1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íàïðèìåð,ãðàôèê ìîæåò áûòü òàêèì.FX (y)16by00y-Âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷åìó ðàâíî çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå ðàçðûâà,êîëü ñêîðî îí èìååò ìåñòî? Îòâåò ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåì ñâîéñòâå.214. Äëÿ ëþáîãî y èìååò ìåñòî FX (y − 0) = FX (y), ò. å. ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿâñåãäà íåïðåðûâíà ñëåâà.Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáèðàåì âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {yk }, ñõî1äÿùóþñÿ ñëåâà ê y (íàïðèìåð, yk = y −).
Ââåäåì ñîáûòèÿ Ak = {X < yk },kk = 1, 2, . . . . Çäåñü, î÷åâèäíî, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , çíà÷èò,FX (y − 0) = lim FX (yk ) = lim P(Ak ) = P(k→∞k→∞∞[?Ak ) = P(X < y) = FX (y).k=1Ïîÿñíèì ðàâåíñòâî,îòìå÷åííîå âîïðîñîì.SÏóñòü ω ∈ Ak , òîãäà ñóùåñòâóåò èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî ω ∈ Ak0 , ò. å.X(ω) < yk0 < y. äðóãóþ ñòîðîíó: ïóñòü ω òàêîâî,S ÷òî X(ω) < y, òîãäà ñóùåñòâóåò èíäåêñ k0òàêîé, ÷òî X(ω) < yk0 , ò.
å. ω ∈ Ak0 ⊂ Ak .Ñâîéñòâà 14, äîêàçàííûå íàìè, ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè äëÿ ôóíêöèéðàñïðåäåëåíèÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ, èìè îáëàäàþùàÿ, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ êàêîé-òî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ïîäõîäÿùåì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.Îòìåòèì åùå îäíî (äîïîëíèòåëüíîå) ñâîéñòâî: ìû äîêàçàëè, ÷òîFX (y − 0) = P(X < y);îêàçûâàåòñÿ, ÷òîFX (y + 0) = P(X 6 y).Ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü ýòî ñîîòíîøåíèå, äëÿ ýòîãî ïîòðåáîâàëîñü áû âíîâü(â ÷åòâåðòûé ðàç!) ïîñòðîèòü íóæíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè.
Îòìåòèì òîëüêî îäíî ïîëåçíîå ñëåäñòâèåýòèõ ôàêòîâ. Èç àääèòèâíîñòè ñëåäóåò, ÷òîP(X 6 y) = P(X < y) + P(X = y),îòêóäàP(X = y) = P(X 6 y) − P(X < y) = FX (y + 0) − FX (y − 0),÷òî ðàâíî âåëè÷èíå ñêà÷êà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå y.Òàêèì îáðàçîì, P(X = y) = 0 äëÿ âñåõ òî÷åê y , â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íåïðåðûâíà. Äàëåå, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a < b ìîæíîçàïèñàòü {X < b} = {X < a} ∪ {a ≤ X < b}, òîP(X < b) = P(X < a) + P(a ≤ X < b),ïîýòîìóP(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = FX (b) − FX (a).Òî÷íî òàê æåP(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = FX (b + 0) − FX (a);P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = FX (b + 0) − FX (a + 0);P(a < X < b) = P(X < b) − P(X ≤ a) = FX (b) − FX (a + 0).Òåì ñàìûì ìû ïîäòâåðäèëè âûñêàçàííîå ðàíåå óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
 ñâÿçèñ ýòèì òåðìèíû ¾ðàñïðåäåëåíèå¿ è ¾ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ¿ (à òàêæå ¾çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ¿) ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ êàê ñèíîíèìû.222.2.Òèïû ðàñïðåäåëåíèé. ÏðèìåðûÎïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ñóùåñòâóåòêîíå÷íàÿ èëè ñ÷åòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë y1 , y2 , y3 , . . . òàêàÿ, ÷òî∞XP(X = yk ) = 1.k=1Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé.Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå óäîáíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû.
Îáîçíà÷èìpk = P(X = yk ), k = 1, 2, . . . ,òîãäà ïðèâåäåííàÿ íèæå òàáëèöà ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåò ðàñïðåäåëåíèå.Çíà÷åíèÿÂåðîÿòíîñòèy1p1y2p2y3p3......Íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë ëåãêîíàõîäÿòñÿ ñóììèðîâàíèåì ýëåìåíòîâ òàáëèöû:Xpk .P(a < X < b) =k: a<yk <bÏóñòü çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû y1 , y2 , y3 , . . . ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå èõâîçðàñòàíèÿ.
