1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü íå ââîäèòñÿ, åñëè P(B) = 0.2. Åñëè P(B) > 0, òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé A è B ýêâèâàëåíòíà óñëîâèþ P(A) =P(A/B) ýòî î÷åâèäíî.  îáùåì, òàê îíî è äîëæíî áûòü: ñîáûòèå B (óñëîâèå) íèêàêíå äîëæíî âëèÿòü íà A, åñëè A è B íåçàâèñèìû.3. Åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ñîáûòèå B óæå ïðîèçîøëî, òî íè îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç äîïîëíèòåëüíîãî ìíîæåñòâà B̄ óæå ðåàëèçîâàòüñÿ íå ìîæåò.Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà ñóæàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ìíîæåñòâà B .
Îòðàæåíèåì ýòîãî ôàêòà è ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà äëÿ P(A/B).  íåéìíîæèòåëü 1/P(B) âûïîëíÿåò íîðìèðóþùóþ ðîëü: ñóììàðíàÿ âåðîÿòíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ òåïåðü èñõîäîâ äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. À èñïîëüçîâàíèå â ÷èñëèòåëåâåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ A è B ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî èç ýëåìåíòàðíûõP(A/B) =17èñõîäîâ, âõîäÿùèõ â A, ïðîèçîéòè òåïåðü ìîãóò òîëüêî òå, êîòîðûå âõîäÿò îäíîâðåìåííî è â B .Ñêàçàííîå ìîæíî ïðîñëåäèòü íà ïðèìåðå áðîñàíèÿ íàóãàä òî÷êè, ñêàæåì, â êâàäðàò Ω. Ïóñòü λ(A) ïëîùàäü ìíîæåñòâà A ⊂ Ω. ÒîãäàP(A) =λ(A)λ(Ω) îòíîøåíèå ïëîùàäåé.
Äëÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè èìååìP(A/B) =P(AB)λ(AB)/ λ(Ω)λ(AB)==,P(B)λ(B)/ λ(Ω)λ(B)ýòî òîæå îòíîøåíèå ïëîùàäåé, íî òîëüêî ðîëü âñåãî ïðîñòðàíñòâà èñõîäîâ âûïîëíÿåòñîáûòèå B .1.7.Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòèÏóñòü íàñ èíòåðåñóåò âåðîÿòíîñòü íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A è ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàðÿäó ñ A åñòü íåêèé íàáîð âñïîìîãàòåëüíûõ ñîáûòèé H1 , H2 , . . . , Hn , êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü ãèïîòåçàìè è êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì äâóì òðåáîâàíèÿì.1) Hi Hj = ∅ (i 6= j);nS2) A ⊂Hi .i=1Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòèP(A) =nXP(A/Hi )P(Hi ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî.P(A) = P A ∩n[!Hi=Pi=1n[i=1!AHi=nXP(AHi ).i=1Ïîñêîëüêó P(A/Hi ) = P(AHi )/P(Hi ) (ïðåäïîëàãàåì, ÷òî P(Hi ) > 0, íåò ñìûñëà èñïîëüçîâàòü ãèïîòåçû ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ), òî îñòàåòñÿ âûðàçèòü îòñþäà P(AHi )è ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó.×èñëî èñïîëüçóåìûõ ãèïîòåç ìîæåò áûòü è áåñêîíå÷íûì ýòî íè÷åìó íå ïðîòèâîðå÷èò.Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè îáû÷íî áûâàåò ïîëåçíà ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ãäå èìååò ìåñòî ¾äâîéíàÿ¿ (èëè ¾äâóõóðîâíåâàÿ¿) ñëó÷àéíîñòü.
Ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëûìû ôèêñèðóåì ñíà÷àëà ñèòóàöèþ íà îäíîì óðîâíå (ò. å. ñ÷èòàåì, ÷òî îäíà èç ãèïîòåç ðåàëèçîâàëàñü) è ïåðåáèðàåì âñå âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì âîçìîæíîñòè íà äðóãîìóðîâíå; çàòåì âåäåì ïåðåáîð âîçìîæíîñòåé ïåðâîãî óðîâíÿ ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñóììèðîâàíèþ ïî ïåðåìåííîé i.Ïðèìåð. Íà ïðåäïðèÿòèè ðàáîòàåò n ðàáî÷èõ, êîòîðûå äåëàþò îäèíàêîâûå èçäåëèÿ. Çà ñìåíó ïåðâûé èçãîòîâèë k1 èçäåëèé, âòîðîé k2 , . . . , n-é ðàáî÷èé èçãîòîâèëkn èçäåëèé. Îáîçíà÷èì k = k1 + k2 + .
