1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 16
Текст из файла (страница 16)
àññóæäåíèÿìè,àíàëîãè÷íûìè ïðîâåäåííûì â ðàçäåëå 3.7, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òîäåîðìàöèÿ èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ áóäåò ïðîñòîé (òîëüêî σzz 6= 0).Áîëåå ñòðîãî ýòî óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿñòåðæíÿ. Íàïðèìåð, äëÿ çàøòðèõîâàííîãî ó÷àñòêà íà ðèñ. 3.4, à, áèìååìZFLy -ìîìåíò:F L + σzz x dS = 0 ⇒ σzz ∼ 3 ,(8.1)aZFx-ñèëà:−F + σxz dS = 0 ⇒ σxz ∼ 2 ,(8.2)a148ãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ñå÷åíèþ ñòåðæíÿ, îòêóäàσxz ∼aσzz ≪ σzz .L(8.3)èñ. 3.4: åîìåòðèÿ çàäà÷è îá èçãèáå ñòåðæíÿ (a); ê îöåíêå σxz (á);ê âû÷èñëåíèþ äåîðìàöèè ñòåðæíÿ (â); ïîëîæåíèå íåéòðàëüíîéïîâåðõíîñòè ïðè ðàçëè÷íîé îðèåíòàöèè ñòåðæíÿ (ã).Ïðè ðàññìàòðèâàåìîì èçãèáå âåðõíÿÿ ÷àñòü ñòåðæíÿ ðàñòÿãèâàåòñÿ, à íèæíÿÿ ñæèìàåòñÿ.
Îáëàñòè ðàñòÿæåíèÿ è ñæàòèÿ ðàçäåëÿåò íåéòðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü; áóäåì îòñ÷èòûâàòü ðàññòîÿíèåx îò íåå (ðèñ. 3.4, â). Ó÷àñòîê ñòåðæíÿ, îòñòîÿùèé íà ðàññòîÿíèåx îò íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè è èìåâøèé äî èçãèáà äëèíó ∆l,149âñëåäñòâèå èçãèáà óäëèíèòñÿ íà âåëè÷èíódl =x∆l,R(8.4)ãäå R ëîêàëüíûé ðàäèóñ êðèâèçíû íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè.Îòñþäà íàõîäèì íåíóëåâûå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ äåîðìàöèè èíàïðÿæåíèé:uzz =dl∆l=x,Ruxx = uyy = −σuzz ,σzz = Ex.R(8.5)Ïîëîæåíèå íåéòðàëüíîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ:ZZz -ñèëà:σzz dS = 0 ⇒x dS = 0,(8.6)òî åñòü, íåéòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ñå÷åíèÿ (ðèñ.
3.4, ã).Èçãèá ñòåðæíÿ êàê öåëîãî óäîáíî îïèñûâàòü êîîðäèíàòîéX(Z) åãî íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè â íåêîòîðîé âíåøíåé ñèñòå~ , íàïðàâëåííîé âäîëü ñòåðæíÿ (ðèñ. 3.4, â).ìå (X, Y, Z) ñ îñüþ ZÎáîçíà÷àÿ äèåðåíöèðîâàíèå ïî Z øòðèõîì, äëÿ ñëàáîãî èçãèáà èìååì1= −X ′′ (Z),Ruzz = −xX ′′ ,σzz = −ExX ′′ .(8.7)Ôîðìóëû (8.7) ëåãêî îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé òðåõìåðíîãî èçãèáà:uzz = −xX ′′ − yY ′′ ,σzz = −ExX ′′ − EyY ′′ ,(8.8)ãäå êîîðäèíàòû x è y îòñ÷èòûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, â íàïðàâ~ èY~ îò ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ïî öåíòðó òÿæåñòè ñå÷åíèÿëåíèÿõ X(íåéòðàëüíîé ëèíèè).Êàê âèäíî èç (8.1), ñïîñîáíîñòü ñòåðæíÿ ñîïðîòèâëÿòüñÿ èçãèáó õàðàêòåðèçóåòñÿ ìîìåíòîì óïðóãèõ ñèë. Íàéäåì ýòó âåëè÷èíó.150Ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà ñèëû,ZMx = yσzz dS = −EIxy X ′′ − EIyy Y ′′ ,ZMy = − xσzz dS = EIxx X ′′ + EIxy Y ′′ ,ãäåIαβ =Zrα rβ dS(8.9)(8.10)(8.11)~ è òåíçîð ìîìåíòà èíåðöèè ñå÷åíèÿ.
