1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872)
Текст из файла
Â. È. ËÎÒÎÂÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉÈÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀÑåìåñòðîâûé êóðñ ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà èíôîðìàöèîííûõòåõíîëîãèéÑîäåðæàíèåI.Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé41. Âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà. Îñíîâíûå ôîðìóëû1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.1.8.Äèñêðåòíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . .Êîíòèíóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . .Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî îáùåãî âèäàÍåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ . .
. . . . . . . . . .Ñõåìà Áåðíóëëè . . . . . . . . . . . . . . .Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . . . .Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè . . . . . . . .Ôîðìóëà Áàéåñà . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿÒèïû ðàñïðåäåëåíèé. Ïðèìåðû . . . . .
. . . .Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè . . .Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . .........................................................Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå . . . . . . . . . . . . .Ìîìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äèñïåðñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè . . . . . . .
. . . . . .Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåè ìàòðèöà êîâàðèàöèé . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . .....................................................2. Ðàñïðåäåëåíèÿ2.1.2.2.2.3.2.4.3. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.4. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû4.1.4.2.4.3.4.4.II.Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . .Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë . . . . . . . .
. . . .Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà . . . . .Ïðèáëèæåíèå Ïóàññîíà â ñõåìå Áåðíóëëè................44912141517181920202331353939444446. . . . . . . . . . . . . 48. . . . . . . . . . . . . 49....................................................Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà5151535457605. Ââåäåíèå606. Îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ645.1.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.1.6.2.6.3.6.4.Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòüÌåòîä ìîìåíòîâ . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ . . . . . . . . . .Ñðàâíåíèå îöåíîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2........................................646567707. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû7.1.7.2.7.3.7.4.Íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íîðìàëüíûì . .Ñâîéñòâà âûáîðîê èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ .
. . .Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãîÏîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ñ ïîìîùüþíîðìàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Ïðîâåðêà ãèïîòåç8.1.8.2.8.3.8.4.Ïîñòàíîâêà çàäà÷è, îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . .Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà . . . . .
. . . . . . . . . .Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà . . . . . . . . . .Ïîñòðîåíèå êðèòåðèÿ ñ ïîìîùüþ äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5. Ïðîâåðêà ãèïîòåç â ñëó÷àå äâóõ âûáîðîê . . . . .8.6. Äèñïåðñèîííûé àíàëèç: îäíîôàêòîðíàÿ ìîäåëü .9. Çàäà÷è ëèíåéíîé ðåãðåññèè71. . . . . . . . . 71. . . . .
. . . . 74ðàñïðåäåëåíèÿ 76. . . . . . . . . 7778. . . . . . . . . . . . . 78. . . . . . . . . . . . . 79. . . . . . . . . . . . . 80. . . . . . . . . . . . . 82. . . . . . . . . . . . . 82. . . . . . . . . . . . . 85879.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.3. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû è ïðîâåðêà ãèïîòåç . . . . . . . . . . . . . . . 913Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé×àñòü I.1.1.1.Âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà. Îñíîâíûå ôîðìóëûÄèñêðåòíûå ïðîñòðàíñòâàÄî âîçíèêíîâåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ íàóêè áûëè ÿâëåíèÿ èëè îïûòû, â êîòîðûõ óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòåëþ îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü èñõîä ýêñïåðèìåíòà. Òàê, íàïðèìåð, â õèìèè: åñëè èçâåñòíû âåùåñòâà,âñòóïàþùèå â ðåàêöèþ, èõ ñâîéñòâà, óñëîâèÿ, â êîòîðûõ áóäåò ïðîòåêàòü ðåàêöèÿ,òî îäíîçíà÷íî ìîæíî ïðåäñêàçàòü èñõîä ðåàêöèè.  ìåõàíèêå: åñëè èçâåñòíû ìàññàòåëà, âñå ñèëû, êîòîðûå íà íåãî äåéñòâóþò, êîîðäèíàòû è íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü, òîíåòðóäíî âû÷èñëèòü òðàåêòîðèþ ïîñëåäóþùåãî äâèæåíèÿ.Îäíàêî åñòü ðÿä ÿâëåíèé è ýêñïåðèìåíòîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñëó÷àéíûìè èêîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ íåâîçìîæíîñòüþ ïðåäñêàçàòü èõ èñõîä äî íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.1.
