A = ~v dFZZ= vβ (pδαβ − σαβ ) dSα = (vα p − σαβ vβ ) dSα , (13.2)îòêóäà è ñëåäóåò âûïèñàííîå âûøå âûðàæåíèå.Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé íåïðåðûâíîñòè (1.1) è äâèæåíèÿ (1.3)ìîæíî èç (13.1) èñêëþ÷èòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ è ïîëó÷èòüóðàâíåíèå òåïëîïåðåíîñà:ρTds∂vα+ div (æ∇T ).= σαβdt∂xβ(13.3)Çäåñü â ëåâîé ÷àñòè ñòîèò êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîé åäèíèöåé îáúåìà â åäèíèöó âðåìåíè, à ñïðàâà òåïëîòà, âûäåëèâøàÿñÿâñëåäñòâèå âÿçêîé äèññèïàöèè èëè ïðèøåäøàÿ èç ñîñåäíèõ ñëîåâæèäêîñòè â ðåçóëüòàòå òåïëîïåðåíîñà.Ñòðîãèé âûâîä (13.3) äîâîëüíî ãðîìîçäîê, íî åãî îñíîâíûå ìîìåíòû ìîæíî ïîíÿòü èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåèé.
Âñå ñëàãàåìûå,íå ñîäåðæàùèå σαβ è æ, ïóòåì ñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïèðóþòñÿ â ëåâóþ ÷àñòü (13.3), òàê ÷òî â èäåàëüíîé æèäêîñòèóðàâíåíèå (13.1) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå àäèàáàòè÷íîñòèρTds= 0.dt103(13.4)Ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå σαβ è æ, ïðîñòî ïåðåïèñûâàþòñÿ èç ïðàâîé ÷àñòè (13.1) â ïðàâóþ ÷àñòü (13.3).
Êðîìå òîãî, â ïðîöåññåèñêëþ÷åíèÿ èç (13.1) ïðîèçâîäíîé ∂(ρv 2 )/∂t èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿvα∂ρvα∂= −vα(ρvα vβ + pδαβ − σαβ ) ,∂t∂xβ(13.5)âñëåäñòâèå ÷åãî â ïðàâîé ÷àñòè (13.3) äîïîëíèòåëüíî ïîÿâëÿåòñÿñëàãàåìîå −vα ∂σαβ /∂xβ , êîòîðîå äàåò−vα∂σαβ vβ∂σαβ∂vα+= σαβ.∂xβ∂xα∂xβ(13.6)Åñëè æèäêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, à êîýèöèåíòûη è æ êîíñòàíòàìè, òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñóùåñòâåííîóïðîùàåòñÿ. Ïîñêîëüêó∂vγ= div ~v = 0,∂xγ(13.7)èìååì∂vασαβ=η∂xβ∂vβ∂vα+∂xβ∂xα∂vαη=∂xβ2∂vβ∂vα+∂xβ∂xαËåâóþ ÷àñòü (13.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå2.(13.8)dTdsdQ=ρ= ρcp,(13.9)dtdtdtãäå Q êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîé åäèíèöåé ìàññû, à cp òåïëîåìêîñòü åäèíèöû ìàññû. Ïîñêîëüêó ïðè íàãðåâàíèè æèäêîñòè îáû÷íî íè÷òî íå ïðåïÿòñòâóåò åå ðàñøèðåíèþ, òåïëîåìêîñòüáåðåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè.
Èòàê, óðàâíåíèå òåïëîïåðåíîñàïðèíèìàåò âèä∂vβ 2dTν∂vαæ= χ△T ++,χ=.(13.10)dt2cp ∂xβ∂xαρcpρTÂåëè÷èíà χ íàçûâàåòñÿ êîýèöèåíòîì òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè.1042.14 Ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà ïðèíöèïå, ãèäðîäèíàìèêîé äîïóñêàþòñÿ ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ,ïðè êîòîðûõ õàðàêòåðèçóþùèå æèäêîñòü âåëè÷èíû (ïëîòíîñòü,äàâëåíèå èëè ñêîðîñòü) ìåíÿþòñÿ ñêà÷êîì. Îäíàêî ïîòîêè âåùåñòâà, èìïóëüñà è ýíåðãèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè.  èäåàëüíîé ãèäðîäèíàìèêå ýòè óñëîâèÿíåïðåðûâíîñòè ïðèíèìàþò âèä(14.1){ρvx } = 0,p + ρvx2 = 0,(14.2){ρvx~vt } = 0, 2 2ρvv+ ρε + pvx = ρvx+w= 0,vx22(14.3)(14.4)ãäå îñü ~x ïåðïåíäèêóëÿðíà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà, v~t òàíãåíöèàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè, w ýíòàëüïèÿ åäèíèöû ìàññû;èãóðíûå ñêîáêè îçíà÷àþò ñêà÷îê âåëè÷èíû ïðè ïåðåõîäå ÷åðåçðàçðûâ.