. . + kn îáùåå êîëè÷åñòâî äåòàëåé, èçãîòîâëåííûõ çà ñìåíó.Èçâåñòíî, ÷òî èçäåëèå, èçãîòîâëåííîå ïåðâûì ðàáî÷èì, ñ âåðîÿòíîñòüþ p1 îêàçûâàåòñÿ áðàêîâàííûì, äëÿ âòîðîãî ðàáî÷åãî âåðîÿòíîñòü áðàêà ðàâíà p2 è ò. ä.18 êîíöå ñìåíû âñå èçäåëèÿ ññûïàëè â îäèí áóíêåð.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî íàóãàäâûáðàííîå èç áóíêåðà èçäåëèå îêàæåòñÿ áðàêîâàííûì?Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòüþ êîòîðîãî ìû èíòåðåñóåìñÿ. Çàäà÷àáûëà áû òðèâèàëüíîé, åñëè áû ìû çíàëè, êåì âûáðàííîå èçäåëèå èçãîòîâëåíî. À òàêêàê ìû íå çíàåì, òî ñòðîèì îáëåã÷àþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ (ãèïîòåçû). Ïóñòü ñîáûòèåHi îçíà÷àåò, ÷òî âûáðàííîå íàìè èçäåëèå èçãîòîâëåíî i-ì ðàáî÷èì, i = 1, 2, . . .
, n.ßñíî, ÷òî ëþáîå ñîáûòèå èç H1 , H2 , . . . , Hn èñêëþ÷àåò äðóãèå. Êðîìå òîãî,n[Hi = Ω ⊃ A.i=1Òåì ñàìûì âûïîëíåíû âñå òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê ãèïîòåçàì. Ñ ïîìîùüþêëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íàõîäèìCk1ikiP(Hi ) = 1 = .CkkÅñëè æå èçâåñòíî, ÷òî èçäåëèå èçãîòîâëåíî i-ì ðàáî÷èì, òî âåðîÿòíîñòü, ÷òî îíîÿâëÿåòñÿ áðàêîâàííûì, ðàâíà P(A/Hi ) = pi ïî óñëîâèþ çàäà÷è. Òåì ñàìûì ïîëó÷àåìïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòèP(A) =nXi=11.8.piki.kÔîðìóëà ÁàéåñàÔîðìóëà Áàéåñà èñïîëüçóåòñÿ â òîé æå ñèòóàöèè, ÷òî è ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ò.
å. åñëè èìååòñÿ ñîáûòèå A è íàáîð ãèïîòåç H1 , H2 , . . . , Hn , óäîâëåòâîðÿþùèõóêàçàííûì âûøå òðåáîâàíèÿì.Âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç P(H1 ), P(H2 ), . . . , P(Hn ) ïðèíÿòî íàçûâàòü àïðèîðíûìè,ò. å. èçíà÷àëüíûìè, äîîïûòíûìè. Åñëè æå ñîáûòèå A óæå ïðîèçîøëî, òî óñëîâíûåâåðîÿòíîñòè ãèïîòåç P(H1 /A), P(H2 /A), . . . , P(Hn /A) ìîãóò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îòàïðèîðíûõ è íàçûâàþòñÿ àïîñòåðèîðíûìè, ò.
å. ïîñëåîïûòíûìè, ó÷èòûâàþùèìèðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà.Äëÿ ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé áûâàåò ïîëåçíî íàõîäèòü àïîñòåðèîðíûå âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç, è äåëàåòñÿ ýòî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Áàéåñà. Îíà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , nP(A/Hi )P(Hi ).P(Hi /A) = Pnj=1 P(A/Hj )P(Hj )Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìèP(Hi /A) =P(Hi A), P(Hi A) = P(A/Hi )P(Hi )P(A)è óæå ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ P(A).Âåðíåìñÿ ê ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî âçÿòîå íàóãàä èçäåëèåîêàçàëîñü áðàêîâàííûì.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî åãî èçãîòîâèë ié ðàáî÷èé? Ïîôîðìóëå Áàéåñà ïîëó÷àåìpi kiP(Hi /A) = Pn k kj .j=1 pj k192.Ðàñïðåäåëåíèÿ2.1.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿÏðè èçó÷åíèè òåõ èëè èíûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èëè ýêñïåðèìåíòîâ íàñ èíòåðåñóåò, êàê ïðàâèëî, íå êàêîé èìåííî èñõîä ðåàëèçîâàëñÿ, à òà èëè èíàÿ ÷èñëîâàÿõàðàêòåðèñòèêà ýòîãî èñõîäà. Íàïðèìåð, â ñõåìå Áåðíóëëè íàì íå òàê óæ âàæíî áûëî, êàêàÿ öåïî÷êà ñèìâîëîâ ðåàëèçîâàëàñü, èíòåðåñ âûçûâàëî òîëüêî ÷èñëî óñïåõîââ ýòîé öåïî÷êå. Òî÷íî òàê æå ïðè ñòðåëüáå ïî ïëîñêîé ìèøåíè ìû íå èíòåðåñóåìñÿòî÷íûìè êîîðäèíàòàìè öåíòðà ïðîáîèíû.
Äëÿ íàñ âàæíî, ñêîëüêî î÷êîâ ìû âûáèëèïðè ñòðåëüáå.Ýòî íàâîäèò íà íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â R (çíà÷åíèÿ ±∞ èñêëþ÷àþòñÿ), ò. å.
êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî X(ω) ∈ R.Íàïðèìåð, ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, êîòîðîå ìû îáîçíà÷àëè Sn ,ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Ïî-äðóãîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ýòî ÷èñëîâàÿ ïåðåìåííàÿ, çíà÷åíèå êîòîðîé ìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîé èñõîä ðåàëèçîâàëñÿ âðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà.Èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
 òî æå âðåìÿ ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ íàïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå (â äàííîì ñëó÷àå Ω), íå ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ðàçâèòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà.  ñâÿçè ñ ýòèì âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ îãðàíè÷èâàþòñÿèçó÷åíèåì íå ñàìèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à èõ ðàñïðåäåëåíèé.Îïðåäåëåíèå. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàì èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X , åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë a ≤ b ìû ìîæåì íàõîäèòü âåðîÿòíîñòèâèäà P(ω : a ≤ X(ω) ≤ b) (à çíà÷èò, è âåðîÿòíîñòè âèäà P(ω : a ≤ X(ω) < b),P(ω : a < X(ω) ≤ b), P(ω : a < X(ω) < b)). äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü êðàòêóþ çàïèñü:P(ω : a ≤ X(ω) ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(X ∈ [a, b]).Äàëåå ìû óâèäèì ñëåäóþùåå: ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû çíàòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X , äîñòàòî÷íî çíàòü âñåãî îäíó ôóíêöèþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿFX (y) = P(ω : X(ω) < y) = P(X < y), −∞ < y < ∞.Îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ1. 0 6 FX (y) 6 1 äëÿ âñåõ çíà÷åíèé y . Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.2. Åñëè y1 < y2 , òî FX (y1 ) 6 FX (y2 ), ò. å. ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîíîòîííî íåóáûâàåò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì ñîáûòèÿ A1 = {X < y1 }, A2 = {X < y2 }, òîãäàA1 ⊂ A2 , ïîýòîìó FX (y1 ) = P(A1 ) 6 P(A2 ) = FX (y2 ).3.
Ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim FX (y) = 0 è lim FX (y) = 1.y→−∞y→∞Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ ñëåäóåò èç ìîíîòîííîñòè è îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. ×òîáû íàéòè çíà÷åíèÿ ïðåäåëîâ, äîñòàòî÷íî âìåñòî20íåïðåðûâíî ìåíÿþùåéñÿ ïåðåìåííîé y ðàññìîòðåòü êàêóþ-íèáóäü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yk → −∞ â ïåðâîì ñëó÷àå è yk → ∞ âî âòîðîì.Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yk }, ìîíîòîííî óáûâàÿ, ñòðåìèòñÿ ê −∞ (íàïðèìåð,ìîæíî âçÿòü yk = −k ). Ââåäåì ñîáûòèÿAk = {X < yk }, k = 1, 2, . .
. .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîA1 ⊃ A2 ⊃ . . . .Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì!∞\?lim FX (yk ) = lim P(Ak ) = PAk = P(∅) = 0.k →∞k→∞k=1Ðàâåíñòâî, ïîìå÷åííîå âîïðîñîì, òðåáóåò êîììåíòàðèåâ. Äîêàæåì, ÷òî óêàçàííîå ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ ïóñòî. ÎòTïðîòèâíîãî: ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿáû îäèí ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω ∈ Ak . Ïîñêîëüêó X(ω) êîíå÷íîå ÷èñëî,T òî ñóùåñòâóåò èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî yk0 < X(ω), ò. å. ω 6∈ Ak0 , à çíà÷èò, ω 6∈ Ak , ÷òîïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî ïðåäåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë yk , ìîíîòîííî ñòðåìÿùóþñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (íàïðèìåð, yk = k ),è ââåäåì ñîáûòèÿ Ak = {X < yk }, k = 1, 2, . . ..
Î÷åâèäíî, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ; è îïÿòü âñèëó ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè!∞[lim FX (yk ) = lim P(Ak ) = PAk = P(Ω) = 1.k→∞k→∞Ïîÿñíèì, ïî÷åìó çäåñü∞Sk=1Ak = Ω. Âêëþ÷åíèåSAk ⊂ Ω. î÷åâèäíî. Îáðàòíî: ïóñòük=1ω ∈ Ω, âû÷èñëèì X(ω) ýòî íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ èíäåêñ k0∞Sòàêîé, ÷òî yk0 > X(ω), ò. å. ω ∈ Ak0 ⊂Ak .k=1Óñòàíîâëåííûå ñâîéñòâà óæå ïîçâîëÿþò â îáùèõ ÷åðòàõ ïðåäñòàâèòü ñåáå, êàêâûãëÿäÿò ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàñïîëàãàÿñü ïîëíîñòüþ â ïîëîñå0 ≤ y ≤ 1 íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷åê (x, y), êðèâûå ÿâëÿþò ñîáîé íåóáûâàþùèå ôóíêöèè, êîòîðûå ïðîõîäÿò ïóòü ïî âåðòèêàëè îò 0 äî 1 ïðè âîçðàñòàíèèàðãóìåíòà îò −∞ äî +∞.Îäíàêî ïóòü ýòîò íå îáÿçàí áûòü íåïðåðûâíûì: âîçìîæíû ñêà÷êè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
