Главная » Просмотр файлов » 1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae

1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 2

Файл №843872 1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (Лотов - Лекции по теории вероятностей и математической статистике для ФИТ НГУ) 2 страница1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872) страница 22021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.ñïðàâåäëèâî∞\Ai =i=1Äîêàæåì ýòî ñîîòíîøåíèå. Åñëè ω ∈∞[Ai .i=1∞TAi , òî ω 6∈i=1i òàêîé, ÷òî ω 6∈ Ai èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ω ∈ Ai ⊂∞TAi , ò. å. ñóùåñòâóåò íîìåði=1∞S∞Si=1i=1Ai . Åñëè æå ω ∈ñóùåñòâóåò íîìåð i òàêîé, ÷òî ω ∈ Ai . Çíà÷èò, ω 6∈ Ai , ò. å. ω 6∈∞TAi , òîAi è, ñëåäîâàòåëüíî,i=1ω∈∞TAi .i=1Äàëåå ìû ââåäåì ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ. Âîîáùå ãîâîðÿ, âåðîÿòíîñòü ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà S , îáëàäàþùàÿ îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè. Äëÿ äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ ìû îïðåäåëèì åå â äâà ýòàïà.

Ñíà÷àëà òîëüêî äëÿ ñîáûòèé,ñîñòîÿùèõ èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà.Êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ∈ Ω ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî P(ω), íàçûâàåìîå âåðîÿòíîñòüþ ýòîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà, òàê, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíûñëåäóþùèå äâà òðåáîâàíèÿ:1) P(ω)P ≥ 0;2)P(ω) = 1.ω∈ΩÊàêèå êîíêðåòíî çíà÷åíèÿ ñëåäóåò çàäàâàòü íå òàê óæ âàæíî, ýòî îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè ýêñïåðèìåíòà. Òàê, â ïðèìåðå 1 ìû ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòè 1/2êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó, åñëè ìîíåòêà ñèììåòðè÷íà; â ïðèìåðå 2 (áðîñàíèåèãðàëüíîé êîñòè) ìîæíî çàäàòü ðàâíûå âåðîÿòíîñòè ïî 1/6 äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà.  òðåòüåì ïðèìåðå ìû óæå íå ìîæåì ïðèïèñàòü êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó îäíó è òó æå ïîëîæèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü òîãäà ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåéíå áóäåò ðàâíà åäèíèöå. Êàê ïîêàçûâàþò ýêñïåðèìåíòû, äëÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òîçà åäèíèöó âðåìåíè íà ÀÒÑ ïîñòóïèò ðîâíî k âûçîâîâ, ëó÷øå âñåãî ïîäõîäèò ÷èñëîλk −λe ïðè íåêîòîðîì λ > 0.k!Òåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ A ⊂ Ω.

Ïîëîæèì, ïî îïðåäåëåíèþ,XP(A) =P(ω).ω∈AÁóäåì ñ÷èòàòü, êðîìå òîãî, ÷òî P(∅) = 0.Ìû òåì ñàìûì çàâåðøèëè ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà ñäèñêðåòíûì ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Îíà ñîñòîèò èç òðîéêè hΩ, S, Piè íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì.Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ãîäèòñÿ òîëüêîäëÿ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè â äèñêðåòíîé ìîäåëè.Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè1. 0 ≤ P(A) ≤ 1,P(Ω) = 1.2. Åñëè A ⊂ B, òî P(A) ≤ P(B).Ýòè äâà ñâîéñòâà î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè.63. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB), ãäå äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè îáîçíà÷åíîP(AB) = P(A ∩ B).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ îáðàòèìñÿ ñíà÷àëà ê åãî ïðàâîé ÷àñòè.Âû÷èñëÿÿ P(A), ìû ñóììèðóåì âåðîÿòíîñòè âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç A, çàòåìïðèáàâëÿåì ñóììó âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç B .

Òåì ñàìûì ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç ìíîæåñòâà AB ìû ïðîñóììèðîâàëèäâàæäû. Çíà÷èò, îäèí ðàç íóæíî èõ îòíÿòü.Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè AB = ∅. Èç äîêàçàííîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B), åñëè ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû.Ïîñëåäíåå íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ âåðîÿòíîñòè. Ðàçóìååòñÿ, ñ ïîìîùüþ èíäóêöèè ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ýòî ñâîéñòâî íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî âçàèìíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé.4. P(A) = 1 − P(A), ïîñêîëüêó A ∪ A = Ω, P(A) + P(A) = P(Ω) = 1.5. Åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , .

. . ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, ò. å.Ai Aj = ∅ (i 6= j),òîP∞[!Ai=i=1∞XP(Ai ).i=1Äàííîå ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíîé àääèòèâíîñòüþ. Îíî òàêæå ëåãêî ñëåäóåòèç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè:!∞∞[XXXXPAi =P(ω) =P(ω) +P(ω) + . . . =P(Ai ).i=1ω∈∞SAiω∈A1ω∈A2i=1i=1Âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé: êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòèÑðåäè äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ìû áîëåå ïîäðîáíî ðàññìîòðèì òàêèå, ó êîòîðûõ:1) N (Ω) = N < ∞ (çäåñü N (Ω) îáîçíà÷àåò ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Ω);2) P(ω1 ) = . . .

= P(ωN ) = 1/ N.Âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà, óäîâëåòâîðÿþùèå òàêèì ñâîéñòâàì, èñïîëüçóþòñÿî÷åíü ÷àñòî. Ïåðâûå äâà ïðèìåðà èç ðàññìîòðåííûõ ïðèâîäÿò èìåííî ê òàêèì ìîäåëÿì. Ïîñìîòðèì, êàê áóäåò âû÷èñëÿòüñÿ â òàêîé ñèòóàöèè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ.Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ AP(A) = 1/ N + . . . + 1/ N.×èñëî ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, ò. å. N (A),ïîýòîìó ïîëó÷àåìN (A)N (A)=.P(A) =NN (Ω)Ýòî òàê íàçûâàåìîå êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Êàê âèäèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòü ðàâíà îòíîøåíèþ ÷èñëà ¾áëàãîïðèÿòíûõ¿ èñõîäîâ (ò.

å. òåõ, êîòîðûå ôîðìèðóþò èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå) ê ÷èñëóâñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà. Ôîðìóëà ïðîñòà, íî îíà íå óíèâåðñàëüíà, ååïðèìåíèìîñòü îãðàíè÷èâàåòñÿ ïðèâåäåííûìè âûøå äâóìÿ óñëîâèÿìè.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ÷àñòî òðåáóåòñÿ ïðèìåíÿòü íåêîòîðûå ìåòîäû è ðåçóëüòàòû èç êîìáèíàòîðèêè. Íàïîìíèìêðàòêî ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷.71. Ïóñòü èìååòñÿ ñîâîêóïíîñòü èç n ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ a1 , a2 , . . . , an .

Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü èõ â ðÿä?Ýòî çàäà÷à î ïåðåñòàíîâêàõ. Íà ïåðâîå ìåñòî â ýòîì ðÿäó ìîæíî ïîñòàâèòü ëþáîéèç n èìåþùèõñÿ îáúåêòîâ, íà âòîðîå ëþáîé èç n − 1 îñòàâøèõñÿ è ò. ä.  èòîãåïîëó÷àåì n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n! ïåðåñòàíîâîê (êîãäà êàæäûé èç âàðèàíòîâäëÿ îäíîé ïîçèöèè ìîæåò îáúåäèíÿòüñÿ ñ ëþáûì âàðèàíòîì äëÿ äðóãîé ïîçèöèè,òî îáùåå ÷èñëî âàðèàíòîâ ïîëó÷àåòñÿ ïåðåìíîæåíèåì, à íå ñëîæåíèåì, ýòî ëåãêîïðîâåðèòü íà ïðèìåðàõ).2. Ïóñòü èñõîäíàÿ ñîâîêóïíîñòü a1 , a2 , . . .

, an òà æå, ÷òî è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, íî òåïåðü ìû áóäåì âûáèðàòü èç íåå ïîäñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç k îáúåêòîâ (áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìû äåëàåì âûáîðêó îáúåìà k ), k = 1, 2, . . . , n. Ñêîëüêîðàçëè÷íûõ âûáîðîê ìîæíî ïîëó÷èòü?Åñëè äåéñòâîâàòü, êàê â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ìû ìîæåì âûáðàòü ïåðâûé îáúåêòn ñïîñîáàìè, âòîðîé n−1 ñïîñîáîì, è òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàáåðåì k îáúåêòîâ. Òåìn!.ñàìûì êîëè÷åñòâî âûáîðîê ïîëó÷èòñÿ ðàâíûì n(n−1)(n−2) . . . (n−k +1) =(n − k)!Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðàõ, ÷òî ïîëó÷åííîå íàìè ÷èñëî âûáîðîê îáúåìà kâêëþ÷àåò âûáîðêè, ðàçëè÷àþùèåñÿ è ïî ñîñòàâó ýëåìåíòîâ, è ïî ïîðÿäêó ðàñïîëîæåíèÿ èõ âíóòðè âûáîðêè.Åñëè ìû õîòèì îãðàíè÷èòü ñåáÿ âûáîðêàìè, ðàçëè÷àþùèìèñÿ òîëüêî ñîñòàâîìâõîäÿùèõ â íèõ ýëåìåíòîâ è íå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ âíóòðèâûáîðêè, òî ìû äîëæíû ïîëó÷åííîå âûøå ÷èñëî ðàçäåëèòü íà k!, òàê êàê êàæäàÿ âûáîðêà ôèêñèðîâàííîãî ñîñòàâà íàìè ïîñ÷èòàíà òàì k! ðàç ñî âñåìè åå ïåðåñòàíîâêàìèýëåìåíòîâ.n!.

