1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïðè ñîâïàäåíèè æå ÷àñòîòû ω∗ ñ ÷àñòîòîéîñöèëëÿòîðà ±ω0 ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå èìååò íåèíòåãðèðóåìóþ îñîáåííîñòü ïðè ω = ±ω0 . Òàêèì îáðàçîì,(0,ω∗ 6= ±ω0 ,Im ε(ω∗ ) =(14.13)±∞, ω∗ = ±ω0 ,ïîýòîìó åñòåñòâåííî èñêàòü ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè â âèäå ñóììû äåëüòà-óíêöèé:Im ε(ω) = A0 δ(ω − ω0 ) − A0 δ(ω + ω0 ).35(14.14)Êîýèöèåíòû A0 â ýòîì âûðàæåíèè âûáðàíû îäèíàêîâûìè, ÷òîáû îáåñïå÷èòü íå÷åòíîñòü óíêöèè Im ε(ω). Ïðè ïîìîùè (14.7)íàõîäèìZ∞−∞πωp2A0A0Im ε(ω)dω =+=− 2,ω − ω∗ω∗ − ω0 ω∗ + ω0ω∗ − ω02A0 =πωp2.2ω0(14.15)(14.16)Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îòâå÷àåò çà çàòóõàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â òàêîéñðåäå.
Òàêèì îáðàçîì, ãàç îñöèëëÿòîðîâ ïîãëîùàåò âîëíó òîëüêîíà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå ω0 .1.15 Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â ñðåäàõñ ÷àñòîòíîé äèñïåðñèåéÏóñòü íà ïîëóïðîñòðàíñòâî, çàïîëíåííîå ñðåäîé ñ ïðîíèöàåìîñòüþ (13.1) (ðèñ. 1.8, a), ïàäàåò ïî íîðìàëè ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ñ ðåçêèì ïåðåäíèì ðîíòîì, òàê ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàãðàíèöå (ïðè x = 0)0,t < 0,E0 (t) =(15.1)−iωt−δt0Ae,t > 0.Ñëàáîå çàòóõàíèå δ > 0 (δ → 0) çäåñü ââåäåíî â îðìóëó äëÿòîãî, ÷òîáû â äàëüíåéøåì èçáåæàòü íåîïðåäåëåííîñòåé ïðè èíòåãðèðîâàíèè.
Íàéäåì â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, êàê ýòà âîëíà áóäåòðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ñðåäå.Çàìåòèì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âåëè÷èíà äåéñòâèòåëüíàÿ.Åãî çàïèñü ïðè ïîìîùè êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòû ïîäðàçóìåâàåò,÷òî ó âûðàæåíèÿ (15.1) íàäî âçÿòü äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, õîòÿñàìà îïåðàöèÿ âçÿòèÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè îáû÷íî îïóñêàåòñÿ.36èñ. 1.8: åîìåòðèÿ çàäà÷è (à), çàìûêàíèå êîíòóðîâ èíòåãðèðîâàíèÿ (á).Ïîñêîëüêó âñå äàëüíåéøèå ìàòåìàòè÷åñêèå äåéñòâèÿ, êîòîðûå ìûáóäåì ïðîèçâîäèòü ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è êîììóòèðóþò ñ âçÿòèåì äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè, òî ìîæíîýòó îïåðàöèþ (Re ) äåðæàòü â óìå.
Áóäåì ñ÷èòàòü êîýèöèåíòA êîìïëåêñíûì, ÷òî ïîçâîëèò åäèíîîáðàçíî îïèñàòü ðàçíûå íà÷àëüíûå àçû âîëíû (ðèñ. 1.9).E00E0t0аtбèñ. 1.9: Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà ãðàíèöå ñðåäû ïðè äåéñòâèòåëüíîì êîýèöèåíòå A (à) è ïðè ÷èñòî ìíèìîì (á).Ñòàíäàðòíûé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ E(x, t) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.37Íà ãðàíèöå ìû ðàçëàãàåì ïîëå íà ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèåâîëíû, íàõîäèì çàêîí ðàñïðîñòðàíåíèÿ îòäåëüíîé ãàðìîíèêè âñðåäå, ïîñëå ÷åãî èíòåãðèðîâàíèåì ñîáèðàåì èç ãàðìîíèê ïîëíîå ïîëå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.Àìïëèòóäû îòäåëüíûõ ãàðìîíèê E(ω) ïîëó÷àåì ïðåîáðàçîâàíèåìÔóðüå ïî âðåìåíè:1E(ω) = √2πZ∞Ae−iω0 t−δt eiωt dt = √0iA.2π(ω − ω0 + iδ)(15.2)Ïîëå îòäåëüíîé ãàðìîíèêèE(x, t) = E(ω) eik(ω)x−iωt ,(15.3)ãäå k(ω) çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí,k(ω) =ωpε(ω).c(15.4)E(ω) eik(ω)x−iωt dω.(15.5)Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó (âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ïîëÿ â íåêîòîðîé òî÷êå çàäàíà), òî ÷àñòîòà ω äåéñòâèòåëüíà, à k ìîæåò ïðèíèìàòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ. Ïîëíîå ïîëåïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì (15.3):1E(x, t) = √2πZ∞−∞Êàê âèäíî èç (15.2), íàèáîëüøèé âêëàä â èíòåãðàë (15.5) äàþòãàðìîíèêè ñ ω ≈ ω0 , ÷òî ïîçâîëÿåò ðàçëîæèòü k(ω) â ðÿä âáëèçèýòîé òî÷êè:dkω − ω0(ω − ω0 ) + .
