1625915574-4362de40da922d5d2d7a7428962f5d14 (843949), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.4. Èñïîëüçóåòñÿ ñïîñîáíîñòü îäíîîñíîãî êðèñòàëëàèçìåíÿòü ïîëÿðèçàöèþ ñâåòà ñ ëèíåéíîé íà êðóãîâóþ è îáðàòíî.Ïîëÿðèçàöèîííûå èëüòðû (ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð) íàõîäÿòñÿ â ñêðåùåííîì ïîëîæåíèè, ïîòîìó â îòñóòñòâèå ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå ñâåò ÷åðåç ñèñòåìó íå ïðîõîäèò. Ïðè âêëþ÷åíèè ïîëÿíàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè ìåíÿåòñÿ íà ïåðïåíäèêóëÿðíîå, è àíàëèçàòîð ïðîïóñêàåò ñâåò.1.12 Ìàãíèòîîïòè÷åñêèå ýåêòûàññìîòðèì èñòèííî èçîòðîïíóþ ñðåäó áåç ïðîñòðàíñòâåííîé äèñ~ 0.ïåðñèè, ïîìåùåííóþ âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå BÂíåøíåå ïîëå çàäàåò âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå, ïîýòîìó òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû ïðèíèìàåò âèäB0α B0βB0α B0βB0γεαβ = ε⊥ δαβ −+ εk+ igeαβγ,(12.1)22B0B0B0ïðè÷åì êîýèöèåíò g íå çàíóëÿåòñÿ èç ñîîáðàæåíèé çåðêàëü~ 0 ïñåâäîâåêòîð (íå ìåíÿåò çíàêà ïðèíîé ñèììåòðèè, òàê êàê B27îòðàæåíèè).èñ.
1.5: Ïîâîðîò ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè âî âíåøíåì ìàãíèòíîìïîëå (à) è â ñðåäå ñ åñòåñòâåííîé îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòüþ (á). êðóæêàõ ïîêàçàíà îðèåíòàöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû âïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ~k .Åñëè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî âíåøíåìó ïîëþ~~ 0 ), òî íàøà çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å î åñòåñòâåííîé îï(k k Bòè÷åñêîé àêòèâíîñòè (òåíçîð (12.1) ïðèíèìàåò òîò æå âèä). Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èìåþò â ñðåäå êðóãîâóþ ïîëÿðèçàöèþ ñ íåñêîëüêî ðàçëè÷íûìè àçîâûìè ñêîðîñòÿìè, ÷òîè ïðèâîäèò ê âðàùåíèþ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà.
Ýòîò ýåêò (âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïðè íàëîæåíèè ïðîäîëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ) íàçûâàåòñÿ ýåêòîì Ôàðàäåÿ (M. Faraday, 1845). Íàïðàâëåíèå àðàäååâñêîãî~ 0 , ïîýòîìó ïðè ïðîâðàùåíèÿ çàâèñèò îò çíàêà ïðîèçâåäåíèÿ ~k Bõîæäåíèè ñðåäû òóäà è îáðàòíî óãëû ïîâîðîòà ñêëàäûâàþòñÿ(ðèñ. 1.5, à).
Èíàÿ ñèòóàöèÿ áóäåò â ñëó÷àå åñòåñòâåííîé îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè. Ïîñêîëüêó íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òîïîñëå ïðîõîæäåíèè ñðåäû òóäà è îáðàòíî ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà áóäåò ïðåæíåé (ðèñ.