Îäíîêðàòíîå ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû. Çäåñü âîçìîæíû äâà èñõîäà, èõ ïðèíÿòîîáîçíà÷àòü ¾Ã¿ (ãåðá) è ¾Ð¿ (ðåøêà).2. Îäíîêðàòíîå áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè (ò. å. êóáèêà, ó êîòîðîãî íà ãðàíÿõíàíåñåíû ÷èñëà îò 1 äî 6). Çäåñü âîçìîæíû øåñòü èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà: 1, 2, 3, 4, 5, 6.3. Ïîäñ÷åò êîëè÷åñòâà âûçîâîâ, ïðèøåäøèõ â òå÷åíèå ÷àñà íà ÀÒÑ (àâòîìàòè÷åñêóþ òåëåôîííóþ ñòàíöèþ) äëÿ îáñëóæèâàíèÿ. Ïîñòóïèòü ìîæåò ëþáîå ÷èñëî âûçîâîâ: 0, 1, 2, . . . .4. Îïðåäåëåíèå âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà. Èñõîäîì ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæåò áûòü ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èç [0, ∞).5.
Äâèæåíèå áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû íà ïëîñêîñòè â òå÷åíèå ìèíóòû.  ðåçóëüòàòåýòîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæåò îñóùåñòâèòüñÿ ëþáàÿ èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé.Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, êàê è âñÿêàÿ äðóãàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, ñòðîèò èèçó÷àåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü òåõ èëè èíûõ ÿâëåíèé, â äàííîì ñëó÷àå ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.Êàçàëîñü áû, êàêèå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñèòåëüíî ïîäáðàñûâàíèÿ ìîíåòû? Åñëè ïîäáðàñûâàíèå îäíîêðàòíîå, òî, äåéñòâèòåëüíî, ìàëî èíòåðåñíîãî ìîæíî ñêàçàòü. Íî åñëè, ê ïðèìåðó, ïîäáðàñûâàòü ìîíåòó n ðàç è ïîäñ÷èòàòüêîëè÷åñòâî Sn âûïàâøèõ ãåðáîâ, òî îêàæåòñÿ, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè n îòíîøåíèå Sn /nñòðåìèòñÿ ê 1/2. Ýòîò ôàêò áûë çàìå÷åí äàâíî, ìíîãèå èññëåäîâàòåëè ýìïèðè÷åñêèìïóòåì åãî ïåðåïðîâåðÿëè.
Òàê, â îïûòàõ ôðàíöóçñêîãî èññëåäîâàòåëÿ Áþôôîíà ìîíåòà áðîñàëàñü 4 040 ðàç, âûïàëî 2 048 ãåðáîâ, ÷òî ïðèâåëî ê ðåçóëüòàòó Sn /n = 0.507.Àíãëèéñêèé ñòàòèñòèê Ïèðñîí â 24 000 áðîñàíèÿõ ïîëó÷èë 12 012 ãåðáîâ, ïðè ýòîìSn /n = 0.5005.Îáíàðóæåííàÿ çàêîíîìåðíîñòü îäíà èç ïðîñòåéøèõ, îíà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåìòàê íàçûâàåìîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Ýòà è ðÿä äðóãèõ ïðåäåëüíûõ çàêîíîìåðíîñòåé áóäóò èçó÷åíû íàìè ïîçæå.À ïîêà çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Äëÿýòîãî íóæíî âûäåëèòü ó èçó÷àåìûõ ÿâëåíèé îáùèå ÷åðòû è íàäåëèòü èìè ìîäåëü.Ïðè ýòîì íàäî ïîñòàðàòüñÿ îòðàçèòü íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ÷åðòû ðàññìàòðèâàåìûõ4ÿâëåíèé è îòáðîñèòü íåñóùåñòâåííûå.
Ìîäåëü íå äîëæíà áûòü ñëèøêîì ñëîæíîé,èíà÷å èçó÷àòü åå áóäåò çàòðóäíèòåëüíî.Êàêèå æå îáùèå ÷åðòû èìåþòñÿ ó ÿâëåíèé, ðàññìîòðåííûõ â ïðèìåðàõ 1 5?Ó êàæäîãî èç íèõ èìååòñÿ íåêîòîðûé íàáîð âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà. Áóäåì îáîçíà÷àòü åãî ãðå÷åñêîé áóêâîé Ω è íàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ.