. . ≈ k0 +,dωvgdωk0 = k(ω0 ),vg =.dkk(ω) = k(ω0 ) +38(15.6)Ñëåäîâàòåëüíî,iAE(x, t) ≈2πZ∞−∞eik0 x−iω0 t dω i(ω−ω0 )(x/vg −t).eω − ω0 + iδ(15.7)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (15.7) çàìêíåì êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè (ðèñ. 1.8, á), ïðè÷åì ïðè x > vg têîíòóð çàìûêàåòñÿ ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü, à ïðè x < vg t ÷åðåç íèæíþþ, ÷òîáû âêëàä â èíòåãðàë îò ïîëóîêðóæíîñòèñòðåìèëñÿ ê íóëþ çà ñ÷åò ýêñïîíåíöèàëüíîé ìàëîñòè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ. Èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó ëåãêîâû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç âû÷åòû.
Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿàíàëèòè÷íà â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è èìååò ïðîñòîé ïîëþñ âíèæíåé (ïðè ω = ω0 − iδ), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìx > vg t :E(x, t) = 0;x < vg t :E(x, t) =(15.8)iA ik0 x−iω0 t(−2πi) e−δ(x/vg −t) ≈e2π≈ Aeik0 x−iω0 t .(15.9)Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ó÷åò âòîðîé ïðîèçâîäíîé d2 k/dω 2 â (15.6)äàåò ðàñïëûâàíèå ïåðåäíåãî ðîíòà âîëíû (ðèñ. 1.10).èñ. 1.10: Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà è ïðåäâåñòíèê â ñðåäå ñ ÷àñòîòíîé äèñïåðñèåé.391.16 ÏðåäâåñòíèêÅñëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íà ãðàíèöå ñðåäû âêëþ÷àåòñÿ ñêà÷êîì (êàê â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå), òî â åãî ñïåêòðå ïðèñóòñòâóþòãàðìîíèêè ñ áîëüøèìè ÷àñòîòàìè, äëÿ êîòîðûõ ε(ω) → 1.
Âûñîêî÷àñòîòíûå ãàðìîíèêè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ñðåäå ñî ñêîðîñòüþñâåòà è îáðàçóþò ïðåäâåñòíèê êîðîòêèé ýëåêòðîìàãíèòíûé èìïóëüñ, êîòîðûé áåæèò ïåðåä ïåðåäíèì ðîíòîì îñíîâíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà (ðèñ. 1.10). àññìîòðèì ýòî ÿâëåíèå êîëè÷åñòâåííî. ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí óíêöèÿ k(ω), êàê è ε(ω),àíàëèòè÷íà â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåìïîäíÿòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ â (15.5) òàê, ÷òîáû îí âñþäó ïðîõîäèë ïî îáëàñòè áîëüøèõ ÷àñòîò, ãäå âåðíà àñèìïòîòèêà (6.5)(ðèñ. 1.11, à). Ïðè áîëüøèõ ω èìååìs!ωp2ωp2ωωk(ω) ≈1− 2 ≈1− 2 ,(16.1)cωc2ωèñ.
1.11: Âèäîèçìåíåíèÿ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â çàäà÷å îïðåäâåñòíèêå.40îòêóäàiAE(x, t) =2πZCdωexpω − ω0 + iδiωxcωp21− 22ω!!− iωt .Ìàëàÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ ω ) äîáàâêà â çíàìåíàòåëå îòâå÷àåò çà îñíîâíîé èìïóëüñ. Îäíàêî, ïîñêîëüêó íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóåò òîëüêîïðåäâåñòíèê, ïðåíåáðåæåì åé:!Zx ixω 2iAdωpE(x, t) =exp iω−t −.(16.2)2πωc2ωcCÏîâåäåíèå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïðè óäàëåíèè îò äåéñòâèòåëüíîé îñè îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âûðàæåíèÿ x/c − t, ñòîÿùåãî â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû. Ïðè x > ct ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ïðè óäàëåíèè îò äåéñòâèòåëüíîéîñè ââåðõ, ïîýòîìóE(x, t) = 0,x > ct.(16.3)Ïðè x < ct ýêñïîíåíòà ìàëà â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, ïîòîìó èíòåãðàë (16.2) íå èçìåíèòñÿ, åñëè êîíòóð C çàìêíóòü ÷åðåç íèæíþþ ïîëóïëîñêîñòü ïî áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè (ðèñ.