1.5, á).Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ïî÷òè ïîïåðåê âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñðåäà âåäåò ñåáÿ êàê îäíîîñíûé êðèñòàëë. Ýòîò ýåêòíàçûâàåòñÿ ýåêòîì Êîòòîíà Ìóòîíà (A. Cotton, H. Mouton,1907). Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå~k k ~x~ 0,~z k B28(12.2)èìååìω2ε⊥c2ω2−i 2 gcω2c20ω2i 2gc0ε⊥ − k20îòêóäà íàõîäèì âîëíû: Ex Ey = 0,0ω22Ezε −kc2 kk2 c2= εk ,ω2g2k2 c2=ε−,⊥ω2ε⊥(12.3)Ez 6= 0,~ kB~ 0;E(12.4)Ex , Ey 6= 0,~ ⊥B~ 0.E(12.5) ñëó÷àå ñëàáîãî âíåøíåãî ïîëÿ âîëíà (12.5) ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ïî~ ⊥ ~k):ïåðå÷íîé (E|g| ≪ ε⊥ ∼ 1⇒|Ex | ≪ |Ey |.(12.6)Íàëè÷èå â ñðåäå äâóõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ïîïåðå÷íûõ âîëí ñðàçíûìè àçîâûìè ñêîðîñòÿìè ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ïîëÿðèçàöèè ñâåòà (ñì.
ðèñ. 1.3, á). Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîð~ 0 , òî íàïðàâëåâåêòîð ~k ïî÷òè (íî íå ñòðîãî) ïåðïåíäèêóëÿðåí Bíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí (12.4) è (12.5) íåìíîãî ðàçëè÷àþòñÿ,÷òî ïðèâîäèò ê ýåêòó äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ.1.13 Àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâàäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòèàññìîòðèì ñðåäó ñ ÷àñòîòíîé äèñïåðñèåé è äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþÎáëàñòü àíàëèòè÷íîñòè.εαβ = ε(ω) δαβ .29(13.1)~ (1.12) è ñèëó îïðåäåëåíèé âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè Dîïåðàòîðà ε̂ (3.4) èìååì~E(t)+Zt~4π~j(t ) dt = D(t)=′′−∞Zt−∞~ ′ ) dt′ ,ε(t − t′ ) E(t(13.2)îòêóäà âèäíî, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè äîëæíî ñîäåðæàòü â ñåáå δ-óíêöèþ.
Ââåäåì, ïî îïðåäåëåíèþ, óíêöèþ îòêëèêà ñðåäûτ = t − t′ .(13.3)~ ′ ) dt′ .f (t − t′ ) E(t(13.4)f (τ ) = ε(τ ) − δ(τ ),Òîãäà~~D(t)= E(t)+Zt−∞Çàìåòèì, ÷òî óíêöèÿ f (τ ) äåéñòâèòåëüíà (ñâÿçûâàåò äåéñòâè~ è E~ ) è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðèòåëüíûå èçè÷åñêèå âåëè÷èíû D~ èç äàëåêîãî ïðîøëîãî ñëàáîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà (ïîëå Eáî âëèÿåò íà òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû). Ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè èç (13.3) ïîëó÷àåìε(ω) = 1 +Z∞f (τ ) eiωτ dτ.(13.5)0Èíòåãðàë â (13.5) çàâåäîìî ñõîäèòñÿ ïðè Im ω > 0, ïðè÷åì, â ñèëó ñâîéñòâ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, ε(ω) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîéóíêöèåé â îáëàñòè ñõîäèìîñòè.×åòíîñòü.
Èç îðìóëû (13.5) ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóåòε(−ω) = ε∗ (ω ∗ ).(13.6) ÷àñòíîñòè, íà ìíèìîé ïîëóîñè Im ω > 0 óíêöèÿ ε(ω) ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Íà äåéñòâèòåëüíîé îñèRe ε(−ω) = Re ε(ω),Im ε(−ω) = −Im ε(ω).30(13.7)Ôóíêöèÿ ε(ω) â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðèíèìàåò êàæäîå âåùåñòâåííîå çíà÷åíèå íå áîëåå îäíîãî ðàçà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà âû÷èñëèì èíòåãðàëZdε dω1I=,a∈R(13.8)2πidω ε − aÂåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Cïî êîíòóðó C (ðèñ. 1.6, à), ïðîõîäÿùåìó íàä âåùåñòâåííîé îñüþω è çàìûêàþùåìóñÿ ÷åðåç êîìïëåêñíóþ áåñêîíå÷íîñòü.  ñèëóïðèíöèïà àðãóìåíòà èíòåãðàë I ðàâåí ðàçíîñòè ìåæäó ÷èñëîì íóëåé è ÷èñëîì ïîëþñîâ çíàìåíàòåëÿ ε(ω)−a âíóòðè êîíòóðà C . Ïîñêîëüêó âíóòðè C óíêöèÿ ε(ω) àíàëèòè÷íà è íå èìååò ïîëþñîâ,òî ÷èñëî I ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç ε(ω) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå a.èñ. 1.6: Ñîîòâåòñòâèå êîíòóðîâ èíòåãðèðîâàíèÿ íà ïëîñêîñòèêîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ω (à) è ε (á).Äëÿ âû÷èñëåíèÿ I ïåðåéäåì ê ïåðåìåííîé ε:Z1dεI=.2πiε−a(13.9)C′Êîíòóðíà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ε (ðèñ.