Åñëè íàïðàâëåíèå îñåé X~ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ãëàâíûõ îñåé ñå÷åíèÿ, òî âûðàæåíèÿYäëÿ ìîìåíòîâ óïðîùàþòñÿ:Mx = −EIyy Y ′′ ,My = EIxx X ′′ .(8.12)Èç îðìóë (8.9)(8.12) ÿñíî, ïî÷åìó äëÿ óïðî÷íåíèÿ ñòåðæíåéèõ ïðîèëü äåëàåòñÿ ñëîæíûì (ðèñ. 3.4, ã): ÷òîáû ïðè çàäàííîéïëîùàäè ñå÷åíèÿ ïîëó÷èòü áîëüøèé ìîìåíò èíåðöèè.3.9 Ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíåéÏóñòü òåïåðü ñòåðæåíü íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè è ìîæåò êîëåáàòüñÿ â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè. Íàéäåì çàêîí ìàëûõ ïîïåðå÷~ , Z)~ (ðèñ. 3.5, à). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîíûõ êîëåáàíèé â ïëîñêîñòè (Yíà ñòåðæåíü ñ áîêîâ íå äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà. Òîãäà óðàâíåíèåäâèæåíèÿ ìàëîãî ýëåìåíòà ñòåðæíÿ ïðèìåò âèä∂ 2 ~u~ (l + ∆l) − F~ (l),=F(9.1)∂t2ãäå S ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, ρ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ, ∆l äëèíàðàññìàòðèâàåìîãî êóñî÷êà, l êîîðäèíàòà, îòñ÷èòûâàåìàÿ âäîëüñòåðæíÿ, F~ ïîëíàÿ óïðóãàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â ïîïåðå÷íîìñå÷åíèè ñïðàâà íàëåâî (ðèñ.
3.5, à). Ïåðåõîäÿ ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ∆l, ïîëó÷àåì~∂ 2 ~u∂F= ρS 2 .(9.2)∂l∂tρS ∆l151èñ. 3.5: åîìåòðèÿ çàäà÷è î ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèÿõ ñòåðæíÿ (a);äåéñòâóþùèå â ñå÷åíèå ñòåðæíÿ ñèëû (á); ê íàõîæäåíèþ ïðîèçâîäíîé d~τ /dl (â).~ ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîäîëüíóþ è ïîïåðå÷íóþ êîìÑèëó Fïîíåíòû:~k + F~⊥ ,F~ = F(9.3)ãäåF~⊥ = ~nZσyz dS,F~k = ~τZσzz dS ≡ T ~τ ,(9.4)à ~n è ~τ åäèíè÷íûå âåêòîðû â íàïðàâëåíèÿõ íåéòðàëüíîé ëèíèèè íîðìàëè ê íåé ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 3.5, á). Âåëè÷èíà T (íàòÿæåíèå ñòåðæíÿ) íå çàâèñèò îò l, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àåíåñêîìïåíñèðîâàííàÿ ïðîäîëüíàÿ ñèëà âûçâàëà áû ïðîäîëüíîåäâèæåíèå ñòåðæíÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü íàòÿæåíèå ñòåðæíÿ çàäàííûì.~ ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå îòëè÷èÿ äåîðÇàìåòèì, ÷òî ñèëà Fìàöèè îò ïðîñòîé è íàëè÷èÿ íåíóëåâîé òÿíóùåé ñèëû. Îáà ýòè152ýåêòà ÿâëÿþòñÿ â êàêîì-òî ñìûñëå ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñäåéñòâèåì ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé, ñîçäàþùèõ ìîìåíò óïðóãèõñèë: ~ |T | ≪ |σzz |a2 .(9.5)F⊥ ≪ |σzz |a2 ,Ïîýòîìó â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû ïðåíåáðåãàëè ñèëîé F~ è ñ÷èòàëè äåîðìàöèþ ïðîñòîé.
