1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 16
Текст из файла (страница 16)
, n, èY1X1 Y2 = A X2 , ... ... YnXnãäå A îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî r = 1, . . . , n − 1nXXi2 − Y12 − . . . − Yr2 ⊂= χ2n−ri=1è ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò Y1 , . . . , Yr .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàíåå áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî â íàøèõ óñëîâèÿõ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y1 , .
. . , Yn íåçàâèñèìû è èìåþòΦ0,1 . Îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàP ðàñïðåäåëåíèåPçîâàíèå íå ìåíÿåò äëèíû âåêòîðà: ni=1 Xi2 = ni=1 Yi2 , ïîýòîìónX2+ . . . + Yn2 ⊂= χ2n−r ,Xi2 − Y12 − . . . − Yr2 = Yr+1i=1è ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò Y1 , . . . , Yr . Ëåììà äîêàçàíà.Òåîðåìà î ñâîéñòâàõ âûáîðîê èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. ÏóñòüX = (X1 , . . .
, Xn ) ⊂= Φα,σ2 . ÒîãäàX − α√n⊂= Φ0,1 ;σnS 22) 2 ⊂= χ2n−1 ;σ1)743) X è S 2 íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ðàíåå óñòàíîâëåíî, ÷òî X ⊂= Φα,σ2 /n . Ïðèìåíÿåì îïåðàöèþñòàíäàðòèçàöèè:X − α√X − EX√=n⊂= Φ0,1 .σDXX −αXi − α, i = 1, . . . , n. Òîãäà Zi ⊂= Φ0,1 ,=Zσσ22n n 1 X Xi − X1 X Xi − α X − α−===n i=1σn i=1σσ2.
Îáîçíà÷èì Zi =S2σ2nèn1X1X 2=(Zi − Z)2 =Zi − (Z)2 .n i=1n i=1Ïîýòîìó ñâîþ î÷åðåäü,n√nS 2 X 2=Z−(n Z)2 .iσ2i=1Z1 Z2 √11.n Z = √ ,..., √nn ... Zn!11èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó. Åãî âñåãäà ìîæíî äîñòðîèòü äî îðÂåêòîð √ , . . . , √nn√òîãîíàëüíîé ìàòðèöû A, â êîòîðîé îí áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïåðâîé ñòðîêîé. Òîãäà n Záóäåò ñîâïàäàòü ñ ïåðâîé êîìïîíåíòîé âåêòîðà A(Z1 , . . .
, Zn )T è ïî ëåììå ÔèøåðànX√Zi2 − ( n Z)2 ⊂= χ2n−1 .i=1nS 2 √X − α√ènZ=n íåçàâèñèìû. Ñëåäîσ2σâàòåëüíî, íåçàâèñèìû S 2 è X êàê ôóíêöèè ýòèõ âåëè÷èí.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå.  óñëîâèÿõ òåîðåìûÈç ëåììû Ôèøåðà ñëåäóåò òàêæå, ÷òîX −α √n−1⊂= Tn−1 .SÄîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, Tn−1 ýòî ðàñïðåäåëåíèå äðîáèpY / Z/(n − 1), ãäå Y è Z íåçàâèñèìû, Y ⊂= Φ0,1 è Z ⊂= χ2n−1 .  ñèëó òåîðåìû ìûìîæåì âçÿòüX − α√nS 2n,Z= 2.Y =σσÑëåäñòâèå äîêàçàíî.757.3.Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿÏóñòü X ⊂= Fθ , θ ∈ R íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Ðàíåå ìû çàíèìàëèñü ïîèñêîìïîäõîäÿùèõ îöåíîê äëÿ θ, ÷òî ìîæíî íàçâàòü òàêæå òî÷å÷íûì îöåíèâàíèåì, ïîñêîëüêó âìåñòî íåèçâåñòíîé òî÷êè θ íà ïðÿìîé ïðåäëàãàëîñü èñïîëüçîâàòü äðóãóþ,ñëó÷àéíóþ òî÷êó θ∗ .  ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ïîñòóïàòü ïî-äðóãîìó: ïîñòàðàåìñÿóêàçàòü èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó θ ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ.Îïðåäåëåíèå.
Äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì óðîâíÿ 1 − ε äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë (A(X1 , . . . , Xn ), B(X1 , . . . , Xn )) òàêîé, ÷òîP(A(X1 , . . . , Xn ) < θ < B(X1 , . . . , Xn )) ≥ 1 − ε.Îáû÷íî â êà÷åñòâå ε âûáèðàþò äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî.Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì, åñëèlim P(A(X1 , .
. . , Xn ) < θ < B(X1 , . . . , Xn )) ≥ 1 − ε.n→∞Ðàçóìååòñÿ, ïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ñëåäóåò òîëüêî ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè.Îòìåòèì, ÷òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ýòî èíòåðâàë ñî ñëó÷àéíûìè êîíöàìè,êîëü ñêîðî îíè ñòðîÿòñÿ ïî âûáîðêå. ßñíî, ÷òî èíòåðâàë òåì ëó÷øå, ÷åì îí óæå.Äàëåå ìû çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ â ñëó÷àå âûáîðêè èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü X = (X1 , . .
. , Xn ) ⊂= Φα,σ2 .1. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ α ïðè óñëîâèè, ÷òî σ 2 èçâåñòíî. ÌûX − α√n⊂= Φ0,1 . Ñ ïîìîùüþ òàáëèö ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüóñòàíîâèëè ðàíåå, ÷òîσíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî íàéòè ÷èñëî q > 0 òàêîå, ÷òî Φ0,1 (−q) = ε/2. Ýòî çíà÷èò,÷òî!X − α√P −q <n < q = Φ0,1 (q) − Φ0,1 (−q) = 1 − εσèëè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé!qσqσP X−√ <α<X+√= 1 − ε.nn!qσqσÒåì ñàìûì ìû ïîñòðîèëè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë X − √ , X + √ , åãî äëèíànn√ðàâíà 2qσ/ n. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè áîëüøèõ n ìû ìîæåì äîâîëüíî òî÷íî ëîêàëèçîâàòü çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà α.2.
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ α ïðè óñëîâèè, ÷òî σ 2 íåèçâåñòíî. Ïðåäûäóùàÿ êîíñòðóêöèÿ íå ãîäèòñÿ, ïîñêîëüêó â íåé ó÷àñòâóåò íåèçâåñòíûé ïàðàìåòðσ . Çäåñü ïîìîæåò ñëåäñòâèå èç òåîðåìû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ñîãëàñíî êîòîðîãîX − α√ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàn − 1 (óæå íå çàâèñÿùàÿ îò σ ) ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíóSÑòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Òåïåðü ìû âîñïîëüçóåìñÿ òàáëèöàìè ðàñïðåäåëåíèÿ Tn−1 è íàéäåì ÷èñëî q òàêîå, ÷òî Tn−1 (−q) = ε/2.
Òîãäà!X − α√P −q <n − 1 < q = Tn−1 (q) − Tn−1 (−q) = 1 − ε,S76è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë!qSqSP X−√<α<X+√= 1 − ε.n−1n−13. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σ 2 ïðè óñëîâèè, ÷òî α èçâåñòíî. Ñëó-Xi − α, i = 1, . . . , n, íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå÷àéíûå âåëè÷èíûσðàñïðåäåëåíèå, ïîýòîìó!2nXXi − α⊂= χ2n .σi=1Èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n íàéäåì ÷èñëà q1 è q2 òàêèå, ÷òî χ2n (q1 ) = ε/2,χ2n (q2 ) = 1 − ε/2. Òîãäà!nX(Xi − α)2< q2 = χ2n (q2 ) − χ2n (q1 ) = 1 − ε.P q1 <2σi=1Ýòî ñîîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òîPnPn22(X−α)(X−α)ii2i=1P< σ < i=1= 1 − ε.q2q14. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σ 2 ïðè óñëîâèè, ÷òî α íåèçâåñòíî.
Âîñ-nS 2ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 2 ⊂= χ2n−1 . Èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−1 íàõîäèì ÷èñëà q1 èσq2 òàêèå, ÷òî χ2n−1 (q1 ) = ε/2, χ2n−1 (q2 ) = 1 − ε/2. Òîãäà!nS 2P q1 < 2 < q2 = χ2n−1 (q2 ) − χ2n−1 (q1 ) = 1 − εσè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë 2nSnS 22P<σ <= 1 − ε.q2q17.4.Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ñ ïîìîùüþíîðìàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðåäûäóùåì ðàçäåëå íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëüçîâàòüñÿ êîòîðûìè ìîæíî ïðèëþáûõ çíà÷åíèÿõ n.