1.11, à). Çàìêíóòûé êîíòóð, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâåäåì ê îêðóæíîñòè ðàäèóñà R (ðèñ. 1.11, á):ω = Reiϕ ,iAE(x, t) =2πdω = iReiϕ dϕ,!Z−πiR(ct − x) iϕ ixωp2 −iϕi dϕ exp −e −e.c2Rc(16.4)(16.5)πÄëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (16.5) âûáåðåìsxωp2R=.2(ct − x)41(16.6)ÒîãäàAE(x, t) =2πZπ−πiωp pexp −2x(ct − x) cos ϕ dϕ.cÝòîò èíòåãðàë âûðàæàåòñÿ ÷åðåç óíêöèþ Áåññåëÿ:Zπ1e−iα cos ϕ dϕ = J0 (α),2π(16.7)(16.8)−πω pp2x(ct − x) .(16.9)cÇàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó ðàäèóñ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ R äîëæåí áûòü áîëüøèì, îðìóëà (16.9) ïðèìåíèìà òîëüêî ïðè x ≈ ct.E(x, t) = AJ0èñ.
1.12: Ôîðìà ïðåäâåñòíèêà.Èòàê, ïåðåä âîëíîâûì ïàêåòîì ñ ðåçêèì (ïî ñðàâíåíèþ ñî âðåìåíåì ωp−1 ) ïåðåäíèì ðîíòîì ìîæåò ïîÿâèòñÿ ïðåäâåñòíèê êîðîòêèé íåïåðèîäè÷åñêèé èìïóëüñ, áåãóùèé ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà(ðèñ. 1.12). Åñëè ïîëå âîëíîâîãî ïàêåòà íàðàñòàåò ïëàâíî (àìïëèòóäà A ÷èñòî ìíèìàÿ), òî ïðåäâåñòíèêà íå âîçíèêàåò.1.17 Ñâÿçü òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòè ñ îáû÷íûìè ε, µ è σÏðè íåáîëüøèõ ÷àñòîòàõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà ñðåäûìîæíî îïèñûâàòü êàê òåíçîðîì äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè,42òàê è îáû÷íûìè ñòàòè÷åñêèìè ε (äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ), µ (ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ) è σ (ïðîâîäèìîñòüþ). Íàéäåì, êàê ýòè äâà ñïîñîáà îïèñàíèÿ ñîîòíîñÿòñÿ ìåæäó ñîáîé.Ïóñòü ñðåäà â íåêîòîðîé îáëàñòè ÷àñòîò õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿííûìè çíà÷åíèÿìè ε, µ è σ . Èç îïðåäåëåíèé ε è µ íàõîäèìâåêòîðû ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè:~ −E~Dε−1~P~ =(17.1)=E,4π4π~~~ = B − H = 1 − 1/µ B~ = µ − 1 B.~M(17.2)4π4π4πµÑ èõ ïîìîùüþ èç îðìóëû~~ + σE~~j = ∂ P + c rot M(17.3)∂tè óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëàhi~~ = c ~k × E(17.4)Bωíàõîäèì óðüå-îáðàç òîêà ñðåäû:hhii2~ + ic (µ − 1) ~k × ~k × E~ + σ E.~~j = −iω ε − 1 E(17.5)4π4πµωÊîýèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó êîìïîíåíòàìè òîêà èýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîñòàâëÿþò òåíçîð ïðîâîäèìîñòè:σαβ =ω(ε − 1)c2 (µ − 1)δαβ −(kα kβ − k2 δαβ ) + σδαβ ,4πi4πiµω(17.6)îòêóäà ñ ïîìîùüþ (3.9) ïîëó÷àåì4πiσ(µ − 1)c2 2δαβ +(k δαβ − kα kβ ).(17.7)ωµω 2Êàê âèäíî, ñðåäà ñ îòëè÷íîé îò åäèíèöû ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ îáëàäàåò ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé, à çíà÷èò, è íåëîêàëüíîñòüþ îòêëèêà íà ïîëå.