Ñåé÷àñ æå íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ àíàëèç áîëåå òîíêèõ ýåêòîâ, ïîýòîìó ìû ó÷èòûâàåì ìàëóþ ñèëó~ è ìàëîå îòëè÷èå íàïðàâëåíèé âåêòîðà ~τ è îñè Z~.F~ (l) ìîìåíò óïðóãèõ ñèë (8.9), (8.10), äåéñòâóþÎáîçíà÷èì Mùèõ ñïðàâà íàëåâî â çàäàííîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ (ðèñ. 3.5, á). Ïîñêîëüêó ïðè ìàëûõ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèÿõ äâèæåíèå ýëåìåíòàñòåðæíÿ ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòóïàòåëüíûì, ïîëíûéìîìåíò ñèë (íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî òî÷êè `O'), ïðèëîæåííûõ êðàññìàòðèâàåìîìó êóñî÷êó, äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ:hi~ (l + ∆l) − M~ (l) + ~τ ∆l × F~ (l + ∆l) = 0,Mîòêóäàhi~∂M~ = 0,+ ~τ × F∂l(9.6)# "~~∂2M∂~τ∂F~ + ~τ ×+×F= 0.∂l2∂l∂l(9.7)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ∂~τ /∂l çàìå÷àåì, ÷òî ïðè ñìåùåíèèâäîëü ñòåðæíÿ íà âåëè÷èíó dl âåêòîð ~τ èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíód~τ k ~n (ðèñ. 3.5, â).
Èç ãåîìåòðèè ñëåäóåò, ÷òîdτdl=R|τ |⇒dτ1=dlR⇒∂~τ~n= .∂lR(9.8)Ïîäñòàâëÿÿ (8.9), (9.8) è (9.2) â x-êîìïîíåíòó (9.8) è çàìå÷àÿ, ÷òî1= Y ′′ ,Ruy = Y,153(9.9)ïîëó÷àåì−EIyyi2∂2Y h∂4Y~k + ρS ∂ Y [~τ × ~n] = 0,+~n×Fx∂Z 4∂Z 2∂t2x2∂ YρS 2 = T Y ′′ − EIyy Y ′′′′ .(9.10)∂t ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ñòåðæíÿ óðàâíåíèåì (9.10) äîïóñêàåòñÿíåïðåðûâíûé ñïåêòð âîëí ñ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåìρSω 2 = T k2 + EIyy k4 .(9.11)èñ. 3.6: Êîíöû ñòåðæíåé. ñëó÷àå ñòåðæíÿ êîíå÷íîé äëèíû ñïåêòð êîëåáàíèé áóäåòäèñêðåòíûì è çàâèñÿùèì îò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà êîíöàõ.
Òàêêàê óðàâíåíèå (9.10) ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî Z , òî íóæíî ÷åòûðåãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ (ïî äâà íà êàæäîì êîíöå), íàïðèìåðçàäåëàííûé êîíåö (ðèñ. 3.6, a):øàðíèð (ðèñ. 3.6, á):Y = 0,Y = 0,ñâîáîäíûé êîíåö (ðèñ. 3.6, â):′′Y = 0,Y ′ = 0;′′Y = 0;Y′′′= 0.(9.12)(9.13)(9.14)Óñëîâèÿ íà âòîðûå ïðîèçâîäíûå â (9.13) è (9.14) ïîëó÷àþòñÿ èçðàâåíñòâà íóëþ ìîìåíòà óïðóãèõ ñèë (8.9) íà êîíöå. Óñëîâèå íàòðåòüþ ïðîèçâîäíóþ ñëåäóåò, â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.6), èç îòñóòñòâèÿ~ íà ñâîáîäíîì êîíöå.óïðóãîé ñèëû F1543.10 Óñòîé÷èâîñòü ñòåðæíåé (ïî Ýéëåðó)Íàéäåì, êàêóþ ñæèìàþùóþ íàãðóçêó ìîæåò âûäåðæàòü òîíêèéñòåðæåíü, íå èçãèáàÿñü â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè Y è íå ëîìàÿñü(ðèñ.