Åãî îáû÷íî íàçûâàþò ÷èñëîìÒàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ÷èñëî Cnk =k!(n − k)!ñî÷åòàíèé èç n ïî k . ×èñëà Cnk , k = 0, 1, . . . , n, òàêæå íàçûâàþò áèíîìèàëüíûìèêîýôôèöèåíòàìè, ïîñêîëüêó îíè ó÷àñòâóþò â ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà(x + y)n =nXCnk xk y n−kk=0= 1, ýòî óäîáíî). Èç áèíîìà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî(ìûîáîçíà÷åíèåPn èñïîëüçóåìknkn−k.k=0 Cn = 2 . Îòìåòèì òàêæå î÷åâèäíîå ñâîéñòâî Cn = Cn3. Èìååòñÿ n ÿùèêîâ è k ðàçëè÷íûõ øàðîâ. Øàðû ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçìåùàþòñÿ ïî ÿùèêàì áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé. Ñêîëüêèì ÷èñëîì ñïîñîáîâ ìîæíîýòî ñäåëàòü?Çäåñü ïåðâûé øàð ìîæåò áûòü ïîëîæåí â ëþáîé èç n ÿùèêîâ, íåçàâèñèìî îòýòîãî ó âòîðîãî øàðà òîæå n âàðèàíòîâ è ò.

ä. Ïåðåìíîæàÿ êîëè÷åñòâà âàðèàíòîâ,ïîëó÷àåì nk ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ðàçìåùåíèÿ.Ýòà çàäà÷à ìîæåò âñòðåòèòüñÿ â äðóãîé èíòåðïðåòàöèè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â àëôàâèòå n áóêâ. Ñêîëüêî ñëîâ äëèíû k ìîæíî ñîñòàâèòü?ßñíî, ÷òî â êà÷åñòâå ïåðâîé áóêâû ìîæåò áûòü âçÿòà ëþáàÿ èç n áóêâ àëôàâèòà, âêà÷åñòâå âòîðîé òîæå ëþáàÿ áóêâà àëôàâèòà è ò. ä. Âñåãî ïîëó÷àåì nk ðàçëè÷íûõñëîâ.Ðàçëè÷àþòñÿ âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì è áåç âîçâðàùåíèÿ. Ïðèìåðîì âûáîðîê ñâîçâðàùåíèåì ÿâëÿþòñÿ ðàçíûå ñëîâà â ïîñëåäíåé çàäà÷å: çäåñü ïîñëå âûáîðà ïåðâîéáóêâû ñëîâà èñõîäíàÿ ñîâîêóïíîñòü (àëôàâèò) íå óìåíüøèëàñü è íà âòîðîì øàãå ìûâíîâü èìååì n âàðèàíòîâ, òàê æå è äëÿ òðåòüåé, ÷åòâåðòîé è äðóãèõ áóêâ ñëîâà.

À âîòïðè ïîëó÷åíèè ÷èñëà Cnk ìû äåëàëè âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ, òàê êàê, âûáèðàÿCn08ïîñëåäîâàòåëüíî îäèí îáúåêò çà äðóãèì, ìû óìåíüøàëè èñõîäíóþ ñîâîêóïíîñòü. êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàññìîòðèì îäíó ÷àñòî âñòðå÷àþùóþñÿ çàäà÷ó. ÿùèêå íàõîäèòñÿ n ðàçëè÷íûõ øàðîâ (ñêàæåì, øàðû ïðîíóìåðîâàíû), èç íèõn1 áåëûõ øàðîâ è n − n1 ÷¼ðíûõ. Íàóãàä âûáèðàåì k øàðîâ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ øàðîâ îêàæåòñÿ ðîâíî k1 áåëûõ?Ýòà çàäà÷à ìîæåò âñòðåòèòüñÿ â äðóãèõ òåðìèíàõ. Íàïðèìåð:1. Ñðåäè ëîòåðåéíûõ áèëåòîâ åñòü âûèãðûøíûå (èõ n1 ) è ïðîèãðûøíûå (n − n1 ).Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè k ïðèîáðåòåííûõ áèëåòîâ ðîâíî k1 âûèãðûøíûõ?2.

Ñðåäè n èçäåëèé n1 áðàêîâàííûõ, îñòàëüíûå ãîäíûå. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ñðåäè k âûáðàííûõ íàóãàä èçäåëèé îáíàðóæèòñÿ ðîâíî k1 áðàêîâàííûõ?Ïðèìåðîâ òàêèõ ñèòóàöèé ìíîãî.Äëÿ ðåøåíèÿ áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ. Ìû äåëàåì âûáîðêèîáú¼ìà k , èõ âñåãî Cnk , è âñå îíè ðàâíîâîçìîæíû.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее