1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , Xn íåçàâèñèìû è âñå Xi ⊂= Φα,σ2 ,òî X1 + . . . + Xn ⊂= Φnα, nσ2 , à òàêæåX=X1 + . . . + X n⊂= Φα, σ2 /n .nÏîñëåäíåå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî Xi /n ⊂= Φα/n, σ2 /n2 .3.3.1.×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèéÌàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåÏðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÷àñòî âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷åìó ðàâíî ååñðåäíåå çíà÷åíèå è êàê åãî íàéòè? ìàòåìàòèêå èçâåñòíû ðàçíûå âèäû ñðåäíèõ: ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, ñðåäíååãåîìåòðè÷åñêîå, ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå è ò. ä. Ïîïðîáóåì ïîíÿòü, êàêîå èç íèõ áîëååâñåãî ïîäîéäåò äëÿ íàøèõ öåëåé.Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X , ïðèíèìàþùóþ âñåãî äâà çíà÷åíèÿ: 1 è 2.
Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ çíà÷åíèé ðàâíî 1.5 îíî îäèíàêîâî óäàëåíîîò 1 è 2. Îäíàêî åñëè çíà÷åíèå 1 ïðèíèìàåòñÿ ñ ãîðàçäî áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ, ÷åìçíà÷åíèå 2 (íàïðèìåð, åñëè P(X = 1) = 0.99, à P(X = 2) = 0.01), òî ïî ëîãèêå âåùåéñðåäíåå çíà÷åíèå äîëæíî áûòü ñìåùåíî áëèæå ê åäèíèöå, âåäü çíà÷åíèå X = 1 ïðèíèìàåòñÿ ñóùåñòâåííî ÷àùå, ÷åì 2.  ñâÿçè ñ ýòèì âìåñòî ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî1 · 0.5 + 2 · 0.5 áîëåå åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñðåäíåå âçâåøåííîå 1 · 0.99 + 2 · 0.01, âêîòîðîì âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòè ýòèõ çíà÷åíèé.  èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî ÷åì áîëåå âåðîÿòíî çíà÷åíèå, òåì ñáîëüøèì âêëàäîì îíî âõîäèò â ýòó ñóììó.Ýòè ñîîáðàæåíèÿ è ëåãëè â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå åñòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìû äàäèì åãî îïðåäåëåíèå îòäåëüíî äëÿ äèñêðåòíûõ, àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõè ñìåøàííûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X äèñêðåòíà, ò.
å. äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà ÷èñåë y1 , y2 , . . .∞XP(X = yk ) = 1.k=139Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ââåäåííîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû íàçûâàåòñÿEX =∞Xyk P(X = yk ),k=1åñëè ýòîò ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, ò. å. åñëè∞X|yk | P(X = yk ) < ∞.k=1 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ãîâîðèì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûX íå ñóùåñòâóåò.Ïðèìåðû. 1.
Ïóñòü X ⊂= Bp . ÒîãäàEX = 1 · p + 0 · (1 − p) = p.2. Åñëè X ⊂= Bn,p , òîEX =nXkCnk pk (1 − p)n−k =k=on−1X= npnXk=1n!pk (1 − p)n−k(k − 1)!(n − k)!mCn−1pm (1 − p)n−1−m = np.m=0Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èìåþùåéàáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ fX (t), íàçûâàåòñÿZ ∞tfX (t)dt,EX =−∞åñëè òîëüêîZ∞|t|fX (t)dt < ∞.−∞ ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñ÷èòàåì, ÷òî EX íå ñóùåñòâóåò.ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå EX òàêæå ìîæåò âîñïðèíèìàòüñÿ êàê ñðåäíåå âçâåøåííîåçíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òîëüêî çäåñü ìû èñïîëüçóåì èíòåãðàëüíûé àíàëîãôîðìóëû. Ðîëü âåñîâîé ôóíêöèè èãðàåò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò. å.