Èç âûðàæåíèÿ (17.7) òàêæå ÿñíî,ïî÷åìó òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè íåóäîáåí äëÿ ðåøåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ çàäà÷: îí èìååò ïîëþñ ïðè ω → 0.εαβ = εδαβ +431.18 Äèññèïàöèÿ ýíåðãèè âîëíû~ è âû÷òåì èç íåãî óðàâÓìíîæèì óðàâíåíèå (1.2) ñêàëÿðíî íà B~:íåíèå (1.1), óìíîæåííîå íà E~ rot E~ −E~ rot B~ = − 1 ∂ E 2 + B 2 − 4π (~j + ~jñòîð )E,~B2c ∂tc c hi∂ E2 + B2~ ×B~~ − ~jñòîð E.~+ divE= −~j E(18.1)∂t8π4πÌû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïåðâûé ÷ëåí â ëåâîé ÷àñòè (18.1) ýòî èçìåíåíèå ýíåðãèèïîëÿ â åäèíèöå îáúåìà, âòîðîé ÷ëåí îáóñëîâëåí ïîòîêîì ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè. ×ëåíû â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòâåòñòâóþò ïîãëîùåíèþ ýíåðãèè âîëíû âñëåäñòâèå äèññèïàöèè è ðàáîòå ïîëÿïðîòèâ ñòîðîííåãî òîêà.Âûâåäåì óíèâåðñàëüíóþ îðìóëó äëÿ ñðåäíåé ìîùíîñòè Q,âûäåëÿþùåéñÿ â ñðåäå âñëåäñòâèå äèññèïàöèè âîëíû. Ïî îïðåäåëåíèþ,~Q = h~j Ei,(18.2)ãäå óãëîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî ïåðèîäó. Áóäåì ñ÷èòàòü ÷àñòîòó ω äåéñòâèòåëüíîé, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãðàíè÷íîé çàäà÷å è äåëàåò óñðåäíåíèå ïî ïåðèîäó âîëíû ñòðîãî îïðåäåëåííûììàòåìàòè÷åñêèì äåéñòâèåì.  ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíå1 ~~~ ∗ (ω) eiωt ,E(t)=E(ω) e−iωt + E2~j(t) = 1 ~j(ω) e−iωt + ê.ñ.
,2(18.3)(18.4)ãäå èíäåêñ `∗' îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå, à áóêâû `ê.ñ.' 44êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ñëàãàåìûå. ÎòñþäàQ ===E1 D~~~j ∗ (ω) + ê.ñ. =E(ω) ~j(ω) e−2iωt + E(ω)41 ~~ ∗ (ω) ~j(ω) =E(ω) ~j ∗ (ω) + E4 1 ∗1∗∗Eα σαβEβ∗ + Eα∗ σαβ Eβ =σαβ + σβαEα Eβ . (18.5)44Ïðè âûâîäå îðìóëû (18.5) ìû îïóñòèëè áûñòðîîñöèëëèðóþùèåñëàãàåìûå è ïåðåîáîçíà÷èëè íåêîòîðûå èíäåêñû.Áóäåì îáîçíà÷àòü ýðìèòîâû è àíòèýðìèòîâû ÷àñòè òåíçîðîâèíäåêñàìè `H ' è `A':aHαβ =aαβ + a∗βα,2aAαβ =aαβ − a∗βα,2Aaαβ = aHαβ + aαβ .(18.6)Èç (18.5) ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü äèññèïàöèè âîëíû îïðåäåëÿåòñÿýðìèòîâîé ÷àñòüþ òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè:1 H ∗Q = σαβEα Eβ .2(18.7) ñèëó (3.9) ωεAωαβεαβ − ε∗βα =(18.8)8πi4πiè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìîùíîñòü äèññèïàöèè òàêæå îïðåäåëÿåòñÿàíòèýðìèòîâîé ÷àñòüþ òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè:Hσαβ=Q=−iω A ∗ε E Eβ .8π αβ α(18.9)Ôîðìóëàìè (18.7) è (18.9) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ ñëàáî çàòóõàþùåé âîëíû, îäíàêî îíè, êàê è îïðåäåëåíèå ñðåäíåé ìîùíîñòèäèññèïàöèè, òåðÿþò â ýòîì ñëó÷àå ñâîé ñòðîãèé ñìûñë.451.19 Ýíåðãèÿ âîëíûÏî îïðåäåëåíèþ, ýíåðãèåé âîëíû W ñ÷èòàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäóýíåðãèåé âîçìóùåííîé ñðåäû (ñ âîëíîé) è ýíåðãèåé íåâîçìóùåííîé ñðåäû (áåç âîëíû).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