Òîãäà ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò âûãëÿäåòü ïðèìåðíî òàê:F (y)16Xp 1 + p2p1y1y2-y0y3 . . .Äåéñòâèòåëüíî, åñëè y < y1 , òî FX (y) = P(X < y) = 0; åñëè y1 < y < y2 , òîFX (y) = P(X < y) = P(X = y1 ) = p1 , è ò. ä. äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïèñàòü X ⊂= F , åñëè X èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F.Ïðèìåðû äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé1. Âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ia : X ⊂= Ia , åñëè P(X = a) = 1.F (y)16X0y-a232.
Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp : X ⊂= Bp , åñëè P(X = 1) = p, P(X = 0) =1 − p, 0 < p < 1.FX (y)611−p0y-13. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bn,p : X ⊂= Bn,p , åñëè P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,k = 0, 1, . . . , n (â ÷àñòíîñòè, B1,p = Bp ).106FX (y)1 2...ny-Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, êàê ìû óæå âèäåëè, âîçíèêàåò ïðè ðàññìîòðåíèèñõåìû Áåðíóëëè ýòî ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ.λk −λe , k = 0, 1, 2, .
. . ;4. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Πλ : X ⊂= Πλ , åñëè P(X = k) =k!λ > 0.F (y)16X012...y-Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè îïèñàíèè ÷èñëà êëèåíòîâ, ïîñòóïèâøèõ â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî âðåìåíè â ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ, ÷èñëà ÷àñòèö,çàðåãèñòðèðîâàííûõ ïðèáîðîì, ÷èñëà îñîáåé áèîëîãè÷åñêîé ïîïóëÿöèè è ò. ä.5. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Gp : X ⊂= Gp , åñëè P(X = k) = (1 − p) pk−1 ,k = 1, 2, 3, . . ., 0 < p < 1.106FX (y)12...24y-Åñëè â ñõåìå Áåðíóëëè ïðîèçâîäèòü èñïûòàíèÿ äî ïåðâîãî ïîëó÷åíèÿ íåóñïåõàâêëþ÷èòåëüíî, òî êîëè÷åñòâî òðåáóåìûõ äëÿ ýòîãî èñïûòàíèé áóäåò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå.Äàííîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ è â äðóãîì âàðèàíòå:P(X = k) = (1 − p) pk , k = 0, 1, 2, 3, .
. . .Äàëåå ðàññìîòðèì äðóãîé òèï ðàñïðåäåëåíèé.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FX (y) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ yZyFX (y) =f (t) dt;−∞ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ôóíêöèÿ f (t) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.×òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïëîòíîñòü îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X , åå òàêæåñíàáæàþò èíäåêñîì f (t) = fX (t).Òðåáîâàíèå àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíûì, íåæåëè ïðîñòîíåïðåðûâíîñòü. Èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî FX (y) ïî÷òè âñþäó èìååò ïðîèçâîäíóþ (â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü, õîòÿ íåïðåðûâíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ).
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè, òî ïëîòíîñòü, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíà ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿdFX (t)dtè ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ òî÷åê, ãäå ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò.Ïîñêîëüêó àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå èìååò ñêà÷êîâ, òîP(X = y) = 0 äëÿ ëþáîãî y è ñîâïàäàþò, ê ïðèìåðó, âåðîÿòíîñòè P(X ∈ [a, b]) èP(X ∈ (a, b)), a < b.fX (t) =Ñâîéñòâà ïëîòíîñòè1) fX (t) ≥ 0 êàê ïðîèçâîäíàÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèè;R∞2)fX (t) dt = 1.−∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî äîñòàòî÷íî óñòðåìèòü y → ∞ â îïðåäåëåíèè àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (t), îáëàäàþùàÿ ýòèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè, ìîæåò áûòü ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî ïëîòíîñòåé. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a < bZbP(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) =ZafX (t) dt −−∞fX (t) dt =−∞f (t)6X0pppab25Zb-tfX (t) dt.aÒàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü åñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì êîòîðîé ðàâíà åäèíèöå.