Èç óðàâíåíèé (14.1)(14.4) èìååì:åñëèρvx = 0,òîåñëèρvx 6= 0,òî{p} = 0;{~vt } = 0.(14.5)(14.6)Ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà êëàññèèöèðóþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî,êàêàÿ âåëè÷èíà òåðïèò ðàçðûâ:òàíãåíöèàëüíûé ðàçðûâ:ρvx = 0,êîíòàêòíûé ðàçðûâ:{p} = 0,{~vt } =6 0,ρvx = 0,óäàðíàÿ âîëíà:{p} = 0,{ρ} =6 0,ρvx 6= 0,{p} =6 0,{~vt } = 0.2.15 Óäàðíàÿ àäèàáàòàÍàéäåì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ ìåæäó ñîáîé äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè ñ ðàçíûõ ñòîðîí óäàðíîé âîëíû. Áóäåì ðàáîòàòü â ñèñòåìå îòñ÷åòà,105â êîòîðîé ðàçðûâ ïîêîèòñÿ, ~vt = 0 è vx > 0 (ðèñ.
2.13, à). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà ìîæíî ñ÷èòàòü ïëîñêîé.Èç óðàâíåíèé (14.1)(14.4) â íàøåì ñëó÷àå ñëåäóåòρ1 v1 = ρ2 v2p1 +ρ1 v12(v ≡ vx ),= p2 +ρ2 v22 ,v12v2+ w1 = 2 + w2 .22(15.1)(15.2)(15.3)Ââåäåì îáúåì åäèíèöû ìàññû V = 1/ρ è ïîòîê âåùåñòâà ÷åðåçðàçðûâ j = ρv . Èç (15.2) èìååìp1 − p2 = ρ2 v22 − ρ1 v12 = j 2 (V2 − V1 ),p2 − p1= −j 2 < 0.V2 − V1(15.4)Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è òðåáîâàíèÿ âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè (îðìóëà (15.13)) ñëåäóåò, ÷òî â óäàðíîé âîëíåp2 > p1 ,V2 < V1 ,(15.5)òî åñòü, âåùåñòâî âñåãäà ïåðåõîäèò èç îáëàñòè ìåíüøåãî äàâëåíèÿ â îáëàñòü áîëüøåãî è ñæèìàåòñÿ ïðè ýòîì.
Ïîäñòàâëÿÿ (15.4)èñ. 2.13: åîìåòðèÿ çàäà÷è (à); óäàðíàÿ àäèàáàòà äëÿ äâóõàòîìíîãî ãàçà (á).106â (15.3), ïîëó÷àåìv12 − v22j2= (V12 − V22 ),22(p2 − p1 )(V1 + V2 )w2 − w1 =.2w2 − w1 =(15.6)Óðàâíåíèå (15.6) íàçûâàåòñÿ óäàðíîé àäèàáàòîé èëè àäèàáàòîéþãîíèî. Âìåñòå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà îíî ïîçâîëÿåòïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ ãàçà â îäíîé îáëàñòè íàéòè çàâèñèìîñòüp(V ) â äðóãîé.Äëÿ äàëüíåéøåãî ïðîäâèæåíèÿ íóæíî êîíêðåòèçèðîâàòüóðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà. Íàèáîëåå ïðàêòè÷åñêè âàæíûìÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé èäåàëüíîãî ãàçà ñ ýíòàëüïèåéw=γpV + onst.γ−1(15.7)Ïîñëå àðèìåòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ (15.6)2γ(p2 V2 − p1 V1 ) = (γ − 1)(p2 − p1 )(V1 + V2 ),V2 (2γp2 + (γ − 1)(p1 − p2 )) = V1 (2γp1 + (γ − 1)(p2 − p1 )),óäàðíàÿ àäèàáàòà äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðèíèìàåò âèäãäåV2(γ − 1)p2 + (γ + 1)p1A1==,V1(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1A2(15.8)A1 = (γ − 1)p2 + (γ + 1)p1 ,(15.9)A2 = (γ + 1)p2 + (γ − 1)p1 .(15.10)Ïðè çàäàííûõ p1 è V1 çàâèñèìîñòü p2 (V2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðáîëó ñî ñìåùåííûìè îòíîñèòåëüíî îñåé àñèìïòîòèêàìè(ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