Ê ñîæàëåíèþ, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ïàðàìåòðîâ äðóãèõ ðàñïðåäåëåíèé òàêèõ õîðîøèõ êîíñòðóêöèé íåò. Îäíàêî äëÿ ïàðàìåòðîâ ìíîãèõ ðàñïðåäåëåíèé óäàåòñÿ ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. Ìû ïðèâåäåìçäåñü êðàòêîå îïèñàíèå ýòîé êîíñòðóêöèè, îïóñêàÿ ñòðîãîå îáîñíîâàíèå íåêîòîðûõâûâîäîâ.Ïóñòü, êàê è ðàíåå, X ⊂= Fθ , θ ∈ R íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, äëÿ êîòîðîãîáóäåò ñòðîèòüñÿ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòîò ïàðàìåòð ìîæíîâûðàçèòü ÷åðåç îäèí èç ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ: θ = g(ak ), k ≥ 1, è ïóñòü ôóíêöèÿ gäèôôåðåíöèðóåìà è g 0 (ak ) 6= 0. Ðàññìîòðèì ÌÌ-îöåíêó θ∗ = g(a∗k ).  ñèëó áëèçîñòè77òî÷åê a∗k è ak ïðè áîëüøèõ n, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèíåéíûì ïðèáëèæåíèåì âñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Òåéëîðà:θ∗ = g(a∗k ) ' g(ak ) + (a∗k − ak )g 0 (ak )èëènθ∗ − θ1X k'X − ak =g 0 (ak )n i=1 iPni=1Xik − nak.nÏðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî ñóùåñòâóåò a2k , √è îáîçíà÷èì σ 2 = DX1k = a2k − a2k .Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ íà n è ïîäåëèì íà σ .
ÒîãäàPnkθ∗ − θ √i=1 Xi − nak√n'.σg 0 (ak )σ nÏðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n ðàñïðåäåëåíèå ïðàâîé ÷àñòè áëèçêî ê Φ0,1 â ñèëó ÖÏÒ.Ïóñòü ÷èñëî q òàêîâî, ÷òî Φ0,1 (−q) = ε/2. Òîãäà ∗ θ −θ √ n < q ' Φ0,1 (q) − Φ0,1 (−q) = 1 − ε.P 0σg (ak )Êàê è ðàíåå, íàì íóæíî ðàçðåøèòü ýòî íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî θ.
Îäíàêî ñóùåñòâóåò òðóäíîñòü: ñòîÿùàÿ â çíàìåíàòåëå âåëè÷èíà σ|g 0 (ak )| òàêæå íåèçáåæíî çàâèñèòîò θ: σ|g 0 (ak )| = h(θ). Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî h íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ,òîãäà h(θ∗ ) ' h(θ). Ïîýòîìó ïðè áîëüøèõ n ∗|θ − θ| √Pn < q ' 1 − ε.h(θ∗ )Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷àåì àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàëqh(θ∗ )qh(θ∗ )∗∗P θ − √<θ<θ + √' 1 − ε.nnÏðèìåð. Ïóñòü X ⊂=√Πλ . Çäåñü λ = a1 , òî åñòü ìîæíî âçÿòü k = 1, g(y) = y .0Òîãäà h(λ) = σg (ak ) = λ, è ìû ïîëó÷àåì äëÿ ïàðàìåòðà λ àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë√√ !q Xq XX− √ , X+ √.nn8.8.1.Ïðîâåðêà ãèïîòåçÏîñòàíîâêà çàäà÷è, îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏóñòü X ⊂= F è ðàñïðåäåëåíèå F íåèçâåñòíî.
 ýòîé ñèòóàöèè åñòåñòâåííî ñòðîèòüðàçëè÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ, èëè ãèïîòåçû, îòíîñèòåëüíî F . Ãèïîòåçû áóäåì îáîçíà÷àòü H1 , H2 , . . . . Ãèïîòåçà íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè. Âñå îñòàëüíûå ãèïîòåçû íàçûâàþòñÿ ñëîæíûìè.Íàïðèìåð, H1 : X ⊂= Φ0,1 ïðîñòàÿ ãèïîòåçà, H2 : X ⊂= Φα,σ2 ñëîæíàÿ, åñëè2çíà÷åíèÿ α è σ íå êîíêðåòèçèðîâàíû.×àùå âñåãî âûäâèãàþòñÿ äâå âçàèìîèñêëþ÷àþùèå äðóã äðóãà ãèïîòåçû H1 è H2 ,îäíà èç êîòîðûõ, ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, âåðíà, òîëüêî ìû íå çíàåì, êàêàÿ èìåííî.