ìàòîæèäàíèå ýòî íà ñàìîì äåëå ÷èñëîâàÿõàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìàòîæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè èëè,íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X òàêîé, ÷òî P(X = 2k ) = 2−k , k = 1, 2, . . ..Ïðèìåð. Ïóñòü X ⊂= Φα,σ2 . ÒîãäàZ ∞(t − α)21√t exp −dt =EX =2σ 2σ 2π −∞Z ∞Z ∞(t − α)2(t − α)21α√=(t − α) exp −dt + √exp −dt =2σ 22σ 2σ 2π −∞σ 2π −∞Z ∞Z ∞1y2√=y exp − 2 dy + αϕα,σ2 (t)dt = α.2σσ 2π −∞−∞40Çäåñü èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí åäèíèöå, à ïðåäïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, òàê êàê â íåì èíòåãðèðóåòñÿ íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿñìåøàííîãî òèïàFX (y) = αF1 (y) + βF2 (y),ãäå α + β = 1, α ≥ 0, β ≥ 0, F1 (y) àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ,èìåþùàÿ ïëîòíîñòü f (t), à F2 (y) äèñêðåòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùàÿñêà÷êè âåëè÷èíîé p1 , p2 , .
. . â òî÷êàõ y1 , y2 , . . . .Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ,Z∞tf (t)dt + βEX = α−∞∞Xyk pk ,k=1åñëè òîëüêî àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ ó÷àñòâóþùèå çäåñü èíòåãðàë è ñóììà ðÿäà. ðÿäå ñëó÷àåâ âîçíèêàåò çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè g(X) îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (èëè ôóíêöèè g(X1 , X2 , . . . , Xn ) îòíåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí), ïðè ýòîì èçíà÷àëüíî èçâåñòíûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêîðàñïðåäåëåíèå X .
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèìåíèòü äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, íàì ñíà÷àëà ñëåäîâàëî áû íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû g(X), à ïîòîì âîñïîëüçîâàòüñÿ èì äëÿ âû÷èñëåíèÿ Eg(X).Îêàçûâàåòñÿ, âñå ìîæíî ñäåëàòü ïðîùå.Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X äèñêðåòíà è ïðèíèìàåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ y1 , y2 , . . .,òî g(X) òàêæå áóäåò äèñêðåòíîé ñî çíà÷åíèÿìè g(y1 ), g(y2 ), . . . (ñðåäè íèõ ìîãóò áûòüïîâòîðÿþùèåñÿ) èXP(g(X) = g(yk )) =P(X = yi ).i: g(yi )=g(yk )ÏîýòîìóEg(X) =Xg(yk )P(g(X) = g(yk )) =Xg(yi )P(X = yi ),ikò.
å. â èòîãå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ðàñïðåäåëåíèåì èñõîäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X .Òàê æå äåëî îáñòîèò è â ñëó÷àå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X . Èìååòìåñòî ôîðìóëàZZ∞Eg(X) =∞tfg(X) (t)dt =−∞g(t)fX (t)dt.−∞Ðàçóìååòñÿ, â íåé ïåðâûé èíòåãðàë ìîæåò áûòü çàïèñàí òîëüêî åñëè ðàñïðåäåëåíèåg(X) îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ, äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ âòîðîãî èíòåãðàëà íàëè÷èå ïëîòíîñòèó g(X) íå îáÿçàòåëüíî. Èíòóèòèâíî ýòà ôîðìóëà ïîíÿòíà: ìû óñðåäíÿåì çíà÷åíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû g(X), êîòîðûå èìåþò âèä g(t), ãäå t çíà÷åíèå äëÿ X . Áîëååñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ýòîé ôîðìóëû ìû çäåñü ïðèâîäèòü íå áóäåì.Àíàëîã ýòîé ôîðìóëû â ñëó÷àå ôóíêöèè îò íåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âûãëÿäèò òàê:Z∞ Z∞Eg(X1 , X2 , . .
. , Xn ) =Z∞...−∞ −∞g(t1 , t2 , . . . , tn )fX1 ,X2 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn )dt1 . . . dtn ,−∞ãäå fX1 ,X2 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X1 , X2 , . . . , Xn ).41Çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû g(X1 , X2 , .