1.6, á)ïðîõîäèò ÷åðåç åäèíèöó ïðè ω = ∞ è ÷åðåç ε(0) ïðè ω = 0. Ó÷àñòîê C ′ , ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè äåéñòâèòåëüíîé îñè ω è îáîçíà÷åííûé '+', áóäåò ëåæàòü â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ïîñêîëüêó â ñðåäå âñåãäà åñòü äèññèïàöèÿ (ïóñòü äàæå î÷åíüC′31ìàëåíüêàÿ), à äëÿ ïîëîæèòåëüíîñòè Q ïðè ω > 0 â ñèëó (18.9)íóæíî Im ε > 0. Îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóîñü ω â ñèëó (13.7) ïåðåéäåòâ ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè ε ó÷àñòîê êîíòóðà C ′ (îáîçíà÷åííûé '').
Íàïðàâëåíèå îáõîäà C ′ áóäåò òàêèì,êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.6, á.Êîíòóð C ′ ïåðåñåêàåò äåéñòâèòåëüíóþ îñü òîëüêî â äâóõ òî÷êàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè a ∈ (1, ε(0)), òî âíóòðè C ′ ïîÿâëÿåòñÿîäèí ïðîñòîé ïîëþñ I = 1 è äåéñòâèòåëüíîå çíà÷åíèå a ïðèíèìàåòñÿ îäèí ðàç.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ε(ω) íå ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ aâ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé ω .Èç äîêàçàííîé òåîðåìû, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ε(ω) ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ òîëüêî íà ìíèìîé ïîëóîñèIm ω > 0, ïðè÷åì ìîíîòîííî óáûâàåò íà íåé îò ε(0) äî 1.1.14 Òåîðåìà Êðàìåðñà ÊðîíèãàÀíàëèòè÷åñêóþ óíêöèþ ìîæíî ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü ïî ååäåéñòâèòåëüíîé èëè ìíèìîé ÷àñòè.
Ïðèìåíèòåëüíî ê äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïî äèñïåðñèè âîëíû(îïðåäåëÿåìîé Re ε) ìîæíî íàéòè äåêðåìåíò åå çàòóõàíèÿ (âûðàæàþùèéñÿ ÷åðåç Im ε) è íàîáîðîò.èñ. 1.7: Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Êðàìåðñà Êðîíèãà (êîíòóðèíòåãðèðîâàíèÿ).Ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå îðìóëû äëÿ ñðåäû ñ äèýëåêòðè32÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ (13.1), ïðè÷åì áóäåì ñ÷èòàòü ε(ω) àíàëèòè÷åñêîé òàêæå è íà äåéñòâèòåëüíîé îñè (ïðè Im ω ≥ 0). Âûáåðåìω0 ∈ R è âû÷èñëèì èíòåãðàëZε(ω) − 1dω(14.1)ω − ω0Cïî êîíòóðó C (ðèñ. 1.7). Ïîñêîëüêó âíóòðè êîíòóðà ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå àíàëèòè÷íî, ýòîò èíòåãðàë ðàâåí íóëþ.