Ïåðâóþ èç íèõ, H1 , íàçûâàþò îñíîâíîé ãèïîòåçîé, à âòîðóþ êîíêóðèðóþùåé78ãèïîòåçîé èëè àëüòåðíàòèâîé. Ìû äîëæíû îäíó èç ãèïîòåç ïðèíÿòü è òåì ñàìûìîòâåðãíóòü äðóãóþ â ýòîì ñîñòîèò íàøå ðåøåíèå.  äàëüíåéøåì ðåøåíèå áóäåìôîðìóëèðîâàòü îòíîñèòåëüíî îñíîâíîé ãèïîòåçû H1 , ïîñêîëüêó ýòî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íàøè äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî àëüòåðíàòèâû.Íàì íåîáõîäèìî âîîðóæèòüñÿ ïðàâèëîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ïî âûáîðêåñðàçó æå ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü, ïðèíèìàåòñÿ H1 èëè íåò.
Òàêîå ïðàâèëî íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì. Ïîñòðîåíèå êðèòåðèÿ îçíà÷àåò, ÷òî âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿâûáîðêè ðàçáèâàþòñÿ íà äâå êàòåãîðèè èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âûáîðî÷íîå ïðîñòðàíñòâî Rn íóæíî ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè:Rn = K ∪ K.Åñëè X ∈ K, òî ãèïîòåçà H1 îòâåðãàåòñÿ, åñëè X ∈ K, òî ïðèíèìàåòñÿ. ÌíîæåñòâîK íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì, åãî çàäàíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò êðèòåðèé.Ñèòóàöèè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè ïðèíÿòèè íàìè ðåøåíèÿ, îòðàæåíû âïðåäñòàâëåííîé íèæå òàáëèöå.Ïðèíèìàåì H1Ïðèíèìàåì H2Âåðíà H1ÕîðîøîÏëîõîÂåðíà H2ÏëîõîÕîðîøîÌû âèäèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå íåæåëàòåëüíûå ñèòóàöèè, êîãäà âåðíà îäíà ãèïîòåçà, à ìû ïðèíèìàåì äðóãóþ â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííûì êðèòåðèåì.
Êàê ïðàâèëî,èçáåæàòü ïîäîáíûõ îøèáîê íå óäàåòñÿ. Âûõîä â ñëåäóþùåì: íóæíî èñïîëüçîâàòüòàêèå êðèòåðèè, äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòè ïðèíÿòèÿ îøèáî÷íûõ ðåøåíèé ìàëû. äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Pi (A), åñëè âû÷èñëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà Hi .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîâåðÿåòñÿ ïðîñòàÿ ãèïîòåçà H1 : F = F1 ïðîòèâ ïðîñòîéàëüòåðíàòèâû H2 : F = F2 . Òîãäà âåðîÿòíîñòü îòâåðãíóòü âåðíóþ (îñíîâíóþ) ãèïîòåçó β1 = β1 (K) = P1 (X ∈ K) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè ïåðâîãî ðîäà.Àíàëîãè÷íî, âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü íåâåðíóþ ãèïîòåçó β2 = P2 (X ∈ K) íàçûâàåòñÿâåðîÿòíîñòüþ îøèáêè âòîðîãî ðîäà.
×èñëî 1−β2 íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ.Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè îøèáî÷íîãî ðåøåíèÿ ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ñëîæíîé ãèïîòåçû, êàê ïðàâèëî, íåâîçìîæíî: ìû âåäü íå çíàåì, êàêèì êîíêðåòíî ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè.Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êðèòåðèè ñîãëàñèÿ. Îíè ñòðîÿòñÿ äëÿ ïðîâåðêèãèïîòåç âèäàH1 : F = F1 ïðîòèâ H2 : F 6= F1(ò. å. ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, ñîãëàñóþòñÿ ëè äàííûå íàáëþäåíèé ñ ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî X ⊂= F1 ). Áóäåì òðåáîâàòü, ÷òîáû äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ êðèòåðèåââåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà áûëà ìàëà: β1 ≤ ε äëÿ çàðàíåå âûáðàííîãî ìàëîãî ÷èñëà ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