3.7). Î÷åâèäíî, ïðÿìîé ñòåðæåíü (Y (Z) ≡ 0) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ ðàâíîâåñèÿ (9.10) ñ íóëåâîé ëåâîé ÷àñòüþ. Ïðè ìàëîéñæèìàþùåé ñèëå F ýòî ðàâíîâåñèå áóäåò óñòîé÷èâûì, òî åñòü, ïðèíåáîëüøîì èçãèáå ñòåðæíÿ óïðóãèå ñèëû áóäóò âîçâðàùàòü åãî âïðÿìîå ñîñòîÿíèå. Ïðè áîëüøîé ñèëå ðàâíîâåñèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì, è ñëó÷àéíî âîçíèêøèé èçãèá ñòåðæíÿ áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ.ðàíèöåé ìåæäó óñòîé÷èâûì è íåóñòîé÷èâûì ðàâíîâåñèåì ÿâëÿåòñÿ áåçðàçëè÷íîå ðàâíîâåñèå. Ìèíèìàëüíàÿ ñèëà Fêð , ïðè êîòîðîé âîçìîæíî áåçðàçëè÷íîå ðàâíîâåñèå ñòåðæíÿ, è áóäåò èñêîìîé.ZFZYZ-Fèñ. 3.7: Ê çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè ñòåðæíÿ.Ïðè áåçðàçëè÷íîì ðàâíîâåñèè óðàâíåíèå (9.10) ñ T = −F èìååò ñòàöèîíàðíîå íåíóëåâîå ðåøåíèå:F Y ′′ + EIyy Y ′′′′ = 0,Y (Z) 6≡ 0.(10.1)Îáùèé âèä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10.1)Y = a + bZ + c sin kZ + d cos kZ,k=sF.EIyy(10.2)×åòûðå ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ íà äâóõ êîíöàõ ñòåðæíÿ äàþò ÷åòûðåóðàâíåíèÿ íà ïîñòîÿííûå êîýèöèåíòû a, b, c, d.
Ýòà îäíîðîäíàÿ155ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîëüêî ïðè äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ k , ìèíèìàëüíîå èç êîòîðûõ kmin è îïðåäåëÿåòêðèòè÷åñêóþ ñèëó2Fêð = EIyy kmin.(10.3)Íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå Y (Z), ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé ñèëå, îïðåäåëÿåò, êàêèì îáðàçîì ñòåðæíþ ëåã÷å âñåãî èçîãíóòüñÿ ïðè çàäàííîì ñïîñîáå êðåïëåíèÿ.3.11 Êðó÷åíèå ñòåðæíåéÇàäà÷à î êðó÷åíèè òîíêîãî ñòåðæíÿ èìååò ïðîñòîå ðåøåíèå òîëüêî äëÿ îñåñèììåòðè÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ýòîò ñëó÷àé ìû è ðàññìîòðèì.Ïóñòü ñïëîøíîé êðóãëûé ñòåðæåíü ðàäèóñà a ïðèêëååí ñ òîðöîâê ïëîñêîïàðàëëåëüíûì ïëàñòèíàì è çà ñ÷åò èõ îòíîñèòåëüíîãîâðàùåíèÿ äåîðìèðóåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî êàæäûé åãî ñëîéïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë ϕ(z) âîêðóã îñè ñèñòåìû (ðèñ. 3.8, a).
àññìîòðèì ñëîé z = dz , ðàñïîëîæåííûé áëèçêî (â ïðåäåëå áåñêîíå÷íî áëèçêî) ê ñå÷åíèþ z = 0, êîòîðîå ñ÷èòàåì íåïîäâèæíûì. Äëÿíåãîϕ(dz) = τ dz,(11.1)ãäå âåëè÷èíàdϕ(11.2),dzõàðàêòåðèçóþùàÿ äåîðìàöèþ, íàçûâàåòñÿ óãëîì êðó÷åíèÿ. Ñìåùåíèå ýëåìåíòîâ ñëîÿ ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïîâîðîòå îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé~u = [τ dz ~ez × ~r](11.3)τ=èëèux = −τ dz y,uy = −τ dz x,uz = 0.(11.4)Çàìåòèì, ÷òî ïðè êðó÷åíèÿ ñòåðæíÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ èçíà÷àëüíî ïëîñêèå ïîïåðå÷íûå ñëîè, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåñòàþò áûòü156ïëîñêèìè, è ïîÿâëÿþòñÿ ïðîäîëüíûå ñìåùåíèÿ uz (x, y). Äëÿ êðóãëûõ æå ñòåðæíåé ïðîäîëüíûå ñìåùåíèÿ çàïðåùåíû ñèììåòðèåéçàäà÷è.zZMz(z+Dz)Mz(z)dzбаèñ. 3.8: Ê çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè ñòåðæíÿ.Ïî îïðåäåëåíèþ òåíçîðà äåîðìàöèè (1.4) èç âûðàæåíèé(11.4) íàõîäèì00−τ y/2uαβ = 00τx (11.5)−τ y/2 τ x/20è èç çàêîíà óêà (3.4) ïîëó÷àåì, ÷òî â òåíçîðå íàïðÿæåíèé îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî ÷åòûðå êîìïîíåíòû:σxz = σzx = 2µuxz = −µτ y,σyz = σzy = 2µuyz = µτ x.
