1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Èìååì1nnl(θ, σ 2 , Y ) = − ln 2π − ln σ 2 − 2 |Y − Xθ|2 ,222σ2n∂l(θ, σ , Y )1=−+|Y − Xθ|2 = 0,224∂(σ )2σ2σîòêóäà ïîëó÷àåì ÌÌÏ-îöåíêó(σ 2 )∗ =|Y − Xθ∗ |2.nÂåðîÿòíîñòíûå ñâîéñòâà îöåíîê íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ â çàäà÷àõ íîðìàëüíîéðåãðåññèè óñòàíàâëèâàþòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé (ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà).Òåîðåìà. Ïóñòü âñå εi íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíó Φ0,σ2 . Òîãäà:1) ÌÍÊ-îöåíêà θ∗ èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðè ýòîìEθ∗ = θ,2)C(θ∗ ) = σ 2 (X T X)−1 ;|Y − Xθ∗ |2⊂= χ2n−k ;σ23) θ∗ è |Y − Xθ∗ |2 íåçàâèñèìû.Ñëåäñòâèå 1. Îöåíêàσ̂ 2 =1|Y − Xθ∗ |2n−kÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé äëÿ σ 2 .Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà|Y − Xθ∗ |22ðàñïðåäåëåíà òàê æå, êàê è Z12 + . . . + Zn−k, ãäå âñå Zi íåçàâèñèìû èσ2ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíó Φ0,1 , ïîýòîìó!|Y − Xθ∗ |22E= E(Z12 + . . . + Zn−k) = n − k,σ2ò. å.E|Y − Xθ∗ |2n−k!= σ2.Îòñþäà âûòåêàåò, ìåæäó ïðî÷èì, ÷òî íàéäåííàÿ ðàíåå ÌÌÏ-îöåíêà (σ 2 )∗ ÿâëÿåòñÿ ñìåùåííîé.92Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ñòîëáöû ðåãðåññîðà X1 , . . . , Xk îðòîãîíàëüíû, òî ìàòðèöàC(θ∗ ) = σ 2 (X T X)−1 äèàãîíàëüíà è êîìïîíåíòû îöåíêè θ1∗ , . . .
, θk∗ íåçàâèñèìû. Ïðèýòîìθi∗ ⊂= Φθi , σ2 /|Xi |2 .Ýòî óòâåðæäåíèå ñðàçó æå ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëåäñòâèå 3. Åñëè ñòîëáöû ðåãðåññîðà X1 , . . . , Xk îðòîãîíàëüíû, òîs√(θi∗ − θi )|Xi |1 |Y − Xθ∗ |2 (θi∗ − θi )|Xi | n − k:⊂= Tn−k .=σn−kσ2|Y − Xθ∗ |Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðåéòè ê ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ.1. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σ 2 . Èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−k íàõîäèì÷èñëà q1 è q2 òàêèå, ÷òî χ2n−k (q1 ) = ε/2, χ2n−k (q2 ) = 1 − ε/2. Òîãäà, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1,!|Y − Xθ∗ |2P q1 << q2 = χ2n−k (q2 ) − χ2n−k (q1 ) = 1 − ε,σ2îòêóäà ñëåäóåòP|Y − Xθ∗ |2|Y − Xθ∗ |2< σ2 <q2q1!= 1 − ε.Äàëåå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñòîëáöû ðåãðåññîðà X1 , . .
. , Xk îðòîãîíàëüíû.2. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ θi ïðè óñëîâèè, ÷òî σ 2 èçâåñòíî. Çäåñü(θi∗ − θi )|Xi |èñïîëüçóåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî⊂= Φ0,1 . Ïóñòü ÷èñëî q òàêîâî, ÷òî Φ0,1 (−q) =σε/2, òîãäà!(θi∗ − θi )|Xi |P −q << q = Φ0,1 (q) − Φ0,1 (−q) = 1 − ε,σïîýòîìóqσqσ∗∗P θi −< θi < θi += 1 − ε.|Xi ||Xi |3.
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ θi ïðè óñëîâèè, ÷òî σ 2 íåèçâåñòíî. Âîñ-ïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì 3 è íàéäåì èç òàáëèö ÷èñëî q òàêîå, ÷òî Tn−k (−q) = ε/2.Òîãäà!√(θi∗ − θi )|Xi | n − k< q = Tn−k (q) − Tn−k (−q) = 1 − εP −q <|Y − Xθ∗ |è ïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàëq|Y − Xθ∗ |q|Y − Xθ∗ |∗∗√√P θi −< θi < θi += 1 − ε.|Xi | n − k|Xi | n − kÏîñòðîåííûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ïîçâîëÿþò ïðîâåðÿòü ãèïîòåçû â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííîé ðàíåå êîíñòðóêöèåé.
Íàïðèìåð, äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçûH1 : θi = C ïðîòèâ H2 : θi 6= C ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ 2 áåðåì êðèòè÷åñêîåìíîæåñòâîq|Y − Xθ∗ | ∗ q|Y − Xθ∗ |∗√√K = (Y1 , . . . , Yn ) : C ∈/ θi −, θi +.|Xi | n − k|Xi | n − k93Òîãäàβ1 = P1 ((Y1 , . . . , Yn ) ∈ K) = ε.Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðûÃíåäåíêî Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1988. 448 ñ.Ñìèðíîâ Í.
Â., Äóíèí-Áàðêîâñêèé È. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ì., Íàóêà, 1965. 512 ñ.×èñòÿêîâ Â. Ï. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1982. 256 ñ.94.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