Ó êàæäîãî ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà îíî ñâîå ïîä÷åðêíåì ýòî. Åñëè Ωêîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, òî áóäåì íàçûâàòü åãî äèñêðåòíûì. Èç óæå ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ äèñêðåòíûå ïðîñòðàíñòâà ïîÿâëÿþòñÿ â ïåðâûõ òðåõ. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Ωîáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè ω ñ èíäåêñàìè èëè áåç íèõ è íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè. Çàìåòèì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà èñïîëüçîâàíèå ÷àñòî âñòðå÷àþùåãîñÿ âìàòåìàòèêå òåðìèíà ¾ïðîñòðàíñòâî¿, â íàøåì ñëó÷àå Ω âñåãî ëèøü àáñòðàêòíîåìíîæåñòâî (íå îáÿçàòåëüíî ÷èñëîâîé ïðèðîäû), íà ýòîì ìíîæåñòâå íå ââîäÿòñÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ, íåò òàì è îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà.Äàëåå íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïàðàãðàôà ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêîäèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.Ââåäåì ïîíÿòèå ñîáûòèÿ.
Âñå õîðîøî ïðåäñòàâëÿþò ñîáûòèå êàê íå÷òî ìîãóùååïðîèçîéòè èëè óæå ïðîèñõîäÿùåå. Íàì íóæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ýòîãî ¾ïðîèñõîäÿùåãî¿.Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿìè íàçûâàþòñÿ ïðîèçâîëüíûå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω.Îáîçíà÷àòü ðàçíûå ñîáûòèÿ áóäåì áóêâàìè A, B , C, . .
. ñ èíäåêñàìè èëè áåç íèõ.Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñîáûòèå A ⊂ Ω ïðîèçîøëî, åñëè â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíîãîýêñïåðèìåíòà ðåàëèçîâàëñÿ îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ω ∈ A.Óáåäèìñÿ íà ïðèìåðàõ, ÷òî êàæäîå ïîäìíîæåñòâî Ω äåéñòâèòåëüíî ñîîòâåòñòâóåò îñóùåñòâëåíèþ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ â äàííîì ñëó÷àéíîì ýêñïåðèìåíòå. Òàê, ïîäìíîæåñòâî {2, 4, 6} ⊂ Ω â ïðèìåðå 2 ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî â ðåçóëüòàòå áðîñàíèÿèãðàëüíîé êîñòè âûïàëî ÷åòíîå ÷èñëî î÷êîâ. Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò èç ïðèìåðà 3.Åñëè îïèñàòü çäåñü ñëîâàìè êàêîå-íèáóäü ñîáûòèå, ñêàæåì, ïîñòóïëåíèå íà ÀÒÑ íåìåíåå 10 âûçîâîâ çà ÷àñ, òî ÿñíî, ÷òî òàêîìó ñîáûòèþ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìíîæåñòâî {10, 11, 12, . .
.} ⊂ Ω.Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ⊂ Ω òàêæå, ïî îïðåäåëåíèþ, ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì, îíî íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì (íèêîãäà íå ìîæåò ïðîèçîéòè). Âñå ïðîñòðàíñòâî Ω ⊂ Ω òîæååñòü ñîáûòèå, îíî íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ ñîáûòèéîáîçíà÷èì S , â äèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå ýòî ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω.Åñëè èç ω ∈ A ñëåäóåò ω ∈ B , ò. å. A ⊂ B , òî ìû ãîâîðèì, ÷òî ñîáûòèå A âëå÷åòñîáûòèå B (íî íå íàîáîðîò!).Íàä ñîáûòèÿìè, êàê íàä ìíîæåñòâàìè, ìîæíî ïðîèçâîäèòü îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè, ïåðåõîäà ê äîïîëíèòåëüíîìó ìíîæåñòâó, ïðè÷åì îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ êàê ê êîíå÷íîìó, òàê è ê áåñêîíå÷íîìó íàáîðó ñîáûòèé. Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ:∞SAi = {ω : ω ∈ Ai õîòÿ áû ïðè îäíîì i} îáúåäèíåíèå ñîáûòèé (îçíà÷àåò, ÷òîi=1ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç A1 , A2 , .
. .);∞TAi = {ω : ω ∈ Ai ïðè âñåõ i = 1, 2, . . .} ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé (îçíà÷àåò, ÷òîi=1ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî âñå óêàçàííûå ñîáûòèÿ);A\B = {ω : ω ∈ A, íî ω 6∈ B} ðàçíîñòü äâóõ ñîáûòèé;A = Ω\A = {ω : ω 6∈ A} äîïîëíèòåëüíîå ñîáûòèå èëè ïðîñòî äîïîëíåíèå ê A.Ïåðå÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ýòèõ îïåðàöèé íå âõîäèò â ïðîãðàììó íàøåãîêóðñà, ìû îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà îäíîì ñîîòíîøåíèè, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ5â äàëüíåéøåì.Ôîðìóëà äâîéñòâåííîñòè. Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé A1 , A2 , . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