(11.6)~ k ~z äåéñòâóåò ñèÑîîòâåòñòâåííî, íà ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó dSëàdfα = σαβ dSβ = σαz dS.(11.7)Ñäâèãîâûå íàïðÿæåíèÿ (11.6) ñîçäàþò ìîìåíò óïðóãèõ ñèë,157èìåþùèé òîëüêî z -êîìïîíåíòó:Z hZai Z~Mz =~r × df = (xσyz − yσxz )dS = (x2 + y 2 )µτ 2πr drSS=ÇäåñüIzz = ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ,Z04πµτ a2= µτ Izz = Cτ. (11.8)r 2 dSC = Mz /τ(11.9)(11.10) òàê íàçûâàåìàÿ êðóòèëüíàÿ æåñòêîñòü, ìåðà ïîäàòëèâîñòèñòåðæíÿ ñêðó÷èâàþùèì óñèëèÿì.
Äëÿ íåñïëîøíîãî ñòåðæíÿ(òðóáû) âûðàæåíèå äëÿ Izz áóäåò äðóãèì, íî ñâÿçüC = µIzz(11.11)îñòàíåòñÿ.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñòåðæåíü íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, è âðàùàþùèå ìîìåíòû, äåéñòâóþùèå íà ñëîé òîëùèíû ∆zñâåðõó è ñíèçó, íå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà (ðèñ. 3.8, á). Ïîä èõäåéñòâèåì óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñëîÿ Ω áóäåò ìåíÿòüñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþ∂ΩI= Mz (z + ∆z) − Mz (z),(11.12)∂tãäå I = ρIzz ∆z ìîìåíò èíåðöèè ñëîÿ, ρ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ.Ïåðåõîäÿ ê áåñêîíå÷íî òîíêîìó ñëîþ, ïîëó÷àåì∂2ϕ∂ΩC ∂τµ ∂2ϕ==∆z =.∂t2∂tI ∂zρ ∂z 2(11.13)Òàêèì îáðàçîì, âðàùàòåëüíûå äåîðìàöèè îïèñûâàþòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì2∂2ϕ2∂ ϕ=c(11.14)t∂t2∂z 2158è áåãóò âäîëü ñòåðæíÿ ñ ïîïåðå÷íîé ñêîðîñòüþ çâóêà (6.9).
Äëÿðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ, î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî τ (z) = onst.159ÏðèëîæåíèeÄèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðûâ öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõðàäèåíò:(∇f )r =∂f,∂r1 ∂f,r ∂ϕ(∇f )ϕ =(∇f )z =Äèâåðãåíöèÿ:~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aϕ + ∂Az .div Ar ∂rr ∂ϕ∂zîòîð:~ = 1 ∂Az − ∂Aϕ ,rot Ar ∂ϕ∂zr∂A∂Arz~ =−,rot Aϕ∂z∂r~ = 1 ∂ (rAϕ ) − 1 ∂Ar .rot Azr ∂rr ∂ϕËàïëàñèàí ñêàëÿðà:1 ∂△f =r ∂r∂fr∂r+1601 ∂2f∂2f+.r 2 ∂ϕ2∂z 2∂f.∂zËàïëàñèàí âåêòîðà:~ = △Ar − 2 ∂Aϕ − Ar ,△Ar 2 ∂ϕr2r~ = △Aϕ + 2 ∂Ar − Aϕ ,△Ar 2 ∂ϕr2ϕ~ = △Az .△Az~ B~:Êîìïîíåíòû (A∇)~ B~ = Ar ∂Br + Aϕ ∂Br + Az ∂Br − Aϕ Bϕ ,(A∇)∂rr ∂ϕ∂zrrA∂BA∂B∂Bϕϕϕϕϕ Br~ B~++ Az+,= Ar(A∇)∂rr ∂ϕ∂zrϕ~ B~ = Ar ∂Bz + Aϕ ∂Bz + Az ∂Bz .(A∇)∂rr ∂ϕ∂zzÄèâåðãåíöèÿ òåíçîðà:∂TαβTϕϕ1 ∂1 ∂Tϕr∂Tzr=(rTrr ) ++−,∂xα rr ∂rr ∂ϕ∂zr∂Tαβ1 ∂1 ∂Tϕϕ ∂Tzϕ Tϕr=(rTrϕ ) +++,∂xα ϕr ∂rr ∂ϕ∂zr∂Tαβ1 ∂1 ∂Tϕz∂Tzz=(rTrz ) ++.∂xα zr ∂rr ∂ϕ∂zÄèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðûâ ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõðàäèåíò:(∇f )r =∂f,∂r(∇f )θ =1 ∂f,r ∂θ161(∇f )ϕ =1 ∂f.r sin θ ∂ϕÄèâåðãåíöèÿ:~=div A1 ∂ 21 ∂1 ∂Aϕ(r Ar ) +(sin θ Aθ ) +.2r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕîòîð:1 ∂1 ∂Aθ(sin θ Aϕ ) −,r sin θ ∂θr sin θ ∂ϕr~ = 1 ∂Ar − 1 ∂ (rAϕ ),rot Ar sin θ ∂ϕr ∂rθ~ = 1 ∂ (rAθ ) − 1 ∂Ar .rot Ar ∂rr ∂θϕËàïëàñèàí ñêàëÿðà:1 ∂1∂∂f1∂2f2 ∂f△f = 2r+ 2sin θ+ 2 2.r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2~ =rot AËàïëàñèàí âåêòîðà:2 ∂Aϕ~ = △Ar − 2Ar − 2 ∂Aθ − 2 tg θAθ −△A,2222rr ∂θrr sin θ ∂ϕr~ = △Aθ + 2 ∂Ar − Aθ − 2 cos θ ∂Aϕ ,△Aθr 2 ∂θr 2 sin2 θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2 cos θ ∂Aθ2 ∂Ar~ = △Aϕ − Aϕ +△A+ 2 2.222ϕr sin θ r sin θ ∂ϕr sin θ ∂ϕ~ B~:Êîìïîíåíòû (A∇)~ B~ = Ar ∂Br + Aθ ∂Br + Aϕ ∂Br − Aθ Bθ + Aϕ Bϕ ,(A∇)∂rr ∂θr sin θ ∂ϕrrA∂BA∂B∂Bϕθθθθ~ B~ = Ar(A∇)+++∂rr ∂θr sin θ ∂ϕθAθ Br − tg θAϕ Bϕ+,r∂Bϕ Aθ ∂BϕAϕ ∂Bϕ~ B~(A∇)= Ar+++∂rr ∂θr sin θ ∂ϕϕAϕ Br + tg θAϕ Bθ.+r162Äèâåðãåíöèÿ òåíçîðà:∂Tαβ1 ∂1 ∂(sin θ Tθr )+= 2 (r 2 Trr ) +∂xα rr ∂rr sin θ ∂θTθθ + Tϕϕ1 ∂Tϕr+−,r sin θ ∂ϕr∂Tαβ1 ∂1 ∂(sin θ Tθθ )+= 2 (r 2 Trθ ) +∂xα θr ∂rr sin θ ∂θ1 ∂TϕθTθr − tg θ Tϕϕ+,+r sin θ ∂ϕr∂Tαβ1 ∂ 21 ∂=(r Trϕ ) +(sin θ Tθϕ )+∂xα ϕ r 2 ∂rr sin θ ∂θ+1 ∂Tϕϕ Tϕr + tg θ Tϕθ+.r sin θ ∂ϕr163.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