Ñ äðóãîéñòîðîíû,ωZ0 −ρ ZZZZR= ++ +,(14.2)CxR−Ryρω0 +ρïðè÷åì èíòåãðàë ïî áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè â ñèëó àñèìïòîòèêè (6.5) çàíóëÿåòñÿ:ZxRε(ω) − 1dω = −ω − ω0Zωp2dω −−−−→ 0,R→∞ω3(14.3)xRèíòåãðàë ïî ìàëîé ïîëóîêðóæíîñòè ñâîäèòñÿ ê ïîëóâû÷åòó:Zε(ω) − 1ε(ω) − 1dω = −πi Res= −πi ε(ω0 ) − 1 ,(14.4)ω − ω0ω − ω0yρà èíòåãðàëû ïî ó÷àñòêàì äåéñòâèòåëüíîé îñè îáúåäèíÿþòñÿ âîäèí èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì,Z∞−∞ε(ω) − 1dω = πi ε(ω0 ) − 1 ,ω − ω0(14.5)îòêóäà, âçÿâ îòäåëüíî äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåì33îðìóëûZ∞−∞Z∞−∞Re ε(ω) − 1dω = −π Im ε(ω0 ),ω − ω0Im ε(ω)dω = π Re ε(ω0 ) − 1 ,ω − ω0(14.6)(14.7)èçâåñòíûå êàê îðìóëû Êðàìåðñà Êðîíèãà (H. A. Kramers,R.
L. Kronig, 1927). Ôîðìóëû (14.6) è (14.7) ïîçâîëÿþò ïî èçâåñòíîé ìíèìîé ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè íàéòè âåùåñòâåííóþ è íàîáîðîò.Ìíèìàÿ ÷àñòü ε(ω) íå òîëüêî ïîëîæèòåëüíà ïðè ω > 0, íî èíå ìîæåò áûòü ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âî âñåì èíòåðâàëå ÷àñòîò.Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåïèøåì ëåâóþ ÷àñòü (14.7) â âèäåZ∞−∞Z∞Z0Im ε(ω)Im ε(ω)Im ε(ω)dω = dω + dω =ω − ω0ω − ω0ω − ω0−∞0Z∞=0Z∞Z∞Im ε(ω)Im ε(ω)2ω Im ε(ω)dω + dω = dω, (14.8)ω − ω0ω + ω0ω 2 − ω0200ãäå â îäíîì èç èíòåãðàëîâ ìû ñäåëàëè çàìåíó ω → −ω è âîñïîëüçîâàëèñü íå÷åòíîñòüþ Im ε(ω).
Ïðè ω0 → ∞ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ω 2â çíàìåíàòåëå (14.8) è âîñïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòèêîé (6.5):−Z∞0ωp22ω Im ε(ω)dω = −π 2 ,ω02ω0îòêóäà ïîëó÷àåì ïðàâèëî ñóìì:Z∞ω Im ε(ω) dω =034πωp2.2(14.9)Àíàëîãè÷íî ïðè ω0 → 0 èç (14.8) èìååìZ∞0Im ε(ω)πdω =ε(0) − 1 .ω2(14.10)Ôîðìóëû Êðàìåðñà Êðîíèãà è èõ ñëåäñòâèÿ ëåãêî îáîáùèòüíà ñðåäû, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü êîòîðûõ èìååò ïîëþñâ íóëå (ïðîâîäÿùèå ñðåäû). êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ îðìóë Êðàìåðñà Êðîíèãàíàéäåì ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ãàçà îñöèëëÿòîðîâ ïî åå äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè (5.8). Èç (14.6) èìååìZ∞(−ωp2 )1Im ε(ω∗ ) = − dω.π (ω 2 − ω02 )(ω − ω∗ )(14.11)−∞Åñëè ω∗ 6= ±ω0 , òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (14.11) ìîæíîðàçëîæèòü íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè,ωp2ABC=++,ω − ω0 ω + ω0 ω − ω∗(ω 2 − ω02 )(ω − ω∗ )A, B, C ∈ R,(14.12)êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðè èíòåãðèðîâàíèè â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