Åñëè âîîáðàçèòü îïÿòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýòî ìàññà, òî ñóììàðíàÿ ìàññà çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà åäèíèöå. Ýòèçíà÷åíèÿ ðàçáðîñàíû (èëè, ëó÷øå ñêàçàòü, ðàçìàçàíû) ïî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé èãðàôèê ïëîòíîñòè ïîêàçûâàåò íàì òîëùèíó ïîëó÷èâøåãîñÿ ¾áóòåðáðîäà¿. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîïàäàþò â ïðîìåæóòîê [a, b], ðàâíàïëîùàäè ïîä ãðàôèêîì ïëîòíîñòè, ïðèõîäÿùåéñÿ íà îòðåçîê [a, b].  íàøåé èíòåðïðåòàöèè äàííàÿ âåðîÿòíîñòü ýòî ìàññà ¾áóòåðáðîäà¿ ñ îñíîâàíèåì [a, b].Âîîáùå, åñëè ìíîæåñòâî B ⊂ R äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî íåìó,òîZfX (t) dt.P(X ∈ B) =BÏðèìåðû àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèéÇäåñü ìû èñïîëüçóåì çàãëàâíûå áóêâû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ,à ñîîòâåòñòâóþùèå ìàëûå áóêâû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïëîòíîñòåé.1.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a, b]. Åãî ïëîòíîñòü ðàâíà1, t ∈ [a, b],b−a,ua,b (t) =0,èíà÷å.u (t)6 a,ba0bt-ßñíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âñå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàñïîëàãàþòñÿ íàîòðåçêå [a, b] è ðàâíîìåðíî òàì ðàçáðîñàíû; âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ëþáîé ïðîìåæóòîê [c, d] ⊂ [a, b] ðàâíà îòíîøåíèþ äëèíZ dd−c1P(X ∈ [c, d]) =dt =,b−ac b−a÷òî óæå âñòðå÷àëîñü íàì â çàäà÷àõ íà ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè.Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååì ôîðìóëó0,y ≤ a,y−aUa,b (y) = b − a , y ∈ [a, b],1,y > b.U (y)6 a,b1a026by-Êàê âèäèì, â äâóõ òî÷êàõ ýòà ôóíêöèÿ ïðîèçâîäíîé íå èìååò.2.
Íîðìàëüíîå (ãàóññîâñêîå) ðàñïðåäåëåíèå Φα,σ2 . Ïëîòíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé122ϕα,σ2 (t) = √ e−(t−α) /2σ ,σ 2π−∞ < t < ∞.Çäåñü α ïàðàìåòð ñäâèãà, −∞ < α < ∞, äðóãîé ïàðàìåòð σ 2 > 0 îòâå÷àåò çà óãîëðàçâàëà âåòâåé ãðàôèêà ïëîòíîñòè è çà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè.6ϕα,σ2(t)0-tαÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (ê ñîæàëåíèþ, èíòåãðàë íå áåðåòñÿâ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ)1Φα,σ2 (y) = √σ 2πΦα,σ62Zye−(t−α)22σ 2dt.−∞(y)120y-αÅñëè α = 0, σ 2 = 1, òî ìû ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Φ0,1ñ ïëîòíîñòüþ12ϕ0,1 (t) = √ e−t /22πè ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ1Φ0,1 (y) = √2πZy2 /2e−tdt.−∞Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè èìååò öåíòð ñèììåòðèè òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (0, 1/2),Φ0,1 (y) = 1 − Φ0,1 (−y). Ôóíêöèÿ Φ0,1 (y) î÷åíü áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè y → −∞(è ñîîòâåòñòâåííî òàê æå áûñòðî ê åäèíèöå ïðè y → ∞):Φ0,1 (−3) = 0.00135; Φ0,1 (−1.96) = 0.025; Φ0,1 (−1.64) = 0.05.Ýòè äàííûå âçÿòû èç òàáëèö ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûìèñíàáæåíû ïî÷òè âñå ïîñîáèÿ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêåââèäó âàæíîñòè ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðèëîæåíèé.
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî çíà÷åíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ⊂= Φ0,1 ðàçáðîñàíû ïî âñåé ïðÿìîé, âèäíî, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ0.9973 îíè ïîïàäàþò â èíòåðâàë (-3,3).27ϕ (t)6 0,1−3−2 −1 012pp p pp p pp p pp-3 tÏîçæå ìû ïîêàæåì, ÷òî åñëè X ⊂= Φα,σ2 , òî Y = (X − α)/σ ⊂= Φ0,1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