. . , Xn ) çäåñü òàêæåìîæåò è íå áûòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ôîðìóëà îñòàåòñÿ â ñèëå.Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ1. Åñëè P(X = C) = 1, òî EX = C , ò. å. ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíñòàíòûðàâíî ýòîé êîíñòàíòå. Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.2. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:E(αX) = αEX.Ýòî ñâîéñòâî âûòåêàåò èç ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòîæèäàíèÿ ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, â äàííîì ñëó÷àå g(X) = αX .3. E(X + Y ) = EX + EY , åñëè âñå ó÷àñòâóþùèå çäåñü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿñóùåñòâóþò.Ìû ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà îòäåëüíî äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà X è Yäèñêðåòíû è êîãäà âåêòîð (X, Y ) îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Åñëè X ïðèíèìàåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ x1 , x2 , .
. ., à Y âîçìîæíûå çíà÷åíèÿy1 , y2 , . . ., òî X + Y áóäåò ïðèíèìàòü âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ âèäà xi + yj , i = 1, 2, . . .,j = 1, 2, . . ., èE(X + Y ) =+∞ X∞X(xi + yj )P(X = xi , Y = yj ) =i=1 j=1∞∞XXyjj=1∞Xi=1P(X = xi , Y = yj ) =i=1∞Xxi∞XP(X = xi , Y = yj ) +j=1xi P(X = xi ) +i=1∞Xyj P(Y = yj ) =j=1= EX + EY.Äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé èìååì ïî òîé æå ñõåìåZ ∞ Z ∞Z ∞Z ∞fX,Y (u, v)dvdu +u(u + v)fX,Y (u, v)dudv =E(X + Y ) =−∞−∞−∞ −∞Z ∞ Z ∞Z ∞Z ∞+vfX,Y (u, v)dudv =ufX (u)du +vfY (v)dv =−∞−∞−∞−∞= EX + EY.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà äëÿ îñòàëüíûõ ñëó÷àåâ (ñìåøàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ) ìû îïóñêàåì.Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåííîìó âûøå îäíîìó èç ïðèìåðîâ. Ïóñòü X ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè, ò. å. X ⊂= Bn,p . Ìû óæå íàøëè, ÷òî EX = np.Ñ ïîìîùüþ äîêàçàííîãî ñâîéñòâà ìû íàéäåì EX äðóãèì ñïîñîáîì. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi , i = 1, 2, .
. . , n, ãäå Xi ÷èñëî óñïåõîâ â i-ìèñïûòàíèè, ò. å. P(Xi = 1) = p, P(Xi = 0) = 1 − p, è ïîýòîìó EXi = p. ÒîãäàX = X1 + . . . + Xn è EX = EX1 + . . . + EXn = np.4. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî E(XY ) = EX · EY . Ìû âíîâü ïðåäïîëàãàåì, ÷òîâñå ó÷àñòâóþùèå çäåñü ìàòîæèäàíèÿ ñóùåñòâóþò.Çàìåòèì, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð çàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äëÿ êîòîðûõ ýòî ñâîéñòâî òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Äîñòàòî÷íî âçÿòüíåñîìíåííî çàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è X 2 , ãäå X ⊂= U−1,1 . Òîãäà2Z1E(X · X ) =31t−12Zdt = 0, EX =42111t dt = 0, EX 2 = .3−1 2Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà 4, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïðîâåäåì îòäåëüíî äëÿäèñêðåòíûõ è àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé âåêòîðà (X, Y ), ñîõðàíÿÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðåäûäóùåãî ïóíêòà.
Èìååì â äèñêðåòíîì ñëó÷àåP(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi )P(Y = yj )(ñâîéñòâî íåçàâèñèìîñòè), ïîýòîìó∞ X∞∞∞XXXE(XY ) =xi yj P(X = xi , Y = yj ) =xi P(X = xi )yj P(Y = yj ) =i=1 j=1i=1j=1= EXEY.Äàëåå, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè, äëÿ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååìfX,Y (u, v) = fX (u)fY (v), ïîýòîìóZ ∞Z ∞Z ∞Z ∞uvfX,Y (u, v)dudv =ufX (u)duvfY (v)dv =E(XY ) =−∞−∞−∞−∞= EXEY.5. Åñëè X ≥ Y , òî EX ≥ EY .Îáîçíà÷èì Z = X − Y , òîãäà ñâîéñòâî 5 ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ: åñëè Z ≥ 0,òî EZ ≥ 0.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ, êîãäà F (y) = P(Z < y) ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ ñìåøàííîãî òèïà.
 ñèëó òîãî ÷òî F (0) = 0, äåëàåì ñëåäóþùèé âûâîä:â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè F íà àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ è äèñêðåòíóþ êîìïîíåíòûF (y) = αF1 (y) + βF2 (y)èìååò ìåñòî F1 (0) = F2 (0) = 0. Ïîýòîìó â ôîðìóëå äëÿ ìàòîæèäàíèÿZ ∞∞Xy k pkEZ = αtf (t)dt + β−∞k=1f (t) = 0 ïðè t < 0 è âñå yk íåîòðèöàòåëüíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî EZ ≥ 0.6. Åñëè EX = 0 è X ≥ 0, òî P(X = 0) = 1.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîòðåáóåòñÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Íàçîâåì åãî ïåðâûìíåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà, ïîñêîëüêó äàëåå â êóðñå áóäåò ïðåäëîæåíî âòîðîå.Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Åñëè X ≥ 0, òî äëÿ ëþáîãî δ > 0EXP(X ≥ δ) ≤.δÄîêàçàòåëüñòâî. Åñëè EX = ∞, òî íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî.
Ïóñòü òåïåðüEX < ∞. Ââåäåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó00, åñëè 0 ≤ X < δ,X =δ,åñëè X ≥ δ.0ßñíî ïî ïîñòðîåíèþ, ÷òî X ≥ X , ïîýòîìó0EX ≥ EX = 0 · P(0 ≤ X < δ) + δP(X ≥ δ) = δP(X ≥ δ).Íåðàâåíñòâî äîêàçàíî.Ïðèìåíèì åãî ê äîêàçàòåëüñòâó ñâîéñòâà 6. Äëÿ ëþáîãî δ > 0 èìååìEX= 0,0 ≤ P(X ≥ δ) ≤δòî åñòü P(X ≥ δ) = 0, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè P(X = 0) = 1.433.2.ÌîìåíòûÎïðåäåëåíèå. Ìîìåíòîì k-ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ EX k ,k > 0.Êàê è âñÿêîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ñóùåñòâóåò òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà E|X|k < ∞.
Ïîñëåäíåå íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì ìîìåíòîì k -ãîïîðÿäêà. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ôóíêöèé îòñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìîæåì çàïèñàòüXEX k =yik P(X = yi )iäëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé èkZ∞tk fX (t)dtEX =−∞äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ïîëåçíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëó÷àéíûõâåëè÷èí. Ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà ýòî óæå çíàêîìîå íàì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
Îíî èìååò ñìûñë ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìû óâèäèì äàëüøå,÷òî çíàíèå ìîìåíòîâ âòîðîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ äàåò íàì îïðåäåëåííóþ èíôîðìàöèþ î ðàçáðîñàííîñòè çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ñ ïîìîùüþ ìîìåíòîâ ìîæíîõàðàêòåðèçîâàòü àñèììåòðèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ò. ä.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ñóùåñòâîâàíèåì ìîìåíòîâ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ.Òåîðåìà. Åñëè E|X|k < ∞, òî E|X|m < ∞ äëÿ ëþáîãî m òàêîãî, ÷òî 0 < m < k .Îáðàòíîå íåâåðíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïðè 0 < m < k âñåãäà âåðíî |X|m ≤ |X|k + 1, òîE|X|m < E|X|k + 1 < ∞.Òî, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòüïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X çàäàåòñÿ ôîðìóëîéfX (t) =C,1 + |t|k+2ãäå ïîñòîÿííàÿ C âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
